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        淺談空間傅里葉“變”換之“變”

        2022-07-07 08:46:38劉可心
        中學(xué)生學(xué)習(xí)報 2022年35期

        劉可心

        摘要:隨著5G技術(shù)的崛起,智能信息處理技術(shù)進入新高速發(fā)展時期,通信領(lǐng)域?qū)π盘柼幚砑夹g(shù)提出了新要求。作為信號處理領(lǐng)域的基本工具,傅里葉分析重要性自然不言而喻。其不僅存在于信號與系統(tǒng)、通信原理等多門專業(yè)課程中,同時對諸多學(xué)科的研究提供理論貢獻。但學(xué)習(xí)過程中總令學(xué)生產(chǎn)生不懂概念,死記硬背的現(xiàn)象。為了避免此現(xiàn)象,本文主要內(nèi)容如下:從空間角度,結(jié)合現(xiàn)有課本中矢量空間類比到信號空間的思路,帶學(xué)生領(lǐng)略不一樣的傅里葉“變”換,真正理解何為“變”,如何“變”,以及“變”的本質(zhì)和“變”的應(yīng)用范圍。

        關(guān)鍵詞:傅里葉變換;信息處理;矢量空間;信號空間

        1傅里葉變換

        1.1 “變”的重點和難點

        首先,談?wù)劄楹巍白儭?,傅里葉變換的研究重點是如何將信號表示為一系列正交函數(shù)的組合;如何由矢量的正交分解轉(zhuǎn)向信號的正交展開;如何從傅里葉級數(shù)延伸到傅里葉變換。但在理解細節(jié)的時候存在著諸多難點,比如為何要表示為正交函數(shù);為何常引入誤差變函數(shù)表達。為了理解重難點,我們亟需“變”,即尋找高效的理解思維來加深我們對傅里葉分析的認知。

        1.2 傅里葉分析的新視野

        其次,看看什么是“變”。俗話稱“窮則變,變則通,通則久”,一門課程,當遇到難點、困難時,需要我們跳出已有維度,用更大的格局來看,這就叫做“變”。同樣,傅里葉作為分析信號分解的重要工具[1],這種“變”,就是空間理解。傅里葉所一直追尋的正是元素間所具備的某種規(guī)律關(guān)系的數(shù)學(xué)表達形式,從時域跳到頻域,如圖1所示,化復(fù)雜問題簡單化,這種思路與探究空間傅里葉表示是有所共鳴的。

        2.矢量空間、信號空間與正交分解

        接著,談?wù)勅绾巍白儭薄8道锶~空間分析有助于我們對細節(jié)的把握。平面幾何,立體幾何,這就是直觀的空間,相應(yīng)xy軸二維坐標,xyz三維坐標正是空間里任意元素的度量表示。加入時間維度后就是四維空間,使我們能更細致的表示所在空間中的事物??梢娀诳臻g分析的重要性。

        2.1 空間的衡量與表示

        總結(jié)以上實例,不難發(fā)現(xiàn),元素和規(guī)則構(gòu)成空間。矢量、函數(shù)都可以視作空間中的元素;線性的概念“利用一組基,使用加法和乘法來表示所有的元素”[2]就是規(guī)則。借助空間載體,結(jié)合規(guī)則后,才能實現(xiàn)任意元素在空間中的度量和表示,進而分析元素間關(guān)系。以二維坐標表示平面向量為例,坐標對應(yīng)基底,向量對應(yīng)元素,平面上待表示的任意一點,就是坐標。隨著科學(xué)探索不斷深入,維度不斷增加,科學(xué)家已經(jīng)提出了11維宇宙空間,這種情況下,代數(shù)關(guān)系式不再適用,需要依托更精準的空間來表示高維抽象事物。

        為了實現(xiàn)高維空間度量,這里引入的三個衡量指標:距離、范數(shù)和內(nèi)積[3],以便理解其對應(yīng)的三個空間。距離就是衡量兩種元素之間的相似度,值為0時二者為同一事物,其公式用(1)表示。

