馮 帥，謝壯寧

(華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東，廣州 510641)

多次風(fēng)災(zāi)調(diào)查[1]結(jié)果顯示，大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)[2?3]通常具有質(zhì)量較輕、柔性較大、自振頻率較低的特點(diǎn)，對(duì)風(fēng)荷載十分敏感，其圍護(hù)結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下頻頻發(fā)生破壞。大跨屋蓋結(jié)構(gòu)形式多樣，風(fēng)壓特性受其影響顯著，屋蓋表面脈動(dòng)風(fēng)壓分布可以反映建筑物在湍流邊界層下的風(fēng)荷載特性[4]。一般來說，壓力場(chǎng)是一個(gè)隨機(jī)的、復(fù)雜的高維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，很難直接理解其本質(zhì)特征。而脈動(dòng)風(fēng)壓中隱藏的時(shí)空模式與相干結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)機(jī)制密切相關(guān)，這些壓力模式對(duì)識(shí)別隨機(jī)變量場(chǎng)的基本物理機(jī)制和動(dòng)態(tài)演化性質(zhì)具有重要意義[5?6]。

為了提高流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的分析效率，研究者提出了基于特征提取技術(shù)的模態(tài)分解方法—流場(chǎng)降階模型(ROM)，其本質(zhì)是尋找一組低維的子空間(即流動(dòng)模態(tài)或相干結(jié)構(gòu))，將高維、復(fù)雜非定常流場(chǎng)表示為子空間在低維坐標(biāo)系上的疊加，從而在低維空間中描述流場(chǎng)演化。這種技術(shù)需要高維、大規(guī)模的流場(chǎng)數(shù)據(jù)作為樣本，可以直觀地展示出流場(chǎng)流動(dòng)隨時(shí)間和空間的演化規(guī)律，對(duì)于流場(chǎng)的機(jī)理分析有重要意義。當(dāng)前普遍采用的方法包括本征正交分解(POD)和動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解(DMD)2類。

POD技術(shù)將流場(chǎng)分解成若干空間正交模態(tài)，按照各個(gè)模態(tài)的能量(即特征值)大小進(jìn)行排序，從而選擇出隨機(jī)場(chǎng)主要模態(tài)。這種方法作為一種數(shù)據(jù)壓縮和特征值萃取工具被廣泛應(yīng)用于低矮建筑[7]、高層建筑[8]、大跨度建筑[9]的脈動(dòng)風(fēng)荷載及風(fēng)致響應(yīng)的研究中。盡管POD技術(shù)的應(yīng)用范圍很廣，但由于協(xié)方差矩陣的存在，POD分析僅局限于變量的二階特征，并且其無法直接識(shí)別單頻動(dòng)態(tài)相干結(jié)構(gòu)解釋隨機(jī)系統(tǒng)的時(shí)間演化特征[10]。

