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        “雙新”背景下數(shù)學(xué)建模活動(dòng)初探
        ——以“醫(yī)院推床通道的寬度研究”為例

        2022-07-08 00:53:36200137上海市高橋中學(xué)朱詠梅楊晨昊
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
        關(guān)鍵詞:雙新病床轉(zhuǎn)角

        200137 上海市高橋中學(xué) 朱詠梅 楊晨昊

        一、 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

        (一)教材分析

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)明確指出必修課程包括五個(gè)主題,分別是預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

        .

        課標(biāo)在主題二“函數(shù)”的教學(xué)提示中提到,函數(shù)應(yīng)用不僅體現(xiàn)在用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,更重要的是用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

        .

        在函數(shù)單元的學(xué)習(xí)中,幫助學(xué)生理解函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過(guò)程;運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

        .

        《上海市數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求》明確指出,在函數(shù)的單元教學(xué)中,應(yīng)把本單元的內(nèi)容視為一個(gè)整體,從具體的函數(shù)出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生從變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖像的幾何直觀等角度整體認(rèn)識(shí)函數(shù)概念

        .

        通過(guò)梳理函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、最大(小)值等認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)

        .

        而數(shù)學(xué)建模正是學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型,探究并解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用體驗(yàn),有助于學(xué)生深刻感悟函數(shù)作為數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用

        .

        數(shù)學(xué)建模與教材必修一“5

        .

        3函數(shù)關(guān)系的建立”的側(cè)重點(diǎn)是不同的

        .

        函數(shù)關(guān)系的建立是對(duì)已經(jīng)數(shù)學(xué)化的問(wèn)題,通過(guò)分析變量間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系,亦可著眼于在簡(jiǎn)單的生產(chǎn)、生活問(wèn)題中建立相應(yīng)的函數(shù)模型

        .

        而數(shù)學(xué)建模是對(duì)某個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題經(jīng)過(guò)必要的簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)得到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,將其稱為數(shù)學(xué)模型,再求解所得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題,根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證該數(shù)學(xué)答案是否合理

        .

        在合理性得不到保證時(shí),還要進(jìn)行反復(fù)迭代和修正模型

        .

        數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,到賦予數(shù)學(xué)模型解答現(xiàn)實(shí)意義的完整過(guò)程

        .

        (二)教學(xué)內(nèi)容解析

        本次建模活動(dòng)是在滬教版普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修一第五章第三節(jié)“函數(shù)關(guān)系式的建立”教學(xué)之后進(jìn)行的,是參考必修四中“家具搬運(yùn)”的案例,重新創(chuàng)設(shè)的適合高一學(xué)生開(kāi)展的一次數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)

        .

        本活動(dòng)共分為四課時(shí),其中,第一課時(shí)、第四課時(shí)在課堂外進(jìn)行,本文重點(diǎn)探究第二課時(shí)、第三課時(shí)

        .

        第二課時(shí):

        現(xiàn)實(shí)帶來(lái)的思考是救治病人需要爭(zhēng)分奪秒,在最短時(shí)間內(nèi)通過(guò)病床把病人送到搶救室

        .

        因此,從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,即醫(yī)院推床通道的寬度應(yīng)有嚴(yán)格的最低限度要求,進(jìn)而通過(guò)分析問(wèn)題、建立轉(zhuǎn)角模型并求解模型得到答案、回到實(shí)際情境驗(yàn)證答案、直觀感受到答案與實(shí)際情形不相符,產(chǎn)生疑惑,發(fā)現(xiàn)需要再改進(jìn)模型

        .

        第三課時(shí):

        根據(jù)問(wèn)題本質(zhì),通過(guò)數(shù)據(jù)分析、逐步添加影響因素等方式,模型不斷完善,在模型不斷合理化的過(guò)程中提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力,開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力

        .

        (三)學(xué)情分析

        1

        .

        學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)具備了銳角三角比、函數(shù)的概念、性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性,最值)等知識(shí),能對(duì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系

        .

        2

        .

        達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,包括將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,分析問(wèn)題的本質(zhì)與影響因素,收集數(shù)據(jù)并合理分析運(yùn)用,建模、解模、檢驗(yàn)?zāi)P?、?yōu)化模型、再檢驗(yàn)?zāi)P偷饶芰?p>.

        3

        .

        教學(xué)難點(diǎn)的突破策略通過(guò)教師引導(dǎo)啟發(fā),學(xué)生小組團(tuán)隊(duì)合作完成數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程,應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件輔助直觀想象

        .

        二、 教學(xué)設(shè)計(jì)具體內(nèi)容

        通過(guò)教師的引導(dǎo),學(xué)生逐步考察影響數(shù)學(xué)模型的相關(guān)因素(如圖1所示)

        .

