秦俊怡

[摘要]從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，設(shè)計(jì)章起始課教學(xué)的情境、問(wèn)題、活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生類比思考與探索，幫助學(xué)生在不等式及其解集知識(shí)學(xué)習(xí)中科學(xué)建構(gòu)、適切運(yùn)用、有效優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

[關(guān)鍵詞]認(rèn)知結(jié)構(gòu);章起始課;不等式;概念

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)后，在頭腦中形成的概念系統(tǒng)、表征系統(tǒng)和加工系統(tǒng).就其機(jī)能而言，包括兩個(gè)方面：理解數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題[1].即通過(guò)學(xué)習(xí)思路與方法的有效引領(lǐng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)新概念得以產(chǎn)生、理解、再現(xiàn)、發(fā)展，知識(shí)架構(gòu)逐步完善，實(shí)現(xiàn)以不同方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目標(biāo).而章起始課多為概念課型，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重心任務(wù)，具有統(tǒng)攝全章、提綱挈領(lǐng)的作用，能讓學(xué)生在新舊知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)間架起溝通的橋梁，突破認(rèn)知限制，“上一層樓，窮千里目”.2020年，筆者積極參加廣州市越秀區(qū)教師研討課活動(dòng)，執(zhí)教課題是人教版教材七年級(jí)下冊(cè)第九章“不等式與不等式組”第1課時(shí)——不等式及其解集，在章起始概念課的背景下，開展建構(gòu)、運(yùn)用和優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)探索.現(xiàn)將教學(xué)主要環(huán)節(jié)及相關(guān)分析撰寫成文，以期同行之斧正.

明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》涉及本課時(shí)內(nèi)容的目標(biāo)要求：體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，理解不等式;探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用不等式進(jìn)行表述的方法;通過(guò)用不等式表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)[2].因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)既要關(guān)注短期目標(biāo)，更要重視長(zhǎng)期目標(biāo).

短期目標(biāo)：（1）了解不等式的概念，會(huì)用不等式表示簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系;（2）理解不等式的解的概念，會(huì)判斷某個(gè)數(shù)是否為某個(gè)不等式的解;（3）理解不等式的解集的概念，會(huì)直接寫出簡(jiǎn)單的不等式的解集，并在數(shù)軸上表示.

長(zhǎng)期目標(biāo)：通過(guò)分析問(wèn)題情境中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)抽象”的過(guò)程，體會(huì)不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種有效數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑

1.分析學(xué)情

學(xué)生完成一次方程（組）的學(xué)習(xí)后，對(duì)一次方程（組）的認(rèn)識(shí)已經(jīng)具備一定的積累，包括知道一次方程（組）的相關(guān)概念，解一次方程（組）的步驟，以及會(huì)用一次方程（組）表示問(wèn)題情境中的等量關(guān)系，但對(duì)不等關(guān)系的了解不夠深入，處于認(rèn)知的朦朧階段.此時(shí)，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過(guò)類比方式引入新知識(shí)——不等式及其解集，充分發(fā)揮章起始課統(tǒng)整引領(lǐng)和心理學(xué)正向遷移的積極作用，鋪設(shè)一條明確、合理、高效的學(xué)習(xí)之路，助力學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自然生長(zhǎng).

2.診斷困惑

初學(xué)列不等式表示問(wèn)題中的不等關(guān)系時(shí)，有些學(xué)生會(huì)因認(rèn)知慣性列出表示等量關(guān)系的方程，甚至用小學(xué)列算式的方法解決問(wèn)題.能用算式或方程得到問(wèn)題的結(jié)論，為什么還要列不等式？要擺脫上述的學(xué)習(xí)干擾和困惑，教師必須引導(dǎo)學(xué)生正確理解問(wèn)題情境，分析其中的不等關(guān)系，將符號(hào)化、模型化思想進(jìn)一步加固和發(fā)展，即承認(rèn)和尊重?cái)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在的事實(shí)，重整和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.確立架構(gòu)

如何引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)由等量關(guān)系發(fā)展到不等關(guān)系，從算術(shù)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)思維？創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境、組織數(shù)學(xué)活動(dòng)、提煉數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種行之有效的策略，如圖1所示的教學(xué)框架應(yīng)運(yùn)而生.

