劉芳煒 田寧

[摘? 要]：為研究在基坑開挖周圍土體的變形情況，文章在Melan應(yīng)力解的基礎(chǔ)上，結(jié)合彈性力學(xué)物理方程和幾何方程推導(dǎo)出水平線荷載作用下彈性半無限平面內(nèi)的位移解。根據(jù)實際工程位移變化規(guī)律提出相應(yīng)假定，求解待定常數(shù)。利用所推導(dǎo)的公式計算土體內(nèi)各點(diǎn)的位移，將其繪制成位移曲線與有限元ABAQUS的模擬結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明，所推導(dǎo)的位移解能較好地描述土體的變形規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]：Melan應(yīng)力解; 彈性半無限平面; ABAQUS; 基坑; 位移

TU433A

近年來，我國加大了城市地下空間的開發(fā)和利用。這使得地下工程的規(guī)模越來越大，基坑深度不斷增加，地下管線更加復(fù)雜，對基坑周圍土體的位移和沉降控制要求也變得更加嚴(yán)格。因此，準(zhǔn)確預(yù)測荷載作用下基坑周圍土體的位移變化規(guī)律就顯得尤為重要。

針對荷載作用下土體變形計算方法已有較多研究，Mindlin[1]在1936年給出了集中力作用在彈性半無限體內(nèi)的應(yīng)力及位移公式。周佺[2]推導(dǎo)了豎向荷載作用在土體內(nèi)部地基土的變形計算公式。劉光秀等[3]給出了不同分布荷載作用下地基土的側(cè)向位移表達(dá)式。目前，關(guān)于土體內(nèi)部受水平荷載作用的變形計算方法的文獻(xiàn)仍比較少。吳小鋒[4]推導(dǎo)了任意泊松比土體受水平荷載作用下的應(yīng)力表達(dá)式，但未給出位移公式。

本文將基坑變形問題簡化為彈性半無限平面變形問題，以Melan應(yīng)力解為基礎(chǔ)，結(jié)合彈性力學(xué)物理方程和幾何方程，通過積分推導(dǎo)出水平線荷載作用在彈性半無限平面內(nèi)各點(diǎn)的位移分量表達(dá)式，以便于工程人員更好地預(yù)測基坑周圍土體的變形情況，為基坑結(jié)構(gòu)設(shè)計提供理論參考。

1 Melan位移解的推導(dǎo)

Melan[5]在1932年推導(dǎo)出集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)應(yīng)力計算公式。由于該應(yīng)力公式不滿足彈性力學(xué)相容方程，故需要對其進(jìn)行修正。劉計順[6]利用彈性力學(xué)中的平衡方程、幾何方程及邊界條件，給出了修正后的應(yīng)力解，計算簡圖如圖1所示。在彈性半無限平面內(nèi)作用一個水平集中力時，平面內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力為：

σx=P2π1+v0x3r41+x2+4cy-2c2xr42-8cyx3r62+

1-v02xr21+3xr22-4xyy+cr42（1）

σy=P2π1+v0y-c2xr41-c2-y2+6cyxr42+8cyx3r62+

1-v02-xr21+xr22+4xyy+cr42（2）

τxy=P2π1+v0x2y-cr41+x2+2ycy+cr42-

8x2ycy+cr62+1-v02y-cr21+3y+cr22-4yy+c2r42（3）

式中：x，y為M點(diǎn)坐標(biāo);c為水平集中荷載作用點(diǎn)的深度;P為水平集中力;v為泊松比，v0=v1-v;

r1= x2+y-c2，r2= x2+y+c2。

由彈性力學(xué)可得，平面應(yīng)變問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

εx=1E0σx-v0σy（4）

εy=1E0σy-v0σx（5）

γxy=2（1+v0）E0τxy（6）

式中：E為彈性模量;E0=E1-v2;將式（1）、式（2）代入式（4）、式（5），并對其進(jìn)行積分，考慮土力學(xué)中的符號法則，可得到水平和豎向位移公式：