        圖1

        (一)教學(xué)過(guò)程

        活動(dòng)1

        創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

        情境1

        (播放視頻)搶救病人需要爭(zhēng)分奪秒,在推拉著病床迅速跑向搶救室的過(guò)程中,一路上要保證行進(jìn)的暢通、順利

        .

        因此,對(duì)于醫(yī)院通行推床的通道,其寬度的最低限度有嚴(yán)格的要求

        .

        問(wèn)題1

        如果由你來(lái)制定這個(gè)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),你認(rèn)為該通道寬度的最小值應(yīng)為多少?

        設(shè)計(jì)意圖:

        通過(guò)真實(shí)的情境引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并能準(zhǔn)確表達(dá)

        .

        活動(dòng)2

        分析問(wèn)題本質(zhì),考察相關(guān)因素

        情境2

        每個(gè)小組畫(huà)出病床在通道中運(yùn)動(dòng)的示意圖,小組展示交流,并考察問(wèn)題的本質(zhì)和相關(guān)的因素

        .

        問(wèn)題2

        該問(wèn)題的本質(zhì)是什么?在病床能轉(zhuǎn)過(guò)通道轉(zhuǎn)角的前提下,求解通道寬度的最小值

        .

        (因?yàn)椴〈驳膶挾纫欢ㄐ∮谕ǖ缹挾?,故不考慮病床的直線前進(jìn))這里的通道寬度指的是除去占用通道的物體后,實(shí)際可行的通道寬度,也就是通道凈寬的最小值(如圖2所示)

        .

        圖2

        問(wèn)題3

        影響通道寬度的因素有哪些?由于病床的床面和地面平行,床的高度一定小于樓層高度,所以只需要研究病床在水平地面上的投影形成的平面幾何圖形即可

        .

        因此,有可能影響通道寬度的因素如圖3所示

        .

        圖3

        問(wèn)題4

        如何處理這么多復(fù)雜的因素?提出合理的假設(shè)

        .

        1

        .

        通道的轉(zhuǎn)角是直角,因?yàn)橹苯寝D(zhuǎn)角是建筑通道中最多使用的轉(zhuǎn)角

        .

        2

        .

        轉(zhuǎn)角兩側(cè)的通道沒(méi)有任何占據(jù)通道的人或物,且通道兩側(cè)凈寬相同,記為

        d.

        3

        .

        病床的尺寸有嚴(yán)格的要求,為了研究的方便,用字母

        l

        表示其長(zhǎng)度,

        h

        表示其寬度

        .

        4

        .

        忽略運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的所有摩擦

        .

        設(shè)計(jì)意圖:

        通過(guò)一系列問(wèn)題串,學(xué)生對(duì)從現(xiàn)實(shí)情境抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析方式有了直觀的理解,為后續(xù)初步建模建立了基礎(chǔ)

        .

        活動(dòng)3

        分析主要矛盾,合理簡(jiǎn)化模型

        情境3

        考察該問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)模型

        .

        問(wèn)題5

        既然影響問(wèn)題的因素得到了合理簡(jiǎn)化,那么該問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型能否相應(yīng)得到簡(jiǎn)化?由于人能夠推動(dòng)病床前進(jìn)且?guī)椭〈岔樌D(zhuǎn)過(guò)通道轉(zhuǎn)角,故假設(shè)病床有自動(dòng)前進(jìn)、轉(zhuǎn)彎的功能,工作人員都在床的前方或者后方,這樣就能先忽略人對(duì)通道寬度的影響

        .

        此時(shí),如圖4所示,通道寬度

        d

        就只與病床的長(zhǎng)

        l

        、寬

        h

        有關(guān)

        .

        圖4

        情境4

        利用幾何畫(huà)板觀察病床轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角的過(guò)程,感受通道寬度

        d

        只與病床的長(zhǎng)

        l

        、寬

        h

        之間有依賴關(guān)系

        .

        問(wèn)題6

        如何理解長(zhǎng)

        l

        、寬

        h

        的病床能夠轉(zhuǎn)過(guò)寬度

        d

        的通道?從運(yùn)動(dòng)過(guò)程(幾何畫(huà)板拖動(dòng)演示)可見(jiàn),如果通道足夠?qū)?,那么床能順利轉(zhuǎn)彎(如圖5-1所示)

        .

        說(shuō)明此時(shí)可以縮小通道的寬度,使得床的一邊抵在通道轉(zhuǎn)到的拐點(diǎn)(如圖5-2所示)

        .

        圖5-1圖5-2

        圖5-3

        而如果床的一邊抵住了點(diǎn)

        O

        ,有時(shí)也會(huì)發(fā)生無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng)的情況(如圖5-3所示)

        .

