◎ 劉 蕾

一、問題與背景

專題復習課一般是以一個或一組數學典型問題為載體，集中圍繞某個數學核心知識、思想方法或基本問題，以促進數學理解，提高學生發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力為目標的課堂教學。傳統(tǒng)的初中復習課教學往往采用“知識梳理—例題講解—反饋練習—歸納小結”的模式，這種方式側重于知識記憶、例題講解、變式訓練，教學活動以教師講授、學生機械記憶和模仿操練為主。學生習慣跟隨教師的教學思路學習，不善于主動思考，缺少良好的自主學習習慣，因此他們分析問題、解決問題的能力以及批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力發(fā)展也受到一定程度的限制。

上海市閔行區(qū)莘松中學自2018年開展上海市課程領導力項目關于數學閱讀的實踐研究以來，前期通過實證研究和拓展課課堂實踐，在促進學生數學思維能力的發(fā)展、高階思維的培養(yǎng)，激發(fā)學生自主學習、主動探究等方面取得顯著成效。在專題復習課中，為了提高學生分析問題、解決問題的能力，激發(fā)自主學習興趣，提升復習課實效性，筆者嘗試在專題復習課中采用數學閱讀的形式開展課堂探索與實踐。

數學閱讀是指學生個體根據已有的數學知識和經驗，通過數學閱讀材料建構數學意義和方法的學習活動，是學生主動獲取信息、汲取知識、發(fā)展數學思維、學習數學語言的重要途徑。［1］數學閱讀的復習課教學模式中，教師活動和學生活動都經歷“課前—課中—課后”三個環(huán)節(jié)（見圖1）。課前學生通過自主閱讀和自我診斷梳理文本內容，教師了解學生在自主閱讀中存在的問題；課中組織學生研討交流，突破重難點，注重方法的提煉和數學思想的遷移應用；課后學生改進完善課前作業(yè)，反思課前閱讀時提出的疑問，以及相關數學問題的自主探究和自主延伸閱讀。

在上述三個環(huán)節(jié)中，為了激發(fā)學生自主學習、主動探究的興趣和動力，復習課閱讀文本的開發(fā)編寫顯得尤為重要。首先挖掘教材例題、習題或考題中某些典型的、具有教學價值的問題，然后基于學情分析，結合教學目標遴選整合素材，設計“知識鏈接—問題引入—深入探究—梳理總結—遷移應用”五個板塊作為基本結構，在實際教學后還需要對閱讀文本進行補充完善、反思重構。下文以“在半角背景下旋轉翻折全等形的應用”復習課閱讀文本為例進行探討與闡釋。

二、教學設計

（一）選擇文本主題

1. 分析學情

（1）學生已有的基礎

三角形是初中數學的核心知識。針對滬教版初中數學教材八年級第一學期的專題復習課，學生已經掌握圖形的運動，平行線、全等三角形、直角三角形的性質與判定，勾股定理等相關知識，掌握基本的輔助線添加方法，會用演繹推理的方法進行幾何研究。

（2）存在的困難

學生雖然已經基本掌握了幾何證明的知識和方法，但是應用比較機械，不會融會貫通，不能靈活運用數學思想方法分析問題、解決問題，結合動態(tài)幾何圖形的變換更是無從下手。

（3）作業(yè)中的問題反饋

如圖2所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上兩個動點（與點B、C不重合），且∠DAE=45°。問：

圖2

①BD、DE、EC三條線段中，哪條線段最長？

②BD、DE、EC三條線段能否構成一個直角三角形？若能，請予以證明；若不能，請說明理由。

此題是學生復習階段的一道練習。對于這道三角形背景下的旋轉半角問題，全班能正確找到解題路徑的只有一名學生，但班級中有將近一半的學生對于正方形背景下的旋轉半角問題能夠掌握，其中部分學生對于輔助線添加方式的表述、幾何說理存在些許問題。因此，基于學生已有的知識儲備，為了幫助學生解決問題時由一題會一類，教師把“旋轉半角問題的研究”確定為復習課主題，圖形的旋轉作為“知識鏈接”，正方形旋轉半角問題作為“問題引入”，確定了閱讀文本的基點。

2. 知識鏈接

針對“圖形的旋轉”的要素、性質等內容及其在“圖形的運動”單元中與其他課時的關聯(lián)，梳理出思維導圖，如圖3所示。

圖3

【設計意圖】通過思維導圖的方式呈現平移、旋轉、翻折的基本要素及性質，學生通過自主閱讀梳理“圖形的運動”這一章節(jié)的知識內容，建構知識網絡體系，重點標注的旋轉板塊作為后續(xù)解決旋轉半角問題的知識鋪墊。

