◎?qū)O 珊(北京師范大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100052)

許多新入學(xué)的初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有方法，不求甚解、機(jī)械地死記硬背，缺乏對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的挖掘.為了改善學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，筆者在初一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中嘗試了本原性問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)變式教學(xué).數(shù)學(xué)學(xué)科中的“本原性問題”就是反映學(xué)科最原始、最本質(zhì)的問題，“問題驅(qū)動(dòng)”則是強(qiáng)調(diào)以問題為學(xué)習(xí)的媒介，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)知識.數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同側(cè)面、不同背景，從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.恰當(dāng)變式的數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生對知識的理解及問題解決方法和策略的形成.本原性問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)是圍繞本原性的問題，通過不斷地變更問題的情境或改變思維的角度，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.

認(rèn)知心理學(xué)的現(xiàn)代研究結(jié)果表明，認(rèn)知并非人腦對外部世界的簡單、被動(dòng)反映，而是一個(gè)以已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程或信息加工的過程.特別地，主體已有的知識和經(jīng)驗(yàn)在新知識的獲得過程中發(fā)揮了十分重要的作用.知識不是通過教師傳授得到的，而是在教師的指導(dǎo)下主動(dòng)建構(gòu)獲得的，學(xué)生以自己原有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對外部信息進(jìn)行主動(dòng)的選擇、加工和處理，建構(gòu)自己的體系.

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的培養(yǎng).本原性問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)就是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置問題，通過變式練習(xí)讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識，從而達(dá)到對知識的深層次理解，進(jìn)行高水平的思考.下面就以兩個(gè)案例來說明如何在本原性問題的引領(lǐng)下，進(jìn)行有效的變式教學(xué).

案例一：絕對值的幾何意義

1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》(2011年版))對絕對值的要求如下：借助數(shù)軸理解絕對值的意義，掌握絕對值的求法，知道|x|的幾何含義.可以看出，《課標(biāo)》(2011年版)對絕對值的幾何意義有較高的要求，而絕對值的幾何意義比較抽象，對初一的學(xué)生來說是難點(diǎn)，這就要求教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生思考、理解、掌握的教學(xué)情境.

2.教育價(jià)值

《課標(biāo)》(2011年版)指出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，為學(xué)生的持續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展奠基.絕對值的幾何意義比較抽象，要借助數(shù)軸來教學(xué)，因此在解決問題的過程中自然會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.利用數(shù)形結(jié)合解決絕對值的相關(guān)問題是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一次遇到，是課堂上除了掌握絕對值的幾何意義這個(gè)顯性知識外的另一個(gè)需要領(lǐng)悟的隱性知識.本節(jié)課可以讓學(xué)生體會(huì)思想方法在解決問題時(shí)的優(yōu)勢.

3.絕對值的幾何意義教學(xué)分析

本節(jié)課是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)完絕對值的概念、意義，整式的加減，一元一次方程的解法后根據(jù)教材、學(xué)生情況自主開發(fā)的一節(jié)課.絕對值概念的形成及應(yīng)用過程中蘊(yùn)含著分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，剛開始教學(xué)絕對值知識時(shí)，雖然筆者對該方法進(jìn)行了滲透，但學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)知識積累不夠，所以不能充分理解、體會(huì).學(xué)生對整式的加減及一元一次方程知識的掌握為絕對值的應(yīng)用提供了很好的訓(xùn)練素材，能幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)、理解分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用，而解決問題的過程對發(fā)展學(xué)生的智力與能力都有積極的影響.

初一學(xué)生的認(rèn)知水平有限，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識不強(qiáng)，用數(shù)軸解決絕對值的問題時(shí)不知從何處下手.因此，在本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì)中，筆者以問題驅(qū)動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生思維聚焦的方向，通過合理設(shè)置有梯度的活動(dòng)，不斷變換問題情境，促使學(xué)生思考，讓學(xué)生在先行知識的基礎(chǔ)上通過探究發(fā)現(xiàn)問題，在教師指導(dǎo)下做到“數(shù)”與“形”的結(jié)合，從而積累數(shù)學(xué)思考研究的經(jīng)驗(yàn)，加深對絕對值幾何意義的理解與體會(huì).