        造成上述情況的原因是病床在運(yùn)動(dòng)中不會(huì)發(fā)生形變,不易想象病床抵住墻時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況,且不知道通道寬度

        d

        與病床的長(zhǎng)

        l

        、寬

        h

        之間的關(guān)系,這給問(wèn)題的解決造成了困難

        .

        換一個(gè)角度思考、想象一下,將病床置于一個(gè)長(zhǎng)寬都能在運(yùn)動(dòng)中伸縮自如的彈性矩形內(nèi),這樣彈性矩形就可以抵住墻轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角,此時(shí)通道寬度和彈性矩形長(zhǎng)寬之間存在著某種依賴關(guān)系

        .

        圖6

        問(wèn)題7

        通道寬度和彈性矩形長(zhǎng)寬之間的關(guān)系是一個(gè)多元變量函數(shù),以目前的知識(shí)儲(chǔ)備無(wú)法解決這樣的問(wèn)題,怎么辦?考慮控制變量,實(shí)現(xiàn)降維處理

        .

        如圖6所示,令彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        的寬度即為病床的寬度,

        B

        ,

        C

        始終貼著通道外側(cè)的墻運(yùn)動(dòng)的情況下,結(jié)合動(dòng)畫(huà)軟件可知在

        θ

        變化的過(guò)程中,對(duì)任意給定的通道寬度

        d

        ,線段

        B

        C

        的長(zhǎng)度隨之變化并有最小值

        .

        對(duì)任意給定的通道寬度

        d

        ,只要病床的長(zhǎng)度

        l

        小于等于

        B

        C

        的最小值,病床就能轉(zhuǎn)過(guò)直角通道

        .

        設(shè)計(jì)意圖:

        通過(guò)對(duì)所有相關(guān)因素的分析與簡(jiǎn)化,抓住影響問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn),實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的簡(jiǎn)化,同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)多變量進(jìn)行控制變量是實(shí)現(xiàn)降維處理、化繁為簡(jiǎn)的有效手段

        .

        活動(dòng)4

        模型初建與求解

        轉(zhuǎn)角模型

        推床轉(zhuǎn)彎的問(wèn)題可以表述為如下數(shù)學(xué)問(wèn)題

        .

        如圖7,已知

        OM

        PK

        ON

        PQ

        分別平行且距離都是定值

        d

        ,

        OM

        ON

        PK

        PQ

        ,矩形

        A

        B

        C

        D

        的邊

        A

        D

        通過(guò)點(diǎn)

        O

        ,矩形的寬

        A

        B

        =

        h

        (

        h

        為定值,且

        h

        <

        d

        ),∠

        D

        ON

        =

        θ

        ,求矩形的長(zhǎng)

        l

        ′與角

        θ

        的函數(shù)關(guān)系

        l

        ′=

        f

        (

        θ

        ),并求這個(gè)函數(shù)的最小值

        .

        圖7

        過(guò)

        A

        EF

        KP

        ,交

        KP

        E

        ,交

        OM

        F

        ,過(guò)

        D

        HG

        PQ

        ,交

        PQ

        G

        ,交

        ON

        H

        ,則∠

        A

        B

        E

        =∠

        C

        D

        G

        =∠

        OA

        F

        =∠

        D

        ON

        =

        θ.

        顯然

        l

        ′=

        OA

        +

        OD

        ,在Rt△

        A

        EB

        中,

        A

        E

        =

        h

        sin

        θ

        ,所以

        A

        F

        =

        d

        -

        h

        sin

        θ

        ,進(jìn)而在Rt△

        OA

        F

        中,同理所以其中考慮到

        d

        >

        h

        ,不妨設(shè)

        d

        =

        th

        (

        t

        >1),于是有令

        x

        =sin

        θ

        +cos

        θ

        ,則且則再令

        u

        =

        tx

        -1,則且從而上式變形為對(duì)于函數(shù)任取即在上嚴(yán)格遞增,所以當(dāng)時(shí),此時(shí)因此,當(dāng)床的長(zhǎng)度時(shí),能轉(zhuǎn)過(guò)兩側(cè)寬度為

        d

        的直角轉(zhuǎn)角,即通道凈寬

        設(shè)計(jì)意圖:

        通過(guò)對(duì)模型的初建和改進(jìn),感悟初步建立模型并求解的意義在于得到極簡(jiǎn)情況下數(shù)學(xué)意義上的解,盡管這個(gè)結(jié)果與真實(shí)情形是有較大差距的,但它為后續(xù)的模型改進(jìn)提供了必要的基礎(chǔ)

        .

        活動(dòng)5

        交流反思模型的解及其實(shí)際意義

        情境5

        對(duì)改進(jìn)后模型的解進(jìn)行分析

        .