3.問題引入

【原題】如圖4所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，射線AE與線段BC交于點E，射線AF與線段CD交于點F，∠EAF=45°。當∠B和∠ADC都是直角時，判斷線段BE、DF和EF之間的數量關系，并證明。

圖4

圖5

【設計意圖】“問題引入”的解題思路分析采用文本閱讀的方式助力學生學習理解。學生自主閱讀時需要在理解的基礎上進行數學文字語言、圖形語言、符號語言的對接和轉換。

【教學建議】對于“問題引入”的內容，學生完全可以在課前閱讀中學習掌握，但不應該僅僅局限于看得懂文本，還需要利用可視化思維路徑圖的方式自主梳理解題思路，因此教師在編寫閱讀文本時設計了如下問題“你能通過思維路徑圖的形式梳理一下分析思路嗎？”通過課前閱讀反饋來看，學生掌握情況良好。

（二）遴選整合素材

為了幫助學生通過閱讀文本能夠從學一題到會一類，在編制文本時搜集整理大量旋轉半角問題，有正方形、三角形、四邊形背景下的，也有特殊角度的倍半關系或一般的倍半關系等，在遴選整合素材時注重題目變式，通過一個問題的變式解決一類問題的變化，逐步使學生養(yǎng)成深入反思數學問題的習慣，善于抓住數學問題的本質和規(guī)律，探索相關數學問題間的內涵聯(lián)系以及外延關系。同時運用化歸、分類討論、由特殊到一般等數學思想，搭建腳手架，助力學生在課前自主閱讀時體會一類問題解決的思維方法和路徑。

1. 深入探究

【變式1】如圖6所示，當∠B和∠ADC都不為直角時，且∠B+∠ADC=180°時，原題中的結論是否依然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

圖6

【變式2】在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，射線AE與直線BC交于點E，射線AF與直線CD交于點F，∠EAF=45°。當∠B和∠ADC都是直角時，判斷線段BE、DF和EF之間的數量關系，并證明。

【變式3】如圖7所示，在△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC=2√2，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的長。

圖7

2.設計意圖

三個變式無論條件改變還是問題背景改變，都是為學生歸納辨析旋轉半角的模型要素作鋪墊。變式1的設計培養(yǎng)學生掌握運用已有經驗轉化解決新問題的能力；變式2側重于滲透分類討論的數學思想，在文本編制時把分類討論的其中一種情況，采用文本閱讀與思維路徑圖相結合的方式呈現，幫助學生在自主閱讀時梳理解題路徑；變式3把學生熟悉的四邊形背景轉化為等腰直角三角形，使學生體會解決旋轉半角問題的方法是一致的，都要證明一組旋轉全等形和翻折全等形。

3.教學建議

（1）注重題目變式的識別分析

不管是條件變化還是問題背景變化，在教學過程中教師通過設計問題鏈、學生小組討論、師生交流的形式，引導學生分層精讀文本，梳理旋轉半角的模型要素，閱讀比較題目的異同點，在不同的問題情境中識別問題并發(fā)現問題本質。

【問題1】通過課前閱讀，你能梳理出旋轉半角的模型要素嗎？

【問題2】變式1還是旋轉半角問題嗎？你能發(fā)現變式1和原題中的異同點嗎？

【問題3】變式2和原題有什么異同點嗎？請圈出關鍵詞。

【問題4】由正方形背景轉換為三角形背景，變式3還是旋轉半角模型嗎？

（2）注重方法歸納的探究體會

利用可視化的思維路徑圖，設計方法歸納的問題鏈引導，幫助學生運用已有經驗解決新問題。

【問題1】 閱讀完原題的解題思路后，你能否運用思維路徑圖的形式進行分析梳理？（見圖8）

圖8

【問題2】對于變式1和原題中的異同點，你能在原題思維路徑圖的基礎上修改補充完善嗎？（見圖9）

圖9

【問題3】通過原題和變式1的研究發(fā)現，對于旋轉半角問題都會出現旋轉全等形和翻折全等形，變式2用思維路徑圖分析時，什么地方遇到了困難？

【問題4】經過辨析變式3是旋轉半角問題，請小組研討用思維路徑圖的形式分析解題思路。

【問題5】你能梳理出解決旋轉半角圖形問題的核心步驟嗎？

（3）注重作圖能力的培養(yǎng)訓練

在幾何教學中重視作圖能力的培養(yǎng)，學生在作圖的過程中體會作圖對理解題意、尋求解題思路帶來的幫助。通過課前閱讀發(fā)現變式2的作圖環(huán)節(jié)是大部分學生的難點，教師在課堂教學時除了強調讀題圈畫關鍵字外，在原題研究中就可以鋪墊作圖工具使用的重要性。小組研討后，學生表示過點A作AE的垂線也可求證（見圖10），其本質都是構造一對旋轉全等形。在變式2作圖的難點突破中，學生容易聯(lián)想到運用工具作∠EAF=45°（見圖11）。