DMD方法是一種從實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值模擬流場(chǎng)中提取動(dòng)力學(xué)信息的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法，能夠用于分析流場(chǎng)的主要特征，或建立低階的流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，該方法由Schmid基于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)Koopman分析提出[11]。其本質(zhì)是將流動(dòng)演化看做線性動(dòng)力學(xué)過程，通過對(duì)整個(gè)過程的流場(chǎng)快照進(jìn)行特征分析，得到表征流場(chǎng)信息的低階模態(tài)及其對(duì)應(yīng)的特征值。DMD方法的最大特點(diǎn)在于分解得到的模態(tài)具有單一的頻率和增長(zhǎng)率。另外，DMD可以直接通過各個(gè)模態(tài)的特征值表征流動(dòng)演化過程，因此不需要額外建立控制方程。這種同時(shí)得到模態(tài)特征和動(dòng)力學(xué)信息的特點(diǎn)，使DMD方法相比于POD而言，可以更好地說明模態(tài)在時(shí)間和空間上的物理意義。研究人員已經(jīng)證明了DMD在解釋流場(chǎng)相干結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性方面的有效性。例如，寇家慶等[12]針對(duì)DMD在流體力學(xué)研究的應(yīng)用問題，綜述了DMD算法自提出以來的一系列改進(jìn)以及對(duì)不同流動(dòng)現(xiàn)象的應(yīng)用，并通過典型測(cè)試算例說明DMD的應(yīng)用過程，討論了DMD的研究現(xiàn)狀及未來發(fā)展方向。張弛等[13]利用DMD方法研究其主導(dǎo)脈動(dòng)模態(tài)，提取出了相關(guān)模態(tài)的空間形態(tài)和脈動(dòng)幅值，證明燃燒組織方式的改變會(huì)對(duì)火焰脈動(dòng)的形態(tài)和規(guī)律產(chǎn)生影響。Luo等[6]探討了鈍體上隨機(jī)壓力場(chǎng)的動(dòng)力特性，并將其應(yīng)用于湍流邊界層中的棱柱體上的壓力場(chǎng)，并介紹了一種利用有限的風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行氣動(dòng)特性分析的算子理論方法[14]。Li等[15]通過數(shù)值模擬將DMD技術(shù)應(yīng)用于雷諾數(shù)為22 000的方形棱柱繞流的原型風(fēng)工程問題，以考察DMD在壓力流場(chǎng)分析中的準(zhǔn)確性和實(shí)用價(jià)值。DMD方法對(duì)于模態(tài)排序沒有一個(gè)明確的規(guī)定，許多準(zhǔn)則已經(jīng)被提出用于選擇主導(dǎo)的DMD模態(tài)，包括α-準(zhǔn)則[11]、I-準(zhǔn)則[16]等。雖然DMD技術(shù)發(fā)展迅速且已被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域[17?19]，但是在結(jié)構(gòu)抗風(fēng)領(lǐng)域的應(yīng)用仍然較為少見。

本文應(yīng)用POD和DMD方法對(duì)大跨度平度屋結(jié)構(gòu)的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)進(jìn)行模態(tài)提取和機(jī)理分析。首先，簡(jiǎn)述了兩種模態(tài)分解方法的理論及其不同特性；然后，通過風(fēng)洞試驗(yàn)獲取大跨度平屋蓋模型的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)；最后，將兩種方法應(yīng)用于風(fēng)壓場(chǎng)中提取模態(tài)進(jìn)行對(duì)比分析，并通過選取兩種方法的不同模態(tài)數(shù)對(duì)脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)比較，總結(jié)DMD和POD的獨(dú)特特征，對(duì)比兩種方法在研究屋蓋表面的隨機(jī)壓力場(chǎng)的內(nèi)在差異。

1 POD方法和DMD方法

1.1 POD方法

任意時(shí)刻的流場(chǎng)xi(如速度、壓力、密度等)可以表示成平均值xˉ和脈動(dòng)值x′i的疊加。POD是從一組二階統(tǒng)計(jì)意義上的空間數(shù)據(jù)中尋找最優(yōu)正交基。要得到POD基，應(yīng)求解脈動(dòng)量的協(xié)方差矩陣C的特征值和特征向量。

式中，λj和uj分別為第j階模態(tài)的特征值和特征向量(也稱為POD基)。各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)aj為：

通過POD基與模態(tài)系數(shù)乘積的疊加可以表示脈動(dòng)分量：

1.2 標(biāo)準(zhǔn)DMD方法及改進(jìn)

通過試驗(yàn)或數(shù)值模擬得到N個(gè)時(shí)刻快照，即[x1,x2,···,xN]，其中第i個(gè)時(shí)刻的快照表示為列向量xi，任意兩個(gè)快照之間的時(shí)間間隔均為Δt?；贙oopman算子理論假設(shè)[20]，流場(chǎng)xi+1與xi存在線性映射A，即：

式中，A為高維流場(chǎng)的系統(tǒng)矩陣，能夠反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。構(gòu)建快照矩陣X=[x1,x2,···,xN?1]和Y=[x2,x3,···,xN]，代入式(4)可得：

對(duì)于矩陣X，可提供一個(gè)矩陣A? 代替高維矩陣A，且這兩個(gè)矩陣相似。為尋求相似變換的正交子空間，可通過對(duì)X做奇異值分解得到。

式中：Σ為對(duì)角矩陣；U和V為酉矩陣，滿足UHU=I和VHV=I。矩陣的計(jì)算過程可視作Frobenius范數(shù)的最小化問題，結(jié)合式(5)～式(7)，可將A近似為：