        問(wèn)題8

        利用轉(zhuǎn)角模型的結(jié)論,結(jié)合病床的尺寸求解通道寬度的最小值,并思考這個(gè)結(jié)果的合理性

        .

        醫(yī)用病床基本尺寸應(yīng)符合不含床架的情況下,床面長(zhǎng)度為1900mm-2000mm,床面寬度為900mm-1000mm,且床欄的高度應(yīng)不小于350mm,長(zhǎng)度不小于800mm.

        圖8

        醫(yī)院病床最為常見(jiàn)的是ABS沖孔面手動(dòng)雙搖病床(如圖8所示),其外形尺寸為2000mm×900mm×500mm(長(zhǎng)×寬×床面高)

        .

        因此若取

        h

        =1m,

        l

        =2m,則由得若取

        h

        =0

        .

        9m,

        l

        =2m,則由得

        d

        ≈1

        .

        343m

        .

        由此提出問(wèn)題:根據(jù)上述建模的結(jié)果,你能給出醫(yī)院通道寬度的最低限度嗎?(不能,還要考慮人的因素)

        問(wèn)題9

        如何考慮人對(duì)通道寬度的影響?人的作用是幫助病床前進(jìn)、轉(zhuǎn)彎,其站位和體型都對(duì)通道寬度有影響

        .

        人的站位:(觀察視頻中醫(yī)護(hù)人員的站位)通常情況下,推床周圍有5名工作人員,其中4名分別站在床的兩側(cè)(陰影處),還有1名在床尾推著床前進(jìn)(斜紋處),其站位通常情況如圖9所示

        .

        人的體型:由于人的體型復(fù)雜,不易處理

        .

        為了研究的方便,這里對(duì)人體作簡(jiǎn)化處理,將人看成一個(gè)長(zhǎng)方體,假設(shè)人體寬為

        w

        ,人體厚度為

        k

        ,則其俯視圖是鄰邊為

        w

        ,

        k

        的矩形(如圖10所示)

        .

        圖9圖10

        提出問(wèn)題:根據(jù)人的體型和站位,你能畫(huà)出工作人員推病床的俯視圖嗎?

        該平面圖形的橫向最大寬度是床的寬度+兩人的寬度,縱向最大長(zhǎng)度是床的長(zhǎng)度+一步長(zhǎng)(如圖9所示)

        .

        問(wèn)題10

        如何選取人的體型數(shù)據(jù)?盡管床兩側(cè)的4名工作人員會(huì)有側(cè)身的情況,但前進(jìn)中大致上還是會(huì)保持身體朝前方的姿態(tài),因此其俯視圖的寬度應(yīng)為人體最寬的部位

        .

        而人體最寬的部位是肩部,下面考察普通成年人的肩寬

        .

        根據(jù)《中國(guó)成年人人體尺寸(GB10000-88)》得到表1

        .

        表1

        年齡分組項(xiàng)目男女男女差 男18歲-60歲,女18歲-55歲身高(mm)16781570108肩寬(mm)37535124最大肩寬(mm)43139734

        說(shuō)明:

        肩寬指的是人兩肩峰之間的距離,最大肩寬指的是人上臂三角肌外側(cè)兩點(diǎn)間的距離,所以應(yīng)該用“最大肩寬”

        .

        該數(shù)據(jù)來(lái)自1986年我國(guó)人體基礎(chǔ)數(shù)據(jù)調(diào)查

        .

        時(shí)隔20多年,隨著人的生活水平不斷提高,越來(lái)越多的人重視運(yùn)動(dòng)健身,人的體型也發(fā)生了較大的變化

        .

        2013年11月27日,“中國(guó)成年人工效學(xué)基礎(chǔ)參數(shù)調(diào)查”正式啟動(dòng),持續(xù)5年

        .

        而“國(guó)家人口健康科學(xué)數(shù)據(jù)中心人口健康科學(xué)數(shù)據(jù)倉(cāng)儲(chǔ)PHDA”的網(wǎng)頁(yè)顯示,該調(diào)查數(shù)據(jù)將于2029年11月19日公開(kāi)

        .

        因此,引入其他國(guó)家的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行參考,例如根據(jù)日本《size-JPN 2004-2006》得到表2.

        表2

        年齡(歲)身高(mm)肩寬(mm)最大肩寬(mm)男女男女男女20-241704158240335844940825-291710159040436046040730-341713158440635846640635-391710158540635946540740-441705157940436046541145-491697156240335946340650-5416911555399358459408

        根據(jù)美國(guó)2010

        Anthropometric

        Survey

        of

        U.S.

        Marine

        Corps

        Personnel

        :

        Methods

        and

        Summary

        Statistics

        節(jié)選得到表3

        .

