周小燕，楊 惠，趙春艷，梁青青

（蘭州文理學院傳媒工程學院，甘肅 蘭州 730000）

高等數(shù)學這門課程是所有高等院校中很多專業(yè)要學習的一門基礎理論課程。尤其是對于理工科學生而言，更是學習后續(xù)課程的基礎和工具。比如對于學習物理與電子專業(yè)的學生而言，如果高等數(shù)學課程學不好，則會導致后續(xù)開設的專業(yè)課程學習起來非常吃力，因此，可以說掌握好高等數(shù)學這門課程，就相當學生掌握了學習其他課程的有力工具。然而，在高等數(shù)學的教學過程中有著大量復雜的計算和繁瑣的公式推導，使得部分學生在上課時感到非?？菰?，從而失去學習的興趣。同時，部分學生對數(shù)學的抽象性感到十分困惑，比如在計算二重或三重積分時，部分同學對于積分的上下限的取值難以理解，從而導致積分計算錯誤。又比如，學生在計算積分的過程中，通常對于一些要積分的空間是糊里糊涂，從而導致積分結果的錯誤。另外，傳統(tǒng)的教學過程中，主要以邏輯推導和計算為主，上課時顯得枯燥，學生上課注意力稍不注意，就會跟不上老師的思路，從而導致學生的學習積極性受挫。因為高等數(shù)學的學習具有連貫性，上冊內(nèi)容是下冊的基礎，如果學生一開始就沒有扎實學習的話，那么下冊的教學內(nèi)容學習起來也是非常吃力，這樣會嚴重影響學生學習的積極性。

Mathematica 軟件是一款科學計算軟件，很好地結合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)和與其他應用程序的高級連接。很多功能在相應領域內(nèi)處于領先地位，它也是使用最廣泛的數(shù)學軟件之一[1]。自從1988 發(fā)布以來，它已經(jīng)對如何在科技和其他領域運用計算機產(chǎn)生了深刻的影響。它能完成計算器上的任何計算，不僅能做中小學數(shù)學，對大學的高等數(shù)學題目大部分也是能做，比如對于積分、求導、繪圖等，該軟件都是可以實現(xiàn)。隨著計算機的普及以及生活條件的改善,當代大學生中已有較多學生擁有了個人電腦。這樣，如果在個人電腦上安裝上Mathematica 軟件，就相當于擁有了個人的多功能數(shù)學計算實驗室。學生課后可通過軟件方便地實踐課堂上所學的知識，還可以對相似的問題進行總結和歸納[2-3]。這樣不僅提高了學生學習的主動性，還能激發(fā)學生的興趣。

1 課堂教學中典型案例分析

1.1 一元函數(shù)隱函數(shù)求導問題

在學習隱函數(shù)求導的過程中，很多同學都不明白隱函數(shù)表達式具體的含義，也就是說函數(shù)的因變量和自變量之間的函數(shù)關系不能明朗地表示出來，因而會導致在計算過程中出現(xiàn)錯誤，而利用Mathematica 軟件可以很容易求出隱函數(shù)的導數(shù)，這樣也便于學生驗證學生自己做的正確性，從而提高自信心。

1.2 傅里葉級數(shù)展開問題

在實際的問題中，常常會遇到非正弦的周期運動，它們反應了更為復雜的周期運動。如電子技術中常見的周期為T 的矩形波，還有鋸齒波、三角波等。把一個周期的非正弦函數(shù)展開成正余弦函數(shù)的過程即是傅里葉級數(shù)的展開。但是，在具體的計算過程中，往往存在計算量大，公式多而導致學生出現(xiàn)計算錯誤的情況，從而對數(shù)學失去了興趣。但是用Mathematica 軟件卻能很快的計算出來，并且對學生而言，可以來驗證計算結果。比如設f（x）是周期為4 的周期函數(shù)，它在[-π，π]上的表達式為f（x）=，將f（x）展開成傅里葉級數(shù)。同樣的，可以在軟件的“工作窗口”中輸入相應的程序，就可以求出周期為4 的方波函數(shù)的相對應的傅里葉級數(shù)展開形式，具體結果如下：

同時，為了能更加清楚地讓同學們理解函數(shù)的圖形，畫出了32 項的傅里葉級數(shù)的圖形，如圖1 所示。

圖1 周期方波的傅里葉級數(shù)展開

從圖1 可以明顯看到32 項展開非常接近方波。通過這道例題，學生只需改變相應的參數(shù)，就可以得出任意項的展開式。并且能很快得出相應的圖形，這樣可以使學生更加直觀的理解。

1.3 求多變量函數(shù)的極限問題

極限的計算是高等數(shù)學課程教學中一類非常重要的計算類型，尤其是剛開始學習高等數(shù)學的同學，總感覺極限的概念非常難以理解，更不用說求解某個函數(shù)表達式的極限了，尤其是二元函數(shù)的極限。比如求的極限。直接在Mathematica 軟件的“工作窗口”中輸入代碼，就可以計算得出極限為0。

1.4 二重定積分的計算問題

在講解積分計算的問題中，最讓學生困惑的是確定積分的上下限，積分的上下限如果確定好了，計算就相對容易了，比如求兩個底圓半徑都等于2的直交圓柱面所圍成的立體的體積。在計算的過程中，設這兩個圓柱面的方程分別為：

