◎汪 浩 李 瑩 曹遠(yuǎn)龍(江西師范大學(xué)軟件學(xué)院,江西 南昌 330027)

一、引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是IT類(lèi)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的理論基礎(chǔ)，本文作者根據(jù)大數(shù)據(jù)/人工智能背景下IT類(lèi)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)的需求，分析了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)存在的問(wèn)題，提出根據(jù)IT類(lèi)專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程的需要，調(diào)整概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容，并將開(kāi)源統(tǒng)計(jì)軟件R嵌入課程教學(xué)全過(guò)程，以便學(xué)生深刻理解、掌握和應(yīng)用課程知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)改革方法.

本文作者在講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，將R的相關(guān)函數(shù)嵌入知識(shí)點(diǎn)的講解中，利用R進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)M、概率計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析等，探討了將開(kāi)源統(tǒng)計(jì)軟件R融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的具體舉措，以便學(xué)生能更深刻地理解、掌握和應(yīng)用課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、將R軟件融入課程知識(shí)點(diǎn)的具體舉措

本文將按照教材的章節(jié)次序，依次討論將R軟件融入課程教學(xué)全過(guò)程及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的具體舉措，并用相應(yīng)的R代碼舉例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

(一)隨機(jī)試驗(yàn)

為使學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)有更直觀(guān)的體會(huì)，并深刻理解其本質(zhì)特征，在講解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)及其頻率的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師可利用R代碼模擬投硬幣、投骰子和高爾頓板等隨機(jī)試驗(yàn)，以便加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的頻率波動(dòng)性，以及隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，其頻率趨于穩(wěn)定的理解.例如教師可用R代碼sample(1:2,count,replace=TRUE)模擬投硬幣，sample(1∶6,count,replace=TRUE)模擬投骰子.高爾頓板試驗(yàn)是一個(gè)經(jīng)典的隨機(jī)試驗(yàn)，制作一個(gè)高爾頓板的實(shí)物并不容易，但R代碼可模擬高爾頓板試驗(yàn).plot函數(shù)顯示了n個(gè)球(代碼中是10000個(gè)球)分別從最頂層落下，并計(jì)算最終落入最底層編號(hào)分別為1,3,……,17,19的球洞的球所占的比例(中間層是釘子的編號(hào)).教師通過(guò)修改n的值，多次運(yùn)行此段R代碼.學(xué)生通過(guò)R代碼顯示的圖形，可以直觀(guān)地觀(guān)察到：隨著n的增加，落入最底層球洞的球所占比例的穩(wěn)定性.

#記錄落入最底層球洞的球的個(gè)數(shù)

BallHole=rep(0,19)

n=10000 #試驗(yàn)所用球的個(gè)數(shù)，可根據(jù)需要修改

for(i in 1:n)

{

CurrentLevel=10 #記錄球當(dāng)前所在層次，球初始在第10層

CurrentHole=10 #記錄球當(dāng)前所在釘子(球洞)的編號(hào)，球初始在編號(hào)為10的釘子處

while(CurrentLevel>1)

{ #如果球還沒(méi)有落到最底層球洞，則下降一層

CurrentLevel=CurrentLevel-1

#球隨機(jī)向左或向右落入下一層

CurrentHole=CurrentHole+sample(c(-1,1),1)

}

#球已落入最底層球洞，增加相應(yīng)球洞的球的個(gè)數(shù)

BallHole[CurrentHole]=BallHole[CurrentHole]+1

}

plot(BallHole/n,type="h")#顯示落入最底層每個(gè)球洞的球所占的比例

(二)古典概型和幾何概型

W=1 #用1表示白球

R=2 #用2表示紅球

A1=0 #放回抽樣時(shí)事件A出現(xiàn)的頻數(shù)

B1=0 #放回抽樣時(shí)事件B出現(xiàn)的頻數(shù)

A2=0 #不放回抽樣時(shí)事件A出現(xiàn)的頻數(shù)