        表3

        年份項(xiàng)目女男男女差2010身高(cm)162.49175.3412.85肩寬(cm)35.8540.885.03最大肩寬(cm)44.1949.795.6

        結(jié)合上述數(shù)據(jù),考慮到亞洲人與歐美人的體型有較大差異,所以采用日本的數(shù)據(jù),記推床的醫(yī)護(hù)人員的最大肩寬為0

        .

        466m

        .

        后兩名工作人員在奔跑中呈前傾姿勢(shì),因此,其俯視圖是長(zhǎng)度為人最大肩寬

        w

        ,寬度為手所扶的床沿到腳后跟的距離

        k

        ′,取

        k

        ′=0

        .

        9m

        .

        問(wèn)題11

        結(jié)合轉(zhuǎn)角模型的結(jié)果和人的相關(guān)數(shù)據(jù),再次求解通道寬度的最小值,并思考此時(shí)能否為醫(yī)院推床通道定一個(gè)最低的寬度

        .

        如圖11,將人和病床置于矩形內(nèi),若取床寬

        h

        =1m,則通過(guò)直角通道的矩形的長(zhǎng)度為

        l

        +

        k

        ′=2

        .

        9m,寬度為

        h

        +2

        w

        =1+2×0

        .

        466=1

        .

        932m,則若取床寬

        h

        =0

        .

        9m,則

        圖11

        根據(jù)模型結(jié)論,考慮到行進(jìn)中的工作人員和墻之間會(huì)留有一定的空間,所以推床通道的凈寬不低于2

        .

        4m是合理的

        .

        這與《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中的規(guī)定是吻合的

        .

        設(shè)計(jì)意圖:

        在轉(zhuǎn)角模型的基礎(chǔ)上,增加先前為了簡(jiǎn)化模型而去掉的因素,還原模型的真實(shí)性,體會(huì)模型不斷改進(jìn)的必要性

        .

        同時(shí)在人體數(shù)據(jù)的收集和運(yùn)用中,讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)的來(lái)源必須是真實(shí)的,其運(yùn)用是有理有據(jù)的

        .

        情境6

        關(guān)于模型的一些思考

        .

        問(wèn)題12

        如果兩側(cè)寬度相同的轉(zhuǎn)角是鈍角,通道的寬度的最小值會(huì)有所改變嗎?如圖12-1、圖12-2,在彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        轉(zhuǎn)彎的過(guò)程中,

        B

        C

        的長(zhǎng)度在轉(zhuǎn)角的角平分線

        OP

        兩側(cè)呈對(duì)稱變化,所以只需考慮當(dāng)

        B

        C

        垂直于轉(zhuǎn)角的角平分線

        OP

        時(shí),彈性矩形轉(zhuǎn)出這個(gè)拐角的過(guò)程即可

        .

        圖12-1

        圖12-2

        當(dāng)

        B

        C

        垂直于轉(zhuǎn)角的角平分線時(shí),過(guò)

        B

        ,

        C

        分別作

        PB

        PC

        的垂線,兩條垂線交于點(diǎn)

        O

        .

        O

        ′為圓心,

        O

        O

        和的長(zhǎng)度為半徑作出同心圓,當(dāng)彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        在同心圓通道內(nèi)滑動(dòng)時(shí),其形狀不會(huì)發(fā)生變化

        .

        說(shuō)明:

        若不然,當(dāng)為銳角時(shí),

        B

        處無(wú)法左轉(zhuǎn);當(dāng)為鈍角時(shí),

        C

        處無(wú)法左轉(zhuǎn),從而矩形無(wú)法前進(jìn)轉(zhuǎn)出,如圖13-1、圖13-2所示

        .

        圖13-1

        圖13-2

        由于同心圓中較大的圓與通道的外側(cè)

        PB

        ,

        PC

        相切于

        B

        ,

        C

        ,因此當(dāng)彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        保持寬度

        A

        B

        =

        h

        (病床寬度)不變,從垂直于角平分線

        OP

        起發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)并到達(dá)圖12-2中加粗位置時(shí),此時(shí)

        B

        C

        兩點(diǎn)處于通道內(nèi)

        .

        也就是說(shuō),一旦撤去同心圓軌道,

        B

        C

        就會(huì)伸長(zhǎng),使得

        B

        C

        兩點(diǎn)抵住通道外側(cè)墻面,即彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        的長(zhǎng)

        B

        C

        變大

        .

        從上述過(guò)程可知,如圖14,彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        垂直于角平分線

        OP

        時(shí),

        B

        C

        達(dá)到最小值,只要病床的長(zhǎng)度小于(

        B

        C

        )時(shí),病床就能通過(guò)該轉(zhuǎn)角

        .