實(shí)施教學(xué)過(guò)程

1.探索不等式的概念

教師展示圖片，以問(wèn)題組的形式呈現(xiàn)情景1：

（1）姚明的身高xm高于劉翔的身高1.89m，如何表示x與1.89之間的大小關(guān)系？

（2）小紅和背著書包的小軍玩蹺蹺板，當(dāng)大家都不用力時(shí)，小軍在下，小紅在上.已知小紅的身體質(zhì)量為pkg，小軍的身體質(zhì)量為qkg，書包的質(zhì)量為2kg，如何表示p與q之間的大小關(guān)系？

（3）慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵的預(yù)計(jì)費(fèi)用和實(shí)際支出是不相等的，預(yù)計(jì)費(fèi)用是m萬(wàn)元，而實(shí)際支出是n萬(wàn)元，如何表示m與n之間的大小關(guān)系？

生1：（1）x>1.89;（2）p

追問(wèn)1：上述式子分別用了什么符號(hào)表示大小關(guān)系？

生2：分別用了符號(hào)“>”“<”“≠”.

追問(wèn)2：像這樣的式子，你能給出它的定義嗎？

生3：用符號(hào)“>”“<”“≠”表示大小關(guān)系的式子，叫不等式.

追問(wèn)3：像-1>-2，3<4這樣的式子，是否也叫不等式？

生4：是，因?yàn)檫@些式子是用符號(hào)“>”“<”來(lái)表示大小關(guān)系的.

教學(xué)說(shuō)明創(chuàng)設(shè)問(wèn)題組情境1，把教材中引入不等式的概念的實(shí)際問(wèn)題后置為下文的情境2，原因在于不等式的概念作為章起始課的首個(gè)概念，開展探索時(shí)應(yīng)以“學(xué)”定“問(wèn)”.情境1問(wèn)題組的設(shè)計(jì)充分考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、思維特點(diǎn)，由淺入深，由感性到理性，更符合學(xué)生的認(rèn)知水平.通過(guò)教師連串追問(wèn)的引導(dǎo)，學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程，構(gòu)筑自己的“認(rèn)知新區(qū)”，感受成功的喜悅.

2.探索不等式的解及解集的概念

教師呈現(xiàn)問(wèn)題情境2：

上午11：20，大頭兒子一家人駕車從家里出發(fā)，勻速開往離家50km的游樂(lè)場(chǎng)，要在12：00之前到達(dá)，車速應(yīng)滿足什么條件？

師：如果先從時(shí)間的角度來(lái)思考，如何求車速應(yīng)滿足的條件？

追問(wèn)1：以上兩種解法都忽視了問(wèn)題中的什么數(shù)量關(guān)系？有什么關(guān)鍵詞可以體現(xiàn)這種關(guān)系？

生（齊）：忽視了問(wèn)題中的不等關(guān)系，從關(guān)鍵詞“之前”可以看出.

追問(wèn)2：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示不等關(guān)系？

追問(wèn)3：如果再?gòu)穆烦痰慕嵌葋?lái)思考，又如何求車速應(yīng)滿足的條件？

追問(wèn)4：能更明確得出x應(yīng)取哪些值嗎？

生（齊）：x=80，x=78，x=76，x=75.5等（學(xué)生回答不一）

追問(wèn)5：那x=75符合題意嗎？

生（齊）：這不就是一元一次方程的解的問(wèn)題嘛！（學(xué)生自發(fā)展開討論）

教學(xué)說(shuō)明學(xué)生的熱議切合教師的課堂預(yù)設(shè).教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的解的概念，讓學(xué)生通過(guò)比較來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，繼而師生共同歸納不等式的解及解集的概念.若把一元一次不等式中未知數(shù)的最高次數(shù)升為2，就是以后將在高中學(xué)習(xí)的一元二次不等式.通過(guò)新舊知識(shí)的橫縱聯(lián)系、邏輯連貫，學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷搭建，極大增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

3.探索不等式的解集的數(shù)軸表示方法

教師呈現(xiàn)問(wèn)題情境3：

在如圖2所示的數(shù)軸上，實(shí)數(shù)x表示的點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的點(diǎn)在表示6的點(diǎn)的右側(cè)，用含x的不等式表示上述問(wèn)題.

生10：x+3>6.

追問(wèn)1：請(qǐng)直接說(shuō)出該不等式的解集.

生11：x>3.