B2=0 #不放回抽樣時(shí)事件B出現(xiàn)的頻數(shù)

n=100000 #隨機(jī)試驗(yàn)總次數(shù)

x=c(W,W,W,W,R,R)#口袋中放6只球,其中4只白球，2只紅球

#總共做n次隨機(jī)試驗(yàn)

for(i in 1:n){

r=sample(x,2,replace=TRUE)#放回抽樣取2只球

if(r[1]==W &&r[2]==W)A1=A1+1 #放回抽樣時(shí)，記錄事件A發(fā)生的頻數(shù)

if(r[1]==R &&r[2]==R)B1=B1+1 #放回抽樣時(shí)，記錄事件B發(fā)生的頻數(shù)

r=sample(x,2,replace=FALSE)#不放回抽樣取2只球

if(r[1]==W &&r[2]==W)A2=A2+1 #不放回抽樣時(shí)，記錄事件A發(fā)生的頻數(shù)

if(r[1]==R &&r[2]==R)B2=B2+1 #不放回抽樣時(shí)，記錄事件B發(fā)生的頻數(shù)

}

4/9;A1/n #打印放回抽樣時(shí)，事件A發(fā)生概率和頻率

1/9;B1/n #打印放回抽樣時(shí)，事件B發(fā)生概率和頻率

2/5;A2/n #打印不放回抽樣時(shí)，事件A發(fā)生概率和頻率

1/15;B2/n #打印不放回抽樣時(shí)，事件B發(fā)生概率和頻率

(三)隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量及其分布是課程的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生難以理解的內(nèi)容之一.教師利用R提供的隨機(jī)變量相關(guān)函數(shù)，可使學(xué)生直觀(guān)理解隨機(jī)變量及其分布律等概念，并簡(jiǎn)化復(fù)雜的概率計(jì)算.具體內(nèi)容如下：

(1)針對(duì)離散型分布律，教師可用R代碼模擬生成m個(gè)服從該分布律分布的隨機(jī)數(shù)，以及模擬生成“多項(xiàng)分布”.

(2)教師利用R代碼sample(c(1,0),n,replace=TRUE,prob=c(p,1-p))可模擬n重伯努利試驗(yàn)，其中1代表“成功”(其概率為p)，0代表“失敗”(其概率為1-p)，以加深學(xué)生對(duì)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)和“二項(xiàng)分布”的理解.

(3)教師可利用R提供的各種概率分布函數(shù)、密度函數(shù)、分位數(shù)函數(shù)、隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的概率計(jì)算，或繪制各種概率分布律或概率密度函數(shù)隨其參數(shù)動(dòng)態(tài)變化的圖形.

(4)除了可用R代碼完成復(fù)雜的概率計(jì)算外，教師還可用R代碼繪制概率分布律/密度函數(shù)的圖形.例如，教師可用R代碼x=dbinom(0:20,20,0.2)，plot(x,type="h")繪制二項(xiàng)分布b(20,0.2)的分布律；用R代碼x=seq((2-40),(2+40),length.out=1000)，plot(x,dnorm(x,mean=2,sd=10),type="l")繪制正態(tài)分布N(2,102)的密度函數(shù).教師通過(guò)調(diào)整分布律或密度函數(shù)的參數(shù)，可以讓學(xué)生觀(guān)察理解概率分布及其參數(shù)間的相互關(guān)系.

(5)此外，教師還可以利用R生成滿(mǎn)足特定概率分布的隨機(jī)數(shù).例如教師可用rnorm(100)生成100個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，利用runif(100)生成100個(gè)服從(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù).

(四)大數(shù)定律與中心極限定理

為使學(xué)生深刻理解大數(shù)定律和依概率收斂的概念，教師可用以下R代碼通過(guò)每次循環(huán)生成i個(gè)服從指數(shù)分布(分布可以任意選擇)的隨機(jī)數(shù)并計(jì)算其算術(shù)平均，然后繪制散點(diǎn)圖讓學(xué)生觀(guān)察：隨著i的增加，該算術(shù)平均將穩(wěn)定在該分布的數(shù)學(xué)期望附近.

avg=vector()

n=10000

#循環(huán)n次，每次生成i個(gè)服從均值為5的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)

for(i in 1:n)avg[i]=mean(rexp(i,rate = 1/5))#計(jì)算這i個(gè)隨機(jī)數(shù)的算術(shù)平均

plot(avg)#顯示這n個(gè)平均數(shù)

為使學(xué)生深刻理解中心極限定理，教師可用以下R代碼通過(guò)每次循環(huán)生成i個(gè)服從指數(shù)分布(分布可以任意選擇)的隨機(jī)數(shù)并對(duì)其和進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化(參見(jiàn)教材第五章定理2)，然后繪制直方圖讓學(xué)生觀(guān)察：隨著n的增加，隨機(jī)數(shù)之和經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

y=vector()

n=10000

rate=1/5

#循環(huán)n次，每次循環(huán)生成i個(gè)服從均值為5的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)

