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        高中數(shù)學(xué)解題中不等式的應(yīng)用

        2022-07-12 11:24:14徐天保
        關(guān)鍵詞:不等式高中數(shù)學(xué)解題

        摘要:不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點,在解題中有著廣泛的應(yīng)用.為提高學(xué)生的應(yīng)用能力,教學(xué)中應(yīng)做好不等式基礎(chǔ)知識講解,使學(xué)生真正地理解,牢固地掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)、結(jié)論等.同時,注重結(jié)合具體的習(xí)題為學(xué)生展示不等式在解題中的應(yīng)用,給其帶來良好的解題啟發(fā).

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);解題;不等式;應(yīng)用

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)16-0053-04

        收稿日期:2022-03-05

        作者簡介:徐天保(1985.6-),男,安徽省懷寧人,碩士,中學(xué)二級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

        應(yīng)用不等式可解答高中數(shù)學(xué)中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結(jié)論等問題.常用的思路有:運(yùn)用基本不等式、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、運(yùn)用放縮法等.授課中除為學(xué)生講解相關(guān)理論,提高其應(yīng)用不等式解題的意識,還應(yīng)做好相關(guān)的應(yīng)用示范,使其積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗.

        1 用于求最值

        高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的求最值無外乎求最大值、最小值,尤其遇到求單個參數(shù)的最值時通常分離參數(shù),而后結(jié)合已知條件拼湊出基本不等式的形式,運(yùn)用基本不等式求解.運(yùn)用基本不等式求最值應(yīng)確保其滿足“一正二定三相等”,尤其不能生搬硬套,否則可能得出錯誤結(jié)果.

        例1已知x,y為正實數(shù)且滿足關(guān)系式x+y+3=xy,對任意的x,y均有(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,則實數(shù)a的最大值為.

        該題不滿足運(yùn)用基本不等式的條件,此時需要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

        解析因為正實數(shù)x,y滿足關(guān)系式

        x+y+3=xy,xy≤(x+y2)2,

        所以x+y+3≤(x+y2)2.

        即(x+y)2-4(x+y)-12≥0.

        解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).

        又因為(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,

        所以a≤x+y+6x+y恒成立.

        問題轉(zhuǎn)化為求x+y+6x+y的最小值.

        令t=x+y(t≥6),則f(t)=t+6t.

        由對勾函數(shù)性質(zhì)可知,其在[6,+∞)上單調(diào)遞增,則f(t)min=7.

        因此,a的最大值為7.

        2 用于比較大小

        運(yùn)用不等式比較大小主要有兩種思路:思路1,借助所學(xué)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.思路2,構(gòu)造出新的函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,而后比較大小.其中思路2難度較大,教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生展示經(jīng)典的例題,使其掌握相關(guān)的解題技巧.

        例2設(shè)a=3π,b=π3,c=33,則a,b,c的大小關(guān)系為().

        A.b>a>cB.c>a>b

        C.a>b>cD.b>c>a

        觀察可知a和c,b和c可直接運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較.而比較a,b的大小,則需要構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識分析.

        解析因為冪函數(shù)y=x3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而π>3,所以b>c.

        又因為y=3x在R上單調(diào)遞增,π>3,

        所以a>c.

        因為a=3π,b=π3,等式兩邊均取對數(shù)得到lna=πl(wèi)n3,lnb=3lnπ.

        令f(x)=lnxx,則f ′(x)=1-lnxx2.

        則當(dāng)x>e時,f ′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減.

        即f(3)>f(π).

        即ln33>lnππ.

        即πl(wèi)n3>3lnπ,lna>lnb.

        即a>b,所以a>b>c,故選C.

        3 用于求取值范圍

        求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的重要題型.相關(guān)的習(xí)題情境復(fù)雜多變,解題思路靈活多樣,其中從不等式視角切入有時會取得意想不到的效果,因此,高中數(shù)學(xué)授課中應(yīng)做好該類題型的歸類,與學(xué)生一起總結(jié)相關(guān)的解題思路.

        例3已知x>0,y>0,x+12y+xy=4,則xy+1x2y2+2xy+17的取值范圍為.

        該題具有一定的技巧性,需要運(yùn)用不等式知識構(gòu)建新的不等關(guān)系,而后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

        解析因為x>0,y>0,x+12y+xy=4,

        故x+12y+xy≥212xy+xy=2·xy+xy.

        即(xy)2+2·xy-4≤0.

        解得0

        即1

        故xy+1x2y2+2xy+17=1xy+1+16xy+1.

        令t=xy+1,則f(t)=t+16t.

        由對勾函數(shù)性質(zhì)可知其在(1,3]上單調(diào)遞減,則f(t)∈[253,17).

        則原式的取值范圍為(117,325].

        4 用于證明結(jié)論

        高中數(shù)學(xué)證明類的習(xí)題一般具有較大的難度,對學(xué)生的綜合能力要求較高.其中證明不等關(guān)系時需要結(jié)合所學(xué)的不等式知識進(jìn)行針對性的放縮.

        例4在數(shù)列{an}中滿足a1=3,an+1=2an+2.設(shè)bn=nan+2,其前n項和為Sn,證明:對任意的n∈N*,15≤Sn<45.

        該習(xí)題以數(shù)列為背景考查了構(gòu)造法、錯位相減法、放縮法等知識,難度較大,尤其放縮時應(yīng)結(jié)合證明的結(jié)論,把握放縮的度.

        解析因為an+1=2an+2,

        所以an+1+2=2(an+2).

        而a1+2=5,所以{an+2}是以5為首項,以2為公比的等比數(shù)列.

        an+2=5·2n-1,bn=n5×2n-1.