追問(wèn)2：能用另一種形式表示該不等式的解集嗎？

生12：借助數(shù)軸，標(biāo)出數(shù)軸上的某一部分，其中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值都是該不等式的解，那么該不等式的解集就在數(shù)軸上表示出來(lái)了.（學(xué)生畫圖，教師點(diǎn)評(píng)）

教學(xué)說(shuō)明教材對(duì)于“不等式的解集在數(shù)軸上表示”的處理一帶而過(guò)，學(xué)生未必能很好理解和接受.教師以數(shù)軸為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題情景3，通過(guò)追問(wèn)1和追問(wèn)2，引導(dǎo)學(xué)生由“數(shù)”向“形”過(guò)渡，使教學(xué)活動(dòng)更為自然合理.學(xué)生從中感悟“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)與“形”的直觀，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的交互運(yùn)用，強(qiáng)化對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知.

反思教學(xué)所得

1.科學(xué)定位，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)

教師必須厘清數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)和學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的辯證關(guān)系，站在“高處”整體布局，精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐按照數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的三個(gè)階段，調(diào)整了教材的結(jié)構(gòu)，更符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.第一階段，是新概念的產(chǎn)生，在學(xué)生的知識(shí)發(fā)展還不充分的前提下，通過(guò)創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題情境（情景1問(wèn)題組），引導(dǎo)學(xué)生思考并探索，收獲不等式的概念的“雛形”;第二階段，是新概念的掌握和整合，在學(xué)生產(chǎn)生了不等式的概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比方程的解的概念加深理解，進(jìn)一步得到不等式的解及解集的概念，整合為概念域;第三階段，是概念（域）的精化發(fā)展，此時(shí)學(xué)生對(duì)概念（域）的認(rèn)知進(jìn)入新的發(fā)展階段，通過(guò)不等式的解集的數(shù)軸表示由“數(shù)”及“形”的思維轉(zhuǎn)變，提升學(xué)生解決較難問(wèn)題的關(guān)鍵能力.如此下來(lái)，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)得以自然且高質(zhì)量地建構(gòu).

2.適切選材，活用數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng)

數(shù)學(xué)先驅(qū)們通過(guò)創(chuàng)造直觀教學(xué)用具，如數(shù)軸、坐標(biāo)系、圖表等，為概念和概念系統(tǒng)提供有力的認(rèn)知工具，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中的再現(xiàn)，形成表征系統(tǒng).在章起始課“概念系統(tǒng)”的統(tǒng)領(lǐng)下，選取合適、貼切的素材，幫助學(xué)生直觀、形象理解數(shù)學(xué)知識(shí)，改變機(jī)械記憶數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式.如本節(jié)課情境2中改編教材后的實(shí)際問(wèn)題更貼近學(xué)生生活，情景3中創(chuàng)設(shè)的數(shù)軸情景問(wèn)題更適合、貼切教材，這些示例正是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng)的“鮮活”說(shuō)明.但在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)往往會(huì)干擾新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和表征.如在本節(jié)課情景2的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師的連串追問(wèn)引起了學(xué)生列算式和列方程兩種舊的思維模式，在解決問(wèn)題時(shí)與列不等式產(chǎn)生了矛盾.因此，教師對(duì)學(xué)生表征新舊認(rèn)知的對(duì)比引導(dǎo)顯得尤為重要（如表1和表2所示），而學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在教師的對(duì)比引導(dǎo)下不斷推陳出新、自我完善.

3.有效整合，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)

數(shù)學(xué)知識(shí)具備解決問(wèn)題的智力性力量，如把帶方向的折線加工在數(shù)軸上，就能直觀表示不等式的解集.由此可見，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)可聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)和表征系統(tǒng)，以較高的適應(yīng)性動(dòng)態(tài)解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如圖3所示）.

如何在教學(xué)中優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)？從橫向看，加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和有效整合，如方程、不等式與函數(shù)，三角形、四邊形與圓，統(tǒng)計(jì)與概率等，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)“面面俱到”的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);從縱向看，遵循學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維到代數(shù)思維、從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的質(zhì)變，不斷深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

綜上，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的三種“成分系統(tǒng)”在學(xué)習(xí)新知與解決問(wèn)題時(shí)，是緊密連接、相輔相成的，在章起始課的教學(xué)中更能凸顯其作用.學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)起來(lái)的，教師應(yīng)有序地、整體地、系統(tǒng)地發(fā)揮主導(dǎo)作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的發(fā)生與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫昌識(shí)，姚平子.兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.