u=-∫εxdx=-P8πE0-21+v02x2r21-

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22+

8cy1+v02x2r42+3-v01+v0lnr21+

5-2v0+v02lnr22+81+v0+F1y（7）

w=-∫εydy=-P4πE041-v0atany+cx-

1+v02y-cxr21-1+v0y-c3-v0xr22+

4cy1+v02（y+c）xr42+F2x（8）

式中：u為水平位移，w為豎向位移;F1y、F2x為待定函數(shù)，F(xiàn)1y=A1y+B1，F(xiàn)2x=A2x+B2。

將式（3）代入式（6），得切向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

γxy=P（1+v0）πE01+v0x2y-cr41+x2+2ycy+cr42-

8x2ycy+cr62+1-v02y-cr21+3y+cr22-4yy+c2r42（9）

平面應(yīng)變問題中幾何方程為：

γxy=uy+wx（10）

其中對水平位移求導(dǎo)得：

dudy=-P8πE0-21+v02x2-2y-cr41-4c1+v021r22-

2yy+cr42-21+v03-v0x2-2y+cr42+8c1+

v02x21r42-4yy+cr62+3-v01+v02y-cr21

+5-2v0+v022y+cr22+dF1ydy（11）

對豎向位移求導(dǎo)得：

dwdx=-P4πE081-v0-y+cr22-21+v02y-c1r21-

2x2r41-21+v03-v0y-c1r22-2x2r42+8cy1+v02y+c1r42-4x2r62+dF2xdx（12）

將式（6）代入式（10），則

uy+wx-21+ν0E0τxy=dF1ydy+dF2xdx=0（13）

即

A1+A2=0（14）

當(dāng)y一定，x趨于無窮時，豎向位移w=0

1+v02y-cxr21-1+v0y-c3-v0xr22+

4cy1+v02（y+c）xr42+F2x=F2x=0（15）

即

A1=A2=B2=0（16）

取x=0，可得水平位移和豎向位移為：

u=-P8πE0-4cy1+v02y+c2+

3-v01+v0lny-c2+

5-2v0+v02lny+c2+81+v0+B1（17）

w=0（18）

根據(jù)水平位移公式，當(dāng)x=0時，在水平荷載作用下，土體產(chǎn)生的水平位移隨著深度y的增加而增加，其值不收斂。

取y=0，水平位移和豎向位移為：

u=-P8πE0-81+v0x2x2+c2+

8ln x2+c2+81+v0+B1（19）

w=-P4πE0-41-v0atanxc+

41+v0cxx2+c2+2π1-v0（20）

可以看出，在水平荷載作用下，隨著水平距離x的增加，地表的豎向位移趨于一個定值，而水平位移絕對值不斷增大，其值不收斂。

在實際工程中，土體的位移不會無限增加。顯然，水平位移公式與實際不符。因此，本文根據(jù)工程中位移變化的一般規(guī)律，認(rèn)為在距離原點(diǎn)足夠深的位置，或在地表離原點(diǎn)足夠遠(yuǎn)的位置，水平位移為0，即當(dāng)x=0，y=y0時，u=0;當(dāng)y=0，x=x0時，u=0。由此解得：

B1=-P8πE04cy01+v02y0+c2-3-v01+v0lny0-c2-

5-2v0+v02lny0+c2-81+v0（21）

或

B1=-P8πE081+v0x20x20+c2-8lnx20+c2-81+v0（22）

其中，x0，y0可根據(jù)當(dāng)?shù)毓こ痰刭|(zhì)條件及荷載大小取經(jīng)驗值。

所以，在水平荷載作用下，Melan位移解的水平位移及豎向位移表達(dá)式為：

u=-∫εxdx=P8πE021+v02x2r21+

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22-

8cy1+v02x2r42-3-v01+v0lnr21y0-c2-

5-2v0+v02lnr22y0+c2-4cy01+v02y0+c2（23）

u=-∫εxdx=P8πE021+v02x2r21+

21+v02cy1+v0+3-v0x2r22-8cy1+v02x2r42-

3-v01+v0lnr21-5-2v0+v02

lnr22-81+v0x20x20+c2+8lnx20+c2（24）

w=-∫εydy=P4πE041-v0atanxy+c+

1+v02y-cxr21+1+v0y-c3-v0xr22-

4cy1+v02y+cxr42-2π1-v0（25）

2 算例分析

本文通過ABAQUS有限元軟件模擬水平荷載作用下土體的變形情況，并將模擬結(jié)果與解析解的計算結(jié)果進(jìn)行比較分析，以此來驗證所求得的解析解在計算土體水平位移方面的可靠性。由于豎向位移公式已有部分學(xué)者進(jìn)行了驗證，本文不再進(jìn)行模擬對比，僅針對水平位移結(jié)果進(jìn)行對比。

采用二維平面應(yīng)變模型，模型尺寸如圖2所示。選取水平力P=150 kN，作用深度為10 m，土體彈性模量為40 MPa，泊松比為0.3，采用CPS4R單元。模型的邊界條件為左、右邊界限制水平位移，底部邊界限制水平和豎直方向的位移。

采用式（23），取y0=150 m，分別計算當(dāng)x=1 m，10 m，20 m時，土體水平位移隨深度的變化值，并與數(shù)值模擬計算結(jié)果進(jìn)行比較。數(shù)值模擬與理論計算的水平位移曲線對比結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，本文計算方法得到的水平位移曲線與ABAQUS數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，且理論計算的最大水平位移略大于數(shù)值模擬所得到的結(jié)果，因此，采用理論計算結(jié)果進(jìn)行設(shè)計偏于安全。

由于式（24）與式（23）僅在常數(shù)項有所區(qū)別，因此，式（24）與式（23）計算的水平位移曲線形狀完全相同，選取合適的x0便可得到與式（23）吻合的曲線。

3 結(jié)論

本文在Melan推導(dǎo)的集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)的應(yīng)力計算公式的基礎(chǔ)上，利用彈性力學(xué)的平衡方程及幾何方程，推導(dǎo)出水平線性荷載作用在平面半無限體內(nèi)土體的位移解。根據(jù)實際工程位移變化規(guī)律，提出相應(yīng)假定并求解出待定函數(shù)，解決了解析解發(fā)散的問題，確保其在荷載作用一定范圍內(nèi)收斂。將解析解結(jié)果與ABAQUS有限元軟件的模擬結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，二者的水平位移曲線較為吻合，證明本文所推導(dǎo)的計算公式對求解水平線性荷載作用下基坑周圍土體的位移具有較高的準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)

[1] Mindlin R. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. Physics， 1936， N5.

[2] 周佺. 基于Melan解的地基變形計算分析研究[J]. 四川建筑，2020， 40（5）： 158-160+162.

[3] 劉光秀，李玉根，曹艷妮. 路堤荷載下地基的側(cè)向變形計算分析[J]. 巖土力學(xué)，2018， 39（12）： 4517-4526 + 4536.

[4] 吳小鋒，李光范，駱俊暉. 水平向線荷載作用下土中應(yīng)力[J]. 海南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012， 30（3）： 219-224.

[5] Ernst Melan. Der Spannungszustand der durch eine Einzelkraft im Innern beanspruchten Halbscheibe[J]. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics， 1932， 12（6）： 343-346.

[6] 劉計順，張喆. 集中力作用在彈性半無限平面內(nèi)的Melan解研究[J]. 路基工程，2018（6）： 38-41.