        Sn=15(120+221+322+…+n2n-1),①

        12Sn=15(12+222+323+…+n2n),②

        ①-②,得Sn=25(120+12+122+…+12n-1-n2n)

        =25(1-12n1-12-n2n)

        =45-15×n+22n-1<45.

        又Sn+1-Sn=25(n+22n-n+32n+1)=25×n+12n+1>0,

        則{Sn}單調(diào)遞增.

        即Sn≥S1=15.

        綜上對任意的n∈N*,15≤Sn<45.

        5 用于解答新情境問題

        新情境問題在高中數(shù)學(xué)測試以及高考中多有出現(xiàn),能很好地考查學(xué)生遷移所學(xué)知識解決問題的能力.解答該類問題的關(guān)鍵在于對要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,尤其能夠根據(jù)題干描述構(gòu)建新的不等關(guān)系,運(yùn)用不等式以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

        例5若兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)對任意的x∈[a,b]都有|f(x)-g(x)|>2,則稱函數(shù)在[a,b]上是疏遠(yuǎn)的.

        (1)已知命題“函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[0,1]上是疏遠(yuǎn)的”,試判斷該命題真假,若為真命題請予以證明,若為假命題請舉出反例;

        (2)若函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[a,a+1]上是疏遠(yuǎn)的,求實數(shù)a的取值范圍;

        (3)已知常數(shù)c>1,若函數(shù)F(x)=12(cx-c-x)與G(x)=cx在[1,2]上是疏遠(yuǎn)的,求實數(shù)c的取值范圍;

        該習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎,解題的關(guān)鍵在于吃透題意,并根據(jù)給出的新定義將問題轉(zhuǎn)化為在特定區(qū)間求不等式的問題.

        解析對于問題(1)根據(jù)給出的新定義,可知要想滿足題意,則|f(x)-g(x)|>2在[0,1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0,1]上恒成立.

        因為y=x2+x+1=(x+12)2+34在[0,1]單調(diào)遞增,ymin≥1,所以|x2+x+1|=x2+x+1≥1,其并不恒大于2.

        因此,是假命題.例如當(dāng)x=0時,|x2+x+1|=1<2.

        問題(2)將問題轉(zhuǎn)化為|x2+x+1|>2在[a,a+1]上恒成立,因為y=x2+x+1,Δ<0,所以問題轉(zhuǎn)化為x2+x-1>0在[a,a+1]上恒成立.

        令y=0,解得其兩根分別為x1=-1-52,x2=-1+52,要想滿足題意應(yīng)有a+1<-1-52或a>-1+52,解得a<-3-52或a>-1+52.

        問題(3)問題轉(zhuǎn)化為|F(x)-G(x)|>2在[1,2]上恒成立,整理得到

        |-12(cx+c-x)|=|12(cx+c-x)|>2.

        因為cx>0,c-x>0,所以12(cx+c-x)>2.

        即cx+c-x>4.

        令H(x)=cx+c-x,取1≤x11,所以cx1-cx2<0,cx1·cx2>1.

        所以1-1cx1·cx2<0,H(x1)-H(x2)<0,函數(shù)H(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以H(x)>H(1)=c+1c>4,解得c>2+3或c<2-3.

        所以c的取值范圍為(2+3,+∞).6 用于解決實際問題不等式在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用不等式解答實際問題時應(yīng)注重充分吃透題意,通過認(rèn)真審題把握相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系,構(gòu)建對應(yīng)的不等關(guān)系.

        例6某企業(yè)研發(fā)部原有100人,年人均投入a(a>0)萬元,現(xiàn)將研發(fā)部人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員,其中技術(shù)人員有x名(45≤x≤75),調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%,技術(shù)人員的年人均投入為a(m-2x25)萬元.

        (1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入,調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人?

        (2)是否存在實數(shù)m,同時滿足:技術(shù)人員的年人均投入始終不減少;調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入?若存在求出m的值,若不存在,說明理由.

        該題來源于生活.要想正確作答需要認(rèn)真審題,從題干中抽象出相關(guān)參數(shù)的不等關(guān)系,運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行求解.

        解析(1)根據(jù)題意可知,調(diào)整后研發(fā)人員有(100-x)人,年人均投入[1+(4x)%)]a.

        由題意可知(100-x)[1+(4x)%)]a≥100a,解得0≤x≤75.

        又因為45≤x≤75,所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.

        (2)因技術(shù)人員人均投入不減少,則有a(m-2x25)≥a,解得m≥2x25+1.

        同時,研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入,則由(100-x)[1+(4x)%)]a≥ax(m-2x25),解得m≤100x+x25+3.

        綜上可得2x25+1≤m≤100x+x25+3.

        因為100x+x25+3≥2100x·x25+3=7,當(dāng)且僅當(dāng)x=50時取等號,所以m≤7.

        又因為45≤x≤75,x∈N+,當(dāng)x=75時,2x25+1取得最大值7,所以m≥7.

        綜上可得存在這樣的m滿足題意,此時m=7.

        高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識到不等式的重要作用,掌握運(yùn)用不等式解答相關(guān)習(xí)題的思路與技巧,應(yīng)注重與學(xué)生一起推導(dǎo)不等式的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.同時,優(yōu)選經(jīng)典習(xí)題,在課堂上為學(xué)生展示具體的解題過程,并鼓勵學(xué)生做好聽課的總結(jié),更好地加深印象,牢固地掌握所學(xué).

        參考文獻(xiàn):

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        [責(zé)任編輯:李璟]

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