        范數(shù)(2)是對矢量本身長短進行度量,是更具體的一種規(guī)則,其可以通過(3)式來定義距離。

        值得一提的是二范數(shù),即p=2時,常用其來約束矢量、函數(shù),使其擁有與目標距離無限接近的最小誤差,起到防止過擬合的優(yōu)化作用,例如星座圖、誤碼率等概念都。而這里提及的最小誤差,為之后理解傅里葉變化中的信號空間大有裨益。

        內(nèi)積是為了豐富上述概念,引入角度的點積操作,如(4)式,類似可用(5)式導(dǎo)出其范數(shù)。

        而這三個概念對應(yīng)的線性空間分別為:度量空間、賦范空間和內(nèi)積空間。重點選用內(nèi)積空間,有助于在特定變換下維持空間中的向量不變性。下面沿用矢量空間到信號空間的類比學(xué)習(xí)思維。針對矢量空間,在內(nèi)積空間的基礎(chǔ)上引入復(fù)數(shù)域,得到酉空間,深入理解離散傅里葉變化;針對信號空間,在酉空間的基礎(chǔ)上增加維度,得到希爾伯特空間,深入理解連續(xù)傅里葉級數(shù)和傅里葉變化。

        2.2 矢量空間與信號空間

        “變”的本質(zhì)就是在合適的內(nèi)積空間里尋找基底來表示元素。傅里葉變換的研究目的即將信號分解為一系列正交函數(shù)的組合。而這種組合就是選擇基底的表示并計算坐標(傅里葉系數(shù))的過程。

        先看矢量,以酉空間為載體,針對任兩組矢量,其夾角可以表示為(6)。

        (7)式是兩個矢量的夾角表達式,分子是內(nèi)積,分母項為范數(shù)。為90度時,兩矢量垂直,內(nèi)積值為0,此時正交,其本質(zhì)是x在y上的投影。那么可以用這兩個矢量視作基底,來度量任意向量。

        推廣到N維后,出現(xiàn)線性表示形式(8)、基底的正交性(9)及坐標表示過程(10),即投影系數(shù)。

        再看以希爾伯特空間為基底的信號空間,類比于矢量空間,找到基底(11)。

        引入誤差函數(shù),并假定其無限趨于0時,所構(gòu)造信號是原本信號在基底函數(shù)所構(gòu)建信號空間中的投影,投影系數(shù)表示為(13)。

        3.空間傅里葉變換的深入理解

        在1、2基礎(chǔ)上,將離散傅里葉變換放在矢量空間分析,將連續(xù)傅里葉級數(shù)和傅里葉變化放在信號空間分析,很快得到空間中的表現(xiàn)形式:離散傅里葉變換其基底(14)、并構(gòu)造出其變換表達

        4.小結(jié)

        本文從空間的角度重新深入理解并認識了傅里葉分析,發(fā)現(xiàn)相比于課本上的公式推導(dǎo),這種思維可以化復(fù)雜為簡單,更換思考問題角度,以更多視角認知問題,進而將其運用在交叉學(xué)科中,有所收益。

        參考文獻

        [1]朱寧賢.基于MATLAB的傅里葉函數(shù)變換可視化分析[J].辦公自動化,2020,25(05):20-22.

        [2]鄭前前,楊文杰,岳曉鵬.基于線性代數(shù)矩陣理論的“學(xué)”與“用”[J].黑龍江科學(xué),2022,13(01):110-111.

        [3](美)艾倫.V.奧本海姆(Alan V. Oppenheim),(美)艾倫.S.威爾斯基(Alan S. Willsky),(美)哈米德.納瓦卜(S.Hamid Nawab)著;劉樹堂譯. 信號與系統(tǒng)(第二版)[M]. 北京:電子工業(yè)出版社,2020.8

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