4.教學(xué)安排

【驅(qū)動(dòng)問題1】絕對值是怎么定義的？數(shù)軸上表示2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是2，所以2的絕對值是2，數(shù)軸上表示 -3的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3，所以-3的絕對值是3，數(shù)軸上表示a的點(diǎn)的絕對值等于什么？

設(shè)計(jì)意圖：確認(rèn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，喚醒相關(guān)的知識和經(jīng)驗(yàn)，有利于知識的提取和遷移.

【驅(qū)動(dòng)問題2】已知|x|=3，則x=________.

【變式問題1】已知|x-1|=3，則x=________.

【變式問題2】已知|x+2|-1=0，則x=________.

設(shè)計(jì)意圖：先從最簡單的|x|=3入手，讓學(xué)生用絕對值的概念求解，接著變換問題情境，將單項(xiàng)式x變?yōu)閤-1和x+2，學(xué)生類比|x|=3的解法從代數(shù)意義角度應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決問題，在解決變式問題時(shí)將x-1和x+2看成整體，并理解和體會(huì)整體及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

【驅(qū)動(dòng)問題3】|x|的幾何意義是什么？

【變式問題1】|5|的幾何意義是什么？|5-2|的幾何意義是什么？|5+3|的幾何意義是什么？|-5+2|的幾何意義是什么？

【變式問題2】|x-3|的幾何意義是什么？|x1-x2|的幾何意義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)軸上兩特殊點(diǎn)間的距離到數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離，讓學(xué)生逐步理解絕對值的幾何意義.由特殊到一般的過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以讓學(xué)生逐步體會(huì)絕對值的幾何意義，發(fā)展學(xué)生的符號意識，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解絕對值的幾何意義，為后續(xù)解決問題做準(zhǔn)備.

【驅(qū)動(dòng)問題4】已知|x|=3，則x=________.怎樣用數(shù)軸來表示？若|x|>3，則x的取值范圍是什么？|x|<3呢？

【變式問題1】剛才已用分類討論的方法解了方程|x-1|=3，借助數(shù)軸能解決這個(gè)問題嗎？

【變式問題2】若將上述方程改為|x-1|>3，則x的取值范圍是什么？若|x-1|<3呢？

設(shè)計(jì)意圖：以上述例題|x|=3為例，先討論除了用分類討論的方法解決外，還可以用絕對值的幾何意義來解決，再由方程問題到不等式問題，變換問題情境，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸解決問題，并和分類討論的代數(shù)解法做比較，讓學(xué)生逐步體會(huì)借助絕對值的幾何意義解決問題的優(yōu)勢.

【驅(qū)動(dòng)問題5】式子|x-1|+2的最小值是________.

【變式問題1】式子|x-1|+|x+2|的最小值是________，此時(shí)x的取值范圍是________.

【變式問題2】若|x-1|+|x+2|>3，則x的取值范圍是________.

【變式問題3】解方程|x-1|+|x+2|=7；若|x-1|+|x+2|>8，則x的取值范圍是________.

【變式問題4】解方程|x-1|+|x+2|=a.

【變式問題5】方程|x-1|+|x+2|=a有解的條件是什么？

設(shè)計(jì)意圖：從解決含有一個(gè)絕對值的方程和不等式到解決含有兩個(gè)絕對值的方程和不等式，圍繞本原性問題——絕對值的幾何意義，以問題為驅(qū)動(dòng)，不斷變換問題情境，利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從形感知，逐步提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)圖形解決問題的思維能力,開闊學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解決問題的過程中，不斷地加深理解絕對值的幾何意義.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一種“認(rèn)知建構(gòu)”的過程.新知識只有在其成為個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)組成部分時(shí)，才算是意義建構(gòu)的真正完成.在本節(jié)課中，教師先以學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知——絕對值的概念為新的建構(gòu)起點(diǎn)，圍繞絕對值的幾何意義(本原性問題)，不斷地變換問題情境(問題變式)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維方式、方法的魅力，從而實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)的獲得目標(biāo).

