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        2020年全國I卷理科數(shù)學(xué)第20題解法探究與推廣

        2022-07-12 11:42:55許素娜
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年5期
        關(guān)鍵詞:極線評析運算

        許素娜

        (1)求E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點.

        該試題是以直線與橢圓為背景的定點問題,呈現(xiàn)方式常規(guī)但又不俗套,表述清楚,簡潔明了,給人一種平和中見親切、簡明中見關(guān)懷的感覺.作為壓軸題,不僅考查了基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法,同時注重解法的多樣性與靈活性,注重直線和圓錐曲線的綜合運算,突出了對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查,集中體現(xiàn)了邏輯推理、函數(shù)與方程思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),是難得一見的好題.

        評析 常規(guī)解法1和常規(guī)解法2,都是采用設(shè)而不求,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達定理,消參,最終求出直線過定點.思路較為簡單自然,也是高中解圓錐曲線常用的方法,也就是高中圓錐曲線問題的常規(guī)解法,學(xué)生容易接受,但最大的問題在于計算麻煩,花費時間過多,在高考有限的時間內(nèi),很多考生是有想法,但不一定算出結(jié)果,對考生的計算能力有較高的要求.

        評析解法3、4與解法1、2相比,加入了一些技巧,運算稍微簡化一些,可以稍微節(jié)約一些時間,但同樣需要較強的計算能力,這也告訴我們,在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識時,除了提高運算的核心素養(yǎng)外,也要多思考,領(lǐng)會本質(zhì)內(nèi)容,靈活運用.

        評析 解法5簡單明了,計算簡單,由此可見極點極線知識對于這類定值問題的探究具有非一般的作用.極點極線是圓錐曲線的一種基本概念,自極三點形牽連著圓錐曲線的許多性質(zhì),作用非凡.它雖然沒在高中課本中直接明確提出,實際上上在教材和各類考試中經(jīng)常涉及到,以不同的形式隱藏在命題的條件和結(jié)論中.用極點極線的知識去分析和解決問題,往往會起到事半功倍的作用.

        愛因斯坦說:“想象比知識更重要”.數(shù)學(xué)家波利亞也說過,“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn),觀察將揭示某種規(guī)則,模式或定理”.解決了上面的高考題,我們并不滿足,就此停下我們探求的腳步.通過觀察、類比、聯(lián)想并證明,將對此題進行推廣,進而掌握一類問題的解決.

        4 教學(xué)啟示

        (1)在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.對于解法1和解法2,大部分學(xué)生雖然明白思路但望而卻步,解法3和解法4雖然稍微簡化了運算,但也有大量學(xué)生做不出,主要原因是數(shù)學(xué)運算不過關(guān),因此在平時教學(xué)中教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果等,通過數(shù)學(xué)運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的習(xí)慣,教師絕不能越俎代庖,思路代替不了運算,具有運算的核心素養(yǎng).

        (2)在教學(xué)中應(yīng)重視知識的生成過程,注意對問題本質(zhì)的探究.以上可以看出,作為壓軸題,它所涉及的知識大都是多元的,面對多元的基礎(chǔ)知識及其相互聯(lián)系,靠死記硬背肯定不行.在平時的教學(xué)中,教師要重視知識的生成過程,幫助學(xué)生建立和領(lǐng)會知識體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),讓學(xué)生領(lǐng)略和體會主干知識的常見交會處,教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生對知識和問題的本質(zhì)進行研究的習(xí)慣.

        (3)在教學(xué)中應(yīng)加強各年各省高考試卷的研究,這道題其實多次出現(xiàn)在各省的高考試卷中,例如2010年的江蘇卷,還有2006年的湖北理科卷,2011年四川文科卷等,因此教師應(yīng)該對各地各年的高考試卷進行研究,把握學(xué)習(xí)的方向,給予學(xué)生的備考方法上的指導(dǎo),同時鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)加深課本內(nèi)容,使學(xué)習(xí)更有深度和廣度,例如,解法5利用極點極線思想能大大地減少運算,縮短時間,提高正確率.

        (4)教師應(yīng)有意識地在傳授知識的同時,幫助學(xué)生揭示相關(guān)的學(xué)科思想方法,使他們在獲得知識的過程中同步地形成相應(yīng)學(xué)科的思想方法,并自覺地應(yīng)用這些思想方法來解決問題,

        參考文獻

        [1]蓋傳敏,一道高考試題的賞析及教學(xué)啟示[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)), 2018(09):35-36

        [2]王興華,漫談圓錐曲線的極點與極線——兩高考試題的統(tǒng)一背景與解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2006 (06):15-17

        [3]方亞斌,高考數(shù)學(xué)命題探秘[M],杭州:浙江大學(xué)出版社,2019

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