        此時(shí)彈性矩形

        A

        B

        C

        D

        即為病床俯視圖的矩形

        ABCD

        ,

        h

        =1m,

        l

        =2m)

        .

        圖14

        設(shè)轉(zhuǎn)角則代入

        h

        =1,

        l

        =2,得所以因?yàn)樗院瘮?shù)在上嚴(yán)格遞減,如圖15所示,即當(dāng)轉(zhuǎn)角通過(guò)規(guī)格統(tǒng)一的病床時(shí),

        α

        越大時(shí),通道所需的凈寬就越小,由此也說(shuō)明了通道凈寬的最小值應(yīng)該按照直角通道來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)

        .

        圖15

        設(shè)計(jì)意圖:

        改變轉(zhuǎn)角角度即是對(duì)合理簡(jiǎn)化后條件做出的改進(jìn),也是讓學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)不同因素對(duì)通道寬度的影響,同時(shí)這些結(jié)論也能再次解釋《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中通道凈寬最小值的合理性

        .

        由此,還可以將其推廣到其他建筑類型中,即在滿足相關(guān)建筑行業(yè)規(guī)范的前提下,設(shè)計(jì)不同的、既實(shí)用又美觀的通道

        .

        問(wèn)題13

        如果(直角)轉(zhuǎn)角兩側(cè)的過(guò)道的寬度不同,從窄的過(guò)道轉(zhuǎn)進(jìn)寬的過(guò)道,或者從寬的過(guò)道轉(zhuǎn)進(jìn)窄的過(guò)道,情況會(huì)有什么不同?“寬進(jìn)窄出”和“窄進(jìn)寬出”是運(yùn)動(dòng)相反的兩個(gè)過(guò)程,所以只需考慮其中一種即可,下面說(shuō)明窄進(jìn)寬出

        .

        設(shè)窄側(cè)通道寬度為

        b

        ,寬側(cè)通道寬度為

        a

        (

        a

        >

        b

        ),如圖在

        θ

        變化中的任意時(shí)刻都有

        圖16

        而兩側(cè)等寬的直角通道的寬度最小值已經(jīng)在之前的模型中解決了,從而說(shuō)明當(dāng)通道兩側(cè)寬度不同時(shí),所能通過(guò)的病床的最大長(zhǎng)度,一定大于通道兩側(cè)等寬時(shí)的病床的最大長(zhǎng)度

        .

        因此,當(dāng)窄側(cè)通道的寬度達(dá)到《綜合醫(yī)院建筑設(shè)計(jì)規(guī)范》中要求的2

        .

        4m時(shí),就能保證病床能順利通過(guò)兩側(cè)寬度不同的直角通道

        .

        設(shè)計(jì)意圖:

        改變轉(zhuǎn)角兩側(cè)的通道寬度有兩方面的需求

        .

        一是改變初步建模時(shí)設(shè)置的通道兩側(cè)等寬的條件,以觀察這種情況對(duì)模型結(jié)果的影響

        .

        二是這個(gè)病床轉(zhuǎn)彎的模型還有其他可以應(yīng)用的意義,如停車場(chǎng)中的車道并非都是等寬的

        .

        因此,根據(jù)此模型的解可知,在設(shè)計(jì)兩側(cè)不等寬的直角通道時(shí),窄側(cè)通道需達(dá)到相應(yīng)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)

        .

        問(wèn)題14

        經(jīng)過(guò)本次建?;顒?dòng),你還能對(duì)模型作出其他改進(jìn)嗎?你還能從其他角度來(lái)建模嗎?你覺(jué)得生活中還有哪些地方可以用到該數(shù)學(xué)模型?

        問(wèn)題15

        你覺(jué)得還有哪些生活中的問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)建模的方式來(lái)解決?

        設(shè)計(jì)意圖:

        引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn),使其認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)由簡(jiǎn)到繁、不斷完善的過(guò)程,任何一個(gè)模型都有其不足,需要多角度建模,并不斷改進(jìn),才能使模型與真實(shí)情境更貼近;使學(xué)生明白要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界

        .

        (二)總結(jié)

        1

        .

        數(shù)學(xué)建模的過(guò)程(如圖17所示)

        .

        圖17

        2

        .

        數(shù)學(xué)建模過(guò)程是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、逐步優(yōu)化的過(guò)程

        .

        初步建模時(shí)應(yīng)突出影響目標(biāo)的主要因素,簡(jiǎn)化其他因素,分類分解復(fù)雜因素,使問(wèn)題得到初步解決,然后再逐步添加其他因素,使數(shù)學(xué)模型越來(lái)越接近現(xiàn)實(shí)情形

        .

        三、 案例反思

        (一)建模方式的初探——建?;顒?dòng)的真實(shí)體驗(yàn)

        本次建?;顒?dòng)是基于新教課程、新教材的第一次初探,以四課時(shí)為一次建模活動(dòng)進(jìn)行探究

        .