為了方便分析DMD模態(tài)，定義特征值的對(duì)數(shù)映射定義為特征譜：

則第j個(gè)DMD模態(tài)對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)率gj和頻率fj分別為實(shí)部Re(λj)和虛部Im(λj)/2π。上述過程稱為“標(biāo)準(zhǔn)DMD方法”。

然而，只有當(dāng)特征值的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的維數(shù)相符時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)DMD方法得到的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的線性近似才是合理的。此外，標(biāo)準(zhǔn)DMD不適用于高度非線性的系統(tǒng)，特別是對(duì)于時(shí)間維度往往大于空間維度的試驗(yàn)工況(例如風(fēng)壓測(cè)點(diǎn)布置有限而采樣時(shí)間較長(zhǎng)的大跨度屋蓋風(fēng)洞試驗(yàn))。針對(duì)該不足之處，Le Clainche等[21]提出的高階動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解(HODMD)和Williams等[14]提出的精確動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解(EDMD)，二者的相似之處是通過引入嵌入維數(shù)(Taken's延遲嵌入定理[22])改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)DMD方法(后文稱DMD方法)。

本文引入嵌入維數(shù)增廣大跨度平度屋隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。將原始數(shù)據(jù)[x1,x2,···,xN]通過嵌入維數(shù)d進(jìn)行擴(kuò)展，即將延時(shí)坐標(biāo)數(shù)據(jù)元素進(jìn)行平移作為新的數(shù)據(jù)從而形成Hankel矩陣H：式中，hj為第j個(gè)時(shí)刻的Hankel矩陣列向量。嵌入維數(shù)d可以通過DMD模態(tài)特征譜的模是否等于或接近1確定(即DMD模態(tài)特征譜在復(fù)平面中是否位于或接近單位圓)。則時(shí)移矩陣對(duì)H1和H2分別為H1=[h1h2··· hj?1]，H2=[h2h3··· hj]。

數(shù)據(jù)以Hankel矩陣類型排列，通過將隨機(jī)風(fēng)壓序列的延遲嵌入與DMD技術(shù)相結(jié)合，增強(qiáng)了隱藏在原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的主導(dǎo)動(dòng)力模態(tài)。最后將H1和H2代入標(biāo)準(zhǔn)DMD方法進(jìn)行流場(chǎng)的動(dòng)力分析。

對(duì)于DMD模態(tài)，本文采用Kou等[16]提出的模態(tài)排序準(zhǔn)則，排序的模態(tài)不僅考慮了振幅大小，還包含模態(tài)的時(shí)間演變因素，綜合考慮模態(tài)對(duì)整個(gè)流場(chǎng)的貢獻(xiàn)，表示如下：

式中：Ij為第j階模態(tài)排序的參數(shù)；i為第i時(shí)刻；|| ||F為Frobenius范數(shù)；αj為第j個(gè)模態(tài)的振幅，代表了該模態(tài)對(duì)初始快照x1的貢獻(xiàn)，表示為：

原始快照可以近似地由DMD模態(tài)的線性組合表示：

式中：k為時(shí)間序號(hào)；xk為kΔt時(shí)刻的快照；j為第j階模態(tài)；αj?1為第j階DMD模態(tài)k時(shí)刻的模態(tài)系數(shù)，由于，特征值可以反映模態(tài)頻率是單頻，因此，模態(tài)系數(shù)的曲線是單頻衰減或增長(zhǎng)曲線。根據(jù)流場(chǎng)的主導(dǎo)模態(tài)，通過式(14)可進(jìn)行原脈動(dòng)流場(chǎng)的重構(gòu)。