圖10

圖11

（4）注重數學思想方法的遷移應用

數學思想方法是數學的靈魂，它蘊含于數學問題解決的實踐活動中，需要學生經歷模仿體會、反思總結、運用鞏固過程后，才能在新的問題情境中選擇適當的數學思想方法去解決問題。

學生在課前自主閱讀、課中討論分析后，體會到題目條件和背景的改變，但解題的核心方法并沒有改變，體現化歸的數學思想。學生能用自己的語言表達出化歸、分類討論數學思想的要領及方法，此為反思總結階段。比如在變式2中，學生通過小組討論總結歸納出分類討論數學思想的要領、步驟：首先審題要仔細，如果發(fā)現射線、直線等信息圈畫關鍵字；然后根據題意、借助適當的作圖工具做出正確圖形再分析解題路徑；最后在“遷移應用”板塊中學生根據需要選擇適當的思想方法進行運用鞏固。

（三）反思完善文本

伴隨著課前閱讀筆記及課中討論分析、閱讀表達，課后閱讀反思、評價等行為也尤為重要，因此“遷移應用”板塊的文本編寫一方面注重幫助學生積累解題經驗，提煉解題方法，完善和優(yōu)化數學認知結構，另一方面促進數學思維能力的提高，激發(fā)學生自主學習、主動探究的興趣和動力。

1.遷移應用

（1）如圖12所示，△ABC是等邊三角形，△BCD是等腰三角形，且∠BDC=120°，M是AB上一點，N是AC上一點，且∠MDN=60°，連接MN。求證：MN=BM+CN。

圖12

（2）①如 圖13所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=30°，連接EF。探究BE、EF、DF之間的數量關系，并說明理由。

圖13

②如圖14所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分 別 是 邊BC、CD上的點，且連接EF。探究①中的結論是否成立，并說明理由。

圖14

③在②的條件下，若點E、F分別在邊CB、DC的延長線上，探究BE、EF、DF之間的數量關系，并說明理由。

【設計意圖】遷移應用的內容設計不僅是對學生分析問題、解決問題的知識技能的檢測，在文本編寫中緊緊圍繞問題情境的識別分析、解題方法的分析應用、思想方法的運用鞏固等方面展開，設計如下問題引導學生思考：遷移應用中的問題還是旋轉半角圖形嗎？如果是，題目中的哪些條件可以體現？你能體會到其中蘊含的數學思想嗎？

課后學生改進完善課前作業(yè)，反思課前疑問，自主探究“遷移應用”板塊中的相關數學問題，經歷“課前自主閱讀—課中學習交流—課后反思改進”的學習過程，對復習課內容理解和掌握得更為深刻。

備用圖

2.問題拓展

通過遷移應用，學生課后提出如下反饋：第（1）題是旋轉半角問題，學生解決沒有任何障礙，而第（2）題大部分學生找不到解題路徑，僅3位學生能夠做出。因此，教師需要對閱讀文本反思，進行重構補充。我們知道正方形是四條邊相等，四個內角都等于90°的四邊形。

（1）如圖15所示，已知正方形ABCD，E是邊CD上一點，延長CB到點F，使得BF=DE，作∠EAF的平分線交邊BC于點G。求證：BG+DE=EG。

圖15

（2）如 圖16所 示，已 知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于 點D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面積。

圖16

通過分析發(fā)現本題是通過構造半角模型來解決問題，原來編寫的閱讀文本中不管是四邊形還是三角形背景下，旋轉半角模型在題目中都已給定，區(qū)別只是特殊角度或一般情況下的半角關系。于是對閱讀文本進行補充，把“問題拓展”板塊中的第（2）問作為閱讀文本“深入探究”板塊中的變式4，通過小組討論交流，學生提出不同解決方法。

【方法一】如圖17所示，構造正方形的旋轉半角模型，易證FG=BD=2，CG=BC=3，設正方形邊長為a，則CE=a－1，EG=a－2，在Rt△CEG中利用勾股定理可求解。