        第一課時(shí)的主要內(nèi)容是數(shù)據(jù)采集、實(shí)地考察、資料收集、小組協(xié)作

        .

        第一課時(shí)在課堂之外展開(kāi),學(xué)生以小組為單位,教師指導(dǎo),家長(zhǎng)為輔,在確保安全的前提下,有些小組進(jìn)入醫(yī)院對(duì)通道寬度、病床寬度等進(jìn)行實(shí)地測(cè)量,或根據(jù)醫(yī)院可提供的數(shù)據(jù),得到了2m到6

        .

        8m不等的醫(yī)院通道寬度數(shù)據(jù)

        .

        有些小組上網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,比如采集人體尺寸、病床尺寸等信息

        .

        有些小組進(jìn)行訪談,記錄了解相關(guān)信息

        .

        通過(guò)小組組員協(xié)作,學(xué)生自行制作PPT展示小組的調(diào)查情況

        .

        有了數(shù)據(jù)之后,教師布置學(xué)生閱讀材料

        .

        由于這次建?;顒?dòng)所需的知識(shí)儲(chǔ)備不僅涵蓋不等式、函數(shù),而且涉及三角知識(shí),所以教師通過(guò)預(yù)習(xí)方式將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化

        .

        學(xué)生通過(guò)自主預(yù)習(xí)、自主采集(上網(wǎng)查閱需要的數(shù)學(xué)知識(shí)、向教師尋求幫助、和同伴合作交流)、自主探究等方式解決“自學(xué)案”的三個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

        .

        第二課時(shí)和第三課時(shí)依托市級(jí)展示活動(dòng),以公開(kāi)教學(xué)方式展開(kāi)

        .

        本文的教學(xué)案例就是基于第二課時(shí)和第三課時(shí)設(shè)計(jì)并完成的

        .

        在經(jīng)歷了第一課時(shí)的實(shí)際問(wèn)題調(diào)查后,學(xué)生經(jīng)歷如下六個(gè)步驟:在真實(shí)情境中提出問(wèn)題;分析問(wèn)題的本質(zhì)和影響因素;突出主要矛盾,對(duì)影響因素作出合理的假設(shè);建模解模,并檢驗(yàn);反思改進(jìn)模型,再檢驗(yàn);對(duì)模型進(jìn)一步思考

        .

        兩節(jié)課原先沒(méi)有設(shè)計(jì)“畫(huà)一畫(huà)”的學(xué)生活動(dòng),教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)化的過(guò)程有一定的困難,通過(guò)試講發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題,故而在問(wèn)題引入上加以改進(jìn)

        .

        結(jié)合調(diào)查的數(shù)據(jù)和視頻資料,學(xué)生以小組為單位畫(huà)出需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的圖像,在直觀想象下思考并解決問(wèn)題

        .

        “畫(huà)一畫(huà)”活動(dòng)的調(diào)整不僅符合學(xué)生的認(rèn)知和對(duì)問(wèn)題的理解能力,而且激發(fā)了學(xué)生探究問(wèn)題的熱情,發(fā)現(xiàn)原來(lái)自己也能設(shè)計(jì)建筑圖紙,也能把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化

        .

        但是,課堂上為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、整理成“應(yīng)用題”的過(guò)程所預(yù)留的時(shí)間有些不足

        .

        如果再增加3分鐘-5分鐘讓學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題具體化,寫(xiě)出已知、求解就更好了,可以進(jìn)一步完善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模從實(shí)際到抽象的理解和實(shí)際應(yīng)用

        .

        教師在第一課時(shí)發(fā)現(xiàn)有學(xué)生自學(xué)了三角函數(shù)和解析幾何的相關(guān)知識(shí),他們覺(jué)得目前的知識(shí)儲(chǔ)備不夠用,于是通過(guò)自學(xué)畫(huà)出了三角函數(shù)圖像解決問(wèn)題,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

        .

        在第二課時(shí),課堂中有學(xué)生說(shuō):“老師,我發(fā)現(xiàn)了一種很有趣的解法

        .

        ”他利用點(diǎn)到直線距離知識(shí)克服難點(diǎn),有了解析法的思想

        .

        無(wú)論學(xué)生的解決方式是什么,建?;顒?dòng)都激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和樂(lè)趣,他們自主學(xué)習(xí)的能力在建?;顒?dòng)中真正有了“內(nèi)驅(qū)動(dòng)”,而不是出于完成“數(shù)學(xué)作業(yè)”任務(wù)的需要

        .

        他們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有趣的、有效的、有方法的,而且這還帶動(dòng)了整個(gè)班級(jí)的學(xué)習(xí)氛圍

        .