1.3 POD與DMD的不同特性

DMD和POD都是具有無方程的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法。POD根據(jù)能量從動(dòng)力系統(tǒng)中捕捉到占優(yōu)勢(shì)的空間特征，流場(chǎng)中的大部分能量可以用少數(shù)高階的模態(tài)來表示。由于協(xié)方差的關(guān)系，POD提取模式僅僅基于二階統(tǒng)計(jì)量。因此，POD缺乏捕捉精細(xì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)和高階統(tǒng)計(jì)特征的能力。此外，POD的模態(tài)通常對(duì)應(yīng)于多個(gè)頻率的耦合，而沒有實(shí)際的物理意義。并且由于不存在相鄰矩之間變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系的假設(shè)，所以POD方法不能確定所提取的模式的時(shí)間演化和穩(wěn)定性。相反，DMD可以彌補(bǔ)POD的上述不足，對(duì)不同的流動(dòng)現(xiàn)象具有更廣泛的適用性。DMD基于Koopman分析提供了復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)的線性近似，因此它可以捕捉時(shí)空相干結(jié)構(gòu)特征，而不需要理解控制系統(tǒng)的物理方程。同時(shí)，DMD方法可以有效地提取相應(yīng)頻率的相干結(jié)構(gòu)模態(tài)，與POD側(cè)重于能量的方法不同，DMD提供了一種提取模式的時(shí)空演化和穩(wěn)定性特征的新方法。因此，DMD在復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中具有優(yōu)勢(shì)。

2 風(fēng)洞試驗(yàn)及數(shù)據(jù)

2.1 風(fēng)洞試驗(yàn)

試驗(yàn)在華南理工大學(xué)5 m量級(jí)氣邊界層風(fēng)洞(SCUT-1)中進(jìn)行。流場(chǎng)地貌按照《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GB 5009?2012)[23]中規(guī)定的B類地貌模擬，圖1(a)、圖1(b)分別表示風(fēng)洞試驗(yàn)的平均風(fēng)速剖面V/Vref(Vref表示參考高度處平均風(fēng)速)、湍流度剖面Iu和參考高度處的脈動(dòng)風(fēng)速功率譜，風(fēng)洞試驗(yàn)中屋蓋參考高度26.7 cm(即圖1(a)中zref)處的平均風(fēng)速和湍流強(qiáng)度分別為9.1 m/s和0.12。采集的風(fēng)壓以模型屋蓋高度處風(fēng)壓作為無量綱化的參考風(fēng)壓。風(fēng)壓系數(shù)的表達(dá)式如下：

圖1 風(fēng)洞試驗(yàn)的流場(chǎng)參數(shù)Fig. 1 Flow field parameters of wind tunnel test

式中：Cpi(t)和pi(t)分別為測(cè)點(diǎn)i處的風(fēng)壓系數(shù)序列和風(fēng)壓序列；pa和p0分別為參考高度處的總壓和靜壓。平面屋蓋剛性測(cè)壓模型尺寸為200 cm×133.3 cm×26.7 cm(長(zhǎng)×寬×高)，屋面共布置467個(gè)測(cè)點(diǎn)，試驗(yàn)的幾何、風(fēng)速、時(shí)間縮尺比分別為1/150、1/5、1/30。模型測(cè)點(diǎn)的布置原則為邊角區(qū)域加密，中間區(qū)域布置較疏，圖2為試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜏y(cè)點(diǎn)布置圖。試驗(yàn)采樣頻率為300 Hz。

圖2 平屋面試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜏y(cè)點(diǎn)布置Fig. 2 Test model of flat roof and layout of tapping location

2.2 數(shù)據(jù)充分性分析

由于湍流結(jié)構(gòu)和屋蓋結(jié)構(gòu)之間的相互作用是非線性、混沌性的，因此在實(shí)際分析隨機(jī)風(fēng)壓信號(hào)時(shí)，無法將信號(hào)中的動(dòng)力特征信息充分提取。故本文通過引入嵌入維數(shù)進(jìn)行動(dòng)力系統(tǒng)的相空間重構(gòu)，其基本思想是根據(jù)系統(tǒng)中任意分量的演化都是由與之相互作用的其他分量所決定的，相關(guān)分量的信息隱含在已知分量的發(fā)展過程中，為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間，只需將已知分量在固定的時(shí)間延遲點(diǎn)上的測(cè)量數(shù)據(jù)作為新維處理，則可將原系統(tǒng)的許多性質(zhì)保存，初步確定原系統(tǒng)的真實(shí)信息。圖3表示不同嵌入維數(shù)的DMD模態(tài)特征值分布，橫縱坐標(biāo)分別表