圖17

【方法二】如圖18所示，構造等腰直角三角形的旋轉半角模型，分別延長DB、DC至點E、F，使DE=DF，連接AE、AF，得等腰Rt△AEF，設AD長度為a，則CF=a－1，GF=EB=a－2，∠GFC=90°，在Rt△CFG中利用勾股定理可求解。

圖18

【方法三】如圖19所示，利用軸對稱構造正方形，作△ABD關于AB對稱的△ABE，作△ADC關于AC對稱的△ACF，可證得四邊形AEGF為正方形，設正方形邊長為a，則CG=a－1，BG=a－2，BC=3，在Rt△BCG中可求解。

圖19

【設計意圖】增設的變式4更注重發(fā)展學生問題分析、決策、創(chuàng)造性思維等高階思維能力，培養(yǎng)學生在新情境的問題解決過程中合理、準確、靈活地運用所學數學概念原理、方法技能、基本思想等能力。

三、總結與反思

（一）注重閱讀文本設計開發(fā)，提升自主復習的學習指導意識

以數學閱讀形式開展復習課教學，改變傳統(tǒng)復習課中以教師講授學生練習單一講授式的學習模式，更加注重通過閱讀文本為學生自主復習的學習指導服務的意識。從“以學生發(fā)展為本”的基本理念出發(fā)，閱讀文本五個板塊內容設計注重知識的生長路徑，由淺入深，循序漸進，符合學生認知規(guī)律。選取典型問題，基于學生思維的生長點設計系列化問題，通過問題驅動為學生自主復習注入動力，問題設置要具體化、有針對性、難易適度，能夠發(fā)散學生思維，使學生在閱讀中進行思考，產生濃厚的閱讀興趣。

此外，由于數學學科的自身特點所決定，數學閱讀文本的編寫還要注意連續(xù)性文本與非連續(xù)性文本的相互融合。在閱讀時學生需要在數學圖形語言、文字語言、符號語言之間進行對接和轉換，通過分析、歸納、綜合等過程，進行梳理總結并予以數學表達，完成解題步驟的最終呈現。如本篇文本在原題中把分析過程文本化，變式2編寫時采用分析過程文本化與思維路徑圖相結合的方式，幫助學生形成問題分析的基本思路，學生在自主閱讀中養(yǎng)成分析解決問題的習慣。

（二）落實學生主體地位，提升學生自主學習能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“強調學生經歷學習的過程，在自主、合作、探究的學習中發(fā)現、總結和掌握知識的規(guī)律和學習方法。”［2］以數學閱讀的形式開展復習課教學，讓學生解決數學問題的過程不再只是模仿操練，在“自主閱讀—自我診斷—交流完善—學習方法—自主評價—反思改進”的過程中落實學生的主體地位，以教師為中心轉向以學生為中心，從獨立學習轉向合作學習，變接受式學習為探究式學習，經歷知識與方法的生成、內化、建構，優(yōu)化完善學生的數學認知結構，提高數學思維能力，激發(fā)自主學習興趣，提升分析問題、解決問題的能力。

（三）注重課堂實踐活動，凸顯自主學習成效

數學閱讀提供了一種新型的專題復習課學習形式，教師活動和學生活動都經歷“課前—課中—課后”三個環(huán)節(jié)。為了提升學生自主學習成效，在教學過程中有以下三點建議。

首先，利用小組討論促進學生思維能力提升。由于在課前閱讀中不同學生對文本的感知理解有所不同，課堂中的小組討論利于感知水平較低的學生達到較高的感知水平，更重要的是把思維策略、經驗、產生的疑問在小組中交流共享，師生、生生的對話交流又能促進學生在知識和策略上互補融合。

其次，教學實施過程不再是單一教師講授解題方法，更注重數學思想方法的遷移運用，以及運用問題鏈、可視化思維路徑圖的方式引導學生總結解題方法，構建知識網絡，培養(yǎng)學生在新情境下識別、轉化、解決新問題的能力，有效落實學科核心素養(yǎng)。

最后，學生的課后反思也利于教師對課堂教學的再思考與重構，促進對學生創(chuàng)造性思維等高階數學思維能力的培養(yǎng)，學生活動與教師活動相互聯(lián)系、相輔相成。

本研究以旋轉半角專題為例，進行了數學閱讀專題復習課的探索與實踐，在課堂實施與教學成效方面獲得了一定的認可。平時課堂教學中的章節(jié)復習課能否以數學閱讀的方式開展值得探討。此外，數學閱讀專題復習課的形式如果能夠進一步推廣，那么對不同專題進行閱讀文本的開發(fā)與編制仍需進一步研究。