        自主學(xué)習(xí)、自主應(yīng)用的意識(shí)在高一起始年級(jí)就形成了,為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的心理基礎(chǔ)和行為基礎(chǔ)

        .

        第四課時(shí)的內(nèi)容為建模論文

        .

        此次建?;顒?dòng)組織了高一年級(jí)14個(gè)班級(jí)612名學(xué)生參加,為了更好地反思模型、驗(yàn)證模型,第四課時(shí)設(shè)計(jì)為“建模作業(yè)——論文”

        .

        通過(guò)課后進(jìn)一步思考和探究,從不同角度思考,不少學(xué)生形成了有一定質(zhì)量的小論文,為數(shù)學(xué)研究打下了基礎(chǔ)

        .

        當(dāng)然,也有一部分學(xué)生以感想的形式遞交了作業(yè),雖然未形成“小論文”,但是他們對(duì)這次活動(dòng)的所感所思還是非常深刻的

        .

        (二)建?;顒?dòng)的課堂行為——問(wèn)題相扣,思維碰撞,合作交流,思辨共進(jìn)

        第一課時(shí)、第四課時(shí)在課堂外,第二課時(shí)、第三課時(shí)在課堂內(nèi)

        .

        課堂外教師適時(shí)、有序地指導(dǎo),幫助學(xué)生形成自主預(yù)習(xí)和學(xué)習(xí)的能力

        .

        那么第二課時(shí)、第三課時(shí)的課堂對(duì)教師的語(yǔ)言是有高要求、嚴(yán)標(biāo)準(zhǔn)的

        .

        如何設(shè)計(jì)問(wèn)題才能引發(fā)學(xué)生思考?如何有序、合理地實(shí)施建模的六個(gè)步驟?如何在建?;顒?dòng)中讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴?如何在一次建模活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合、“五育”并舉,甚至讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)未來(lái)職業(yè)的訴求和向往?這些都是“建模課題”

        .

        首先,課堂語(yǔ)言的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性非常重要

        .

        數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科,“它是人類對(duì)事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的一種通用手段,它可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的任何問(wèn)題”

        .

        應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì),它是人類科技進(jìn)步的基礎(chǔ)和保障,是一種語(yǔ)言,為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)

        .

        故而,在選定課題后,如何解決問(wèn)題,如何引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題需要不斷磨、不斷調(diào)、不斷改

        .

        例如當(dāng)醫(yī)院通道較窄時(shí),學(xué)生不易想象病床轉(zhuǎn)彎的情形,此時(shí)教師在引導(dǎo)學(xué)生時(shí)需要設(shè)置語(yǔ)言上的陷阱,如“病床是剛體,在過(guò)彎時(shí)不會(huì)發(fā)生形變,導(dǎo)致其在較窄通道內(nèi)轉(zhuǎn)彎時(shí)有可能被卡住,但是如果這是一張有彈性的病床,可以發(fā)生形變呢?”基于學(xué)生在問(wèn)題解決中可能產(chǎn)生的思維障礙,兩節(jié)課的問(wèn)題鏈在一次次試講、一次次修改中不斷調(diào)整,從語(yǔ)言組織到語(yǔ)言“陷阱”,從問(wèn)題提出到問(wèn)題本質(zhì),從影響因素到合理假設(shè),從數(shù)學(xué)化到問(wèn)題解決,從數(shù)據(jù)分析到驗(yàn)證模型

        .

        基于學(xué)生的認(rèn)知是基礎(chǔ),層層深入分析問(wèn)題為引導(dǎo),突破重點(diǎn)和難點(diǎn)是關(guān)鍵,總結(jié)歸納是思考和反思

        .

        其次,課后學(xué)生的共鳴和收獲有些在筆者的意料之中,有些在意料之外

        .

        比如學(xué)生說(shuō)“建筑簡(jiǎn)易圖紙都能畫(huà)了,好像可以做建筑師吧”,“病床如果能有彈性不就能通過(guò)很多醫(yī)院通道了嗎”,“人體數(shù)據(jù)原來(lái)只能查到1986年的,要到2029年才能有最新數(shù)據(jù)”,“老師通過(guò)上網(wǎng)搜索了其他國(guó)家的人體數(shù)據(jù),補(bǔ)充了我國(guó)數(shù)據(jù),我怎么沒(méi)想到呢”,“統(tǒng)計(jì),我們會(huì)學(xué)嗎?那我們采集數(shù)據(jù)后就會(huì)分析數(shù)據(jù)了吧”等

        .

        學(xué)生不僅學(xué)到了新知,對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有了新的認(rèn)識(shí),而且對(duì)今后的職業(yè)規(guī)劃也有了初步的思考,可謂一舉多得

        .

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