#計(jì)算隨機(jī)數(shù)之和，并對(duì)該和進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化(參見(jiàn)教材第五章定理2)

#計(jì)算結(jié)果存放在向量y中

for(i in 1:n)y[i]=(sum(rexp(i,rate))-i*1/rate)/sqrt(i*1/rate^2)

hist(y,freq=FALSE)#顯示向量y的直方圖

lines(density(y))#在直方圖上顯示密度曲線(xiàn)

教師可進(jìn)一步將上述代碼中的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)rexp修改為其他分布(如二項(xiàng)分布)的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)：y[i]=(sum(rbinom(i,1000,0.8))-i*1000*0.8)/sqrt(i*1000*0.8*0.2)，也可以得到類(lèi)似的直方圖.也就是說(shuō)，無(wú)論原始隨機(jī)數(shù)的分布服從何種分布，隨機(jī)變量之和經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的分布(隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的增加)，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

最后，借助R代碼，教師可以方便地進(jìn)行大數(shù)定律或中心極限定理所涉及的復(fù)雜概率問(wèn)題的計(jì)算.例如針對(duì)教材第五章例題2，教師可用R代碼sum(dbinom(29500:30500,90000,1/3))或mean=90000*1/3;sd=sqrt(90000*1/3*2/3); pnorm(30500,mean,sd)- pnorm(29500,mean,sd)快速得到計(jì)算結(jié)果.

(五)樣本、樣本矩及抽樣分布

(六)描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)

描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步深入分析的前提和基礎(chǔ)，因?yàn)榻處熢谝酝虒W(xué)過(guò)程中沒(méi)有引入相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件作為支撐，這部分內(nèi)容在傳統(tǒng)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中沒(méi)有得到充分的重視.引入R軟件后，教師可借助R軟件提供的函數(shù)充實(shí)擴(kuò)充這部分內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)據(jù)的初步能力.例如教師可用hist函數(shù)繪制樣本的直方圖，density函數(shù)獲得樣本的核密度估計(jì)，boxplot函數(shù)繪制樣本的箱線(xiàn)圖，ecdf函數(shù)獲得樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，barplot函數(shù)繪制樣本的柱形圖，pie函數(shù)繪制樣本的餅圖，plot繪制樣本的散點(diǎn)圖，summary函數(shù)獲得樣本的最小值、最大值、均值、25%分位數(shù)、50%分位數(shù)及75%分位數(shù)，cor、table等函數(shù)對(duì)樣本進(jìn)行相關(guān)性分析，R代碼計(jì)算樣本的偏度、峰度等.

(七)參數(shù)估計(jì)

對(duì)參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)是IT專(zhuān)業(yè)機(jī)器學(xué)習(xí)等后續(xù)課程的基本內(nèi)容之一.為了訓(xùn)練學(xué)生對(duì)點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)的充分理解，教師可根據(jù)點(diǎn)估計(jì)或置信區(qū)間的計(jì)算公式，編寫(xiě)計(jì)算點(diǎn)估計(jì)值或區(qū)間端點(diǎn)值的R代碼.

(八)假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是理解和掌握方差分析和回歸分析的基礎(chǔ)，為加深學(xué)生對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)理論的理解，教師不僅要具備能利用R軟件提供的t.test函數(shù)或軟件中的其他假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)直接進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的能力，還要具備能根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的公式或算法，編寫(xiě)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其p值的R代碼的能力.

(九)方差分析和回歸分析

為使學(xué)生理解并掌握方差分析的基本原理，熟悉方差分析算法的基本思想，教師可針對(duì)單因素方差分析的算法，編寫(xiě)R代碼進(jìn)行單因素方差分析(受篇幅所限，代碼省略)，針對(duì)多因素方差分析和回歸分析.鑒于相應(yīng)算法有點(diǎn)復(fù)雜，教師可直接調(diào)用R軟件提供的aov函數(shù)和anova函數(shù)進(jìn)行方差分析，調(diào)用R軟件提供的lm函數(shù)進(jìn)行回歸分析.

三、結(jié) 論

論文按照教材知識(shí)點(diǎn)的先后次序，系統(tǒng)討論了將開(kāi)源統(tǒng)計(jì)軟件R融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的具體舉措，并給出了相應(yīng)的R代碼.實(shí)踐效果表明，這些舉措確實(shí)能顯著提高學(xué)生對(duì)課程知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，從而為IT專(zhuān)業(yè)的后續(xù)課程奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).