案例二：三角形中角平分線專題復(fù)習(xí)

1.三角形中角平分線專題復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容分析

一般來說，幾何知識的復(fù)習(xí)，很難找到一條思維的主線，將待復(fù)習(xí)的內(nèi)容串成一線.因此，對于幾何復(fù)習(xí)課，教師一般會(huì)選擇幾道典型的習(xí)題，用解題來代替復(fù)習(xí).這種復(fù)習(xí)方法固然能起到回顧知識、訓(xùn)練思維、發(fā)展能力的效果，但是還是有知識結(jié)構(gòu)、學(xué)科體系自主構(gòu)建不到位的問題.如何在學(xué)科體系、學(xué)科結(jié)構(gòu)下進(jìn)行幾何復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)科系統(tǒng)下看清知識的結(jié)構(gòu)，并在此過程中有機(jī)地構(gòu)建思維通道，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的能力？基于上述對幾何復(fù)習(xí)課的理解，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試通過圍繞本原性問題，進(jìn)行幾何圖形的變式處理，達(dá)到開闊學(xué)生思維、提高學(xué)生能力的教學(xué)目的.

2.教育價(jià)值

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要重視對顯性數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，也要注重對學(xué)生進(jìn)行隱性知識即數(shù)學(xué)思想方法的滲透、培養(yǎng)和積淀.轉(zhuǎn)化和方程是數(shù)學(xué)思想的核心，本節(jié)課圍繞本原性問題——三角形的內(nèi)角和定理及推論，綜合角平分線的知識，設(shè)置各種變式問題供學(xué)生思考探索，學(xué)生在知識解決和認(rèn)知沖突中不斷反復(fù)體會(huì)轉(zhuǎn)化、方程思想，既很好地解決了三角形的角平分線的綜合問題，也進(jìn)一步培養(yǎng)和提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3.教學(xué)安排

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：三角形的內(nèi)角和及其推論是三角形一章中的重點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)完三角形一章后，學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°這一本原性問題，能夠通過設(shè)未知數(shù)列方程較容易地解決三角形內(nèi)的角平分線的問題，但對于變式問題就顯得無從下手了.對此，學(xué)生若有了解決驅(qū)動(dòng)問題的方法經(jīng)驗(yàn)，就能較容易地類比遷移，從而解決變式問題.

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖：類比驅(qū)動(dòng)問題1，將三角形的內(nèi)角平分線變?yōu)橥饨瞧椒志€進(jìn)行考查，進(jìn)而變式為三等分角及n等分角的問題，變式練習(xí)的精髓在于將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題得解.布盧姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》中指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想具備把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力.在解決問題的過程中，學(xué)生能夠體會(huì)轉(zhuǎn)化和方程的數(shù)學(xué)思想.

圖5

圖6

設(shè)計(jì)意圖：圍繞三角形的內(nèi)角和定理及推論(本原性問題)，將三角形的內(nèi)角平分線和外角平分線綜合起來進(jìn)行多角度的推廣變式，力求覆蓋這類問題的各種類型，讓學(xué)生“做一題，會(huì)一類”，在有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的同時(shí)，提高學(xué)生思維的發(fā)散性，加深學(xué)生對幾何知識的整體理解.

本節(jié)課圍繞本原性問題——三角形的內(nèi)角和定理及其推論，和角平分線知識進(jìn)行綜合，不斷變換問題情境來展示思維的生長過程，內(nèi)化學(xué)生的知識，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.

數(shù)學(xué)問題可分解為表面形式特征和深層結(jié)構(gòu)特征，表面形式特征指問題呈現(xiàn)的表述形式方面的淺層特征；深層結(jié)構(gòu)特征指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系、原則等方面的深層特征.驅(qū)動(dòng)問題及變式問題相對于本原性問題來說，不僅表述形式方面的淺層特征發(fā)生了變化，而且在涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系、原則等方面的深層次特征也發(fā)生了變化，可使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體悟知識的發(fā)生、發(fā)展過程，訓(xùn)練其思維，發(fā)展其能力.