劉可心

摘要：隨著5G技術(shù)的崛起，智能信息處理技術(shù)進入新高速發(fā)展時期，通信領(lǐng)域?qū)π盘柼幚砑夹g(shù)提出了新要求。作為信號處理領(lǐng)域的基本工具，傅里葉分析重要性自然不言而喻。其不僅存在于信號與系統(tǒng)、通信原理等多門專業(yè)課程中，同時對諸多學(xué)科的研究提供理論貢獻。但學(xué)習(xí)過程中總令學(xué)生產(chǎn)生不懂概念，死記硬背的現(xiàn)象。為了避免此現(xiàn)象，本文主要內(nèi)容如下：從空間角度，結(jié)合現(xiàn)有課本中矢量空間類比到信號空間的思路，帶學(xué)生領(lǐng)略不一樣的傅里葉“變”換，真正理解何為“變”，如何“變”，以及“變”的本質(zhì)和“變”的應(yīng)用范圍。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換;信息處理;矢量空間;信號空間

1傅里葉變換

1.1 “變”的重點和難點

首先，談?wù)劄楹巍白儭?，傅里葉變換的研究重點是如何將信號表示為一系列正交函數(shù)的組合;如何由矢量的正交分解轉(zhuǎn)向信號的正交展開;如何從傅里葉級數(shù)延伸到傅里葉變換。但在理解細節(jié)的時候存在著諸多難點，比如為何要表示為正交函數(shù);為何常引入誤差變函數(shù)表達。為了理解重難點，我們亟需“變”，即尋找高效的理解思維來加深我們對傅里葉分析的認知。

1.2 傅里葉分析的新視野

其次，看看什么是“變”。俗話稱“窮則變，變則通，通則久”，一門課程，當遇到難點、困難時，需要我們跳出已有維度，用更大的格局來看，這就叫做“變”。同樣，傅里葉作為分析信號分解的重要工具[1]，這種“變”，就是空間理解。傅里葉所一直追尋的正是元素間所具備的某種規(guī)律關(guān)系的數(shù)學(xué)表達形式，從時域跳到頻域，如圖1所示，化復(fù)雜問題簡單化，這種思路與探究空間傅里葉表示是有所共鳴的。

2.矢量空間、信號空間與正交分解

接著，談?wù)勅绾巍白儭薄８道锶~空間分析有助于我們對細節(jié)的把握。平面幾何，立體幾何，這就是直觀的空間，相應(yīng)xy軸二維坐標，xyz三維坐標正是空間里任意元素的度量表示。加入時間維度后就是四維空間，使我們能更細致的表示所在空間中的事物?？梢娀诳臻g分析的重要性。

2.1 空間的衡量與表示

總結(jié)以上實例，不難發(fā)現(xiàn)，元素和規(guī)則構(gòu)成空間。矢量、函數(shù)都可以視作空間中的元素;線性的概念“利用一組基，使用加法和乘法來表示所有的元素”[2]就是規(guī)則。借助空間載體，結(jié)合規(guī)則后，才能實現(xiàn)任意元素在空間中的度量和表示，進而分析元素間關(guān)系。以二維坐標表示平面向量為例，坐標對應(yīng)基底，向量對應(yīng)元素，平面上待表示的任意一點，就是坐標。隨著科學(xué)探索不斷深入，維度不斷增加，科學(xué)家已經(jīng)提出了11維宇宙空間，這種情況下，代數(shù)關(guān)系式不再適用，需要依托更精準的空間來表示高維抽象事物。

為了實現(xiàn)高維空間度量，這里引入的三個衡量指標：距離、范數(shù)和內(nèi)積[3]，以便理解其對應(yīng)的三個空間。距離就是衡量兩種元素之間的相似度，值為0時二者為同一事物，其公式用（1）表示。

范數(shù)（2）是對矢量本身長短進行度量，是更具體的一種規(guī)則，其可以通過（3）式來定義距離。

值得一提的是二范數(shù)，即p=2時，常用其來約束矢量、函數(shù)，使其擁有與目標距離無限接近的最小誤差，起到防止過擬合的優(yōu)化作用，例如星座圖、誤碼率等概念都。而這里提及的最小誤差，為之后理解傅里葉變化中的信號空間大有裨益。

內(nèi)積是為了豐富上述概念，引入角度的點積操作，如（4）式，類似可用（5）式導(dǎo)出其范數(shù)。

而這三個概念對應(yīng)的線性空間分別為：度量空間、賦范空間和內(nèi)積空間。重點選用內(nèi)積空間，有助于在特定變換下維持空間中的向量不變性。下面沿用矢量空間到信號空間的類比學(xué)習(xí)思維。針對矢量空間，在內(nèi)積空間的基礎(chǔ)上引入復(fù)數(shù)域，得到酉空間，深入理解離散傅里葉變化;針對信號空間，在酉空間的基礎(chǔ)上增加維度，得到希爾伯特空間，深入理解連續(xù)傅里葉級數(shù)和傅里葉變化。

2.2 矢量空間與信號空間

“變”的本質(zhì)就是在合適的內(nèi)積空間里尋找基底來表示元素。傅里葉變換的研究目的即將信號分解為一系列正交函數(shù)的組合。而這種組合就是選擇基底的表示并計算坐標（傅里葉系數(shù)）的過程。

先看矢量，以酉空間為載體，針對任兩組矢量，其夾角可以表示為（6）。

（7）式是兩個矢量的夾角表達式，分子是內(nèi)積，分母項為范數(shù)。為90度時，兩矢量垂直，內(nèi)積值為0，此時正交，其本質(zhì)是x在y上的投影。那么可以用這兩個矢量視作基底，來度量任意向量。

推廣到N維后，出現(xiàn)線性表示形式（8）、基底的正交性（9）及坐標表示過程（10），即投影系數(shù)。

再看以希爾伯特空間為基底的信號空間，類比于矢量空間，找到基底（11）。

引入誤差函數(shù)，并假定其無限趨于0時，所構(gòu)造信號是原本信號在基底函數(shù)所構(gòu)建信號空間中的投影，投影系數(shù)表示為（13）。

3.空間傅里葉變換的深入理解

在1、2基礎(chǔ)上，將離散傅里葉變換放在矢量空間分析，將連續(xù)傅里葉級數(shù)和傅里葉變化放在信號空間分析，很快得到空間中的表現(xiàn)形式：離散傅里葉變換其基底（14）、并構(gòu)造出其變換表達

4.小結(jié)

本文從空間的角度重新深入理解并認識了傅里葉分析，發(fā)現(xiàn)相比于課本上的公式推導(dǎo)，這種思維可以化復(fù)雜為簡單，更換思考問題角度，以更多視角認知問題，進而將其運用在交叉學(xué)科中，有所收益。

參考文獻

[1]朱寧賢.基于MATLAB的傅里葉函數(shù)變換可視化分析[J].辦公自動化，2020，25（05）：20-22.

[2]鄭前前，楊文杰，岳曉鵬.基于線性代數(shù)矩陣理論的“學(xué)”與“用”[J].黑龍江科學(xué)，2022，13（01）：110-111.

[3]（美）艾倫.V.奧本海姆（Alan V. Oppenheim），（美）艾倫.S.威爾斯基（Alan S. Willsky），（美）哈米德.納瓦卜（S.Hamid Nawab）著;劉樹堂譯. 信號與系統(tǒng)（第二版）[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2020.8