計算這道積分的關鍵其實就是知道如何確定積分的上下限，及明確積分區(qū)域，很多同學的空間想象能力欠缺，很難畫出要積分空間，甚至有些題目就根本畫不出來，只能通過函數(shù)表達式來確定，從而導致在計算過程中積分的計算失誤，但是利用Mathematica 軟件可畫出相應的圖形，如圖2 所示。

圖2 兩個互相垂直的圓柱面的立體圖

因為兩個直角圓柱所圍成的公共立體的體積具有對稱性，所以只要算出第一卦限的即可，為了顯示方便，也可以利用Mathematica 軟件畫出第一卦限的圖形，如圖3 所示。

圖3 第一卦限兩垂直圓柱相交所形成的圖形

從圖3 中可以很明顯地看出所求立體在第一卦限部分可以看成一個曲頂柱體，它的底為：

所以得出了積分表達式為：

2 在教學中利用Mathematica 的優(yōu)點

2.1 Mathematica 軟件強大的作圖功能，將抽象數(shù)學演變?yōu)榫唧w圖像

Mathematica 軟件是一款科學計算軟件，很好地結合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)和與其他應用程序的高級連接。很多功能在相應領域內(nèi)處于領先地位，它也是使用最廣泛的數(shù)學軟件之一。雖然目前有很多軟件如Excel-Spss等也可以做一些比較簡單的圖形，但在具體運用中其功能存在局限性，尤其在針對高等數(shù)學等比較高層次專業(yè)領域的學科研究使用中，要將抽象的數(shù)學概念、公式等通過具體圖像、圖形表現(xiàn)出來，就必須使用如Mathematica 軟件，其做出的圖形更具體也更形象，實現(xiàn)了從抽象到具體的轉變，更有利于開展科學研究。

2.2 數(shù)形結合，有助于提高學生的理解能力

高等數(shù)學課程中有很大一部分內(nèi)容是基礎的理論知識，比如大量的概念、諸多的定理、還有很多要記憶和能熟練應用的公式等，學生對這些內(nèi)容的理解程度將直接影響其學習高等數(shù)學的效果，同時也間接地影響了后續(xù)課程的學習，因為高等數(shù)學是工具和基礎。然而這些理論知識往往是比較抽象的，學生感到枯燥，從而產(chǎn)生厭煩的情緒。而Mathematica 軟件的計算和繪圖能力有助于教師將這些枯燥的內(nèi)容形象化、具體化、生動化。

2.3 Mathematica 軟件強大的數(shù)值計算能力，輔助教學過程

高等數(shù)學課程中一些問題的解決需要學生在課堂上通過比較繁雜的計算來完成，比如在講解二階混合偏導的計算時，有時一道例題往往用二三十分鐘，對于這種情況教師只能將計算原理、過程、步驟結果一一講述到黑板上，教學形式死板、枯燥，計算過程嚴密性、邏輯性非常強，稍有不慎，就會發(fā)生錯誤，從而要求學生也要注意力非常集中，因而學生往往感到難度很大，這樣不但浪費大量的教學時間，而且由于學生缺乏學習興趣，教學效果也大打折扣，并且在課堂中由于教學時間有限，教師在課堂上并不能給學生提供充分的時間來計算練習，這樣只能靠學生下來自己做練習，那么就有一部分學生由于計算能力不強或者偷懶等原因不去計算，而該軟件具有強大的數(shù)值計算能力，可以完成在解決問題中出現(xiàn)的復雜計算，同時學生會被軟件所吸引，學習興趣也會被喚起[4]。

2.4 Mathematica 軟件為解決具體問題提供實踐條件

高等數(shù)學中有時一個問題可能有好幾種解決的方法，這些方法中存在著各種聯(lián)系和區(qū)別，每一種方法都有優(yōu)缺點，那么到底用哪一種方法最簡便，回答這些問題最簡單的方法是將這些方法都列出來，給學生們一一講解，但是，在數(shù)學的教學過程中，這些計算都將耗費很多的時間，那么借助Mathematica軟件強大的計算能力及其超強的繪圖能力就可以展示給學生比較多的計算方法，這樣有助于拓寬學生的解題思路，開闊學生的知識視野，有助于學生更好地學習高等數(shù)學知識，為后續(xù)的學習打下更加堅實的基礎。

2.5 Mathematica 軟件幫助學生建立第二課堂，有助于課后復習和歸納

在個人電腦上安裝上Mathematica 軟件，就相當于擁有了個人的多功能數(shù)學計算實驗室和第二課堂[5]。學生課后可通過軟件方便地實踐課堂上所學的知識，還可以對相似的問題進行總結和歸納，最大程度利用教學資源和軟件資源，這樣不僅提高了學生學習的主動性，還能激發(fā)學生的興趣。

3 結論

通過用Mathematica 軟件對高等數(shù)學中的隱函數(shù)求導、傅里葉級數(shù)的展開、多變量函數(shù)的極限、積分的計算及其三維圖形的畫法等進行了深入的研究，這種研究探索對于教師教學過程以及學生學習過程是非常有益的。通過編程及其作圖，把所得結果可以直觀呈現(xiàn)給學生，加深學生對知識點的理解，提高課堂效率。Mathematica 軟件數(shù)值能力強大，可以做出很多的圖像，給學生的直觀感受，并且可以完成在實際計算中難以完成的計算，在高等數(shù)學的教學中應用前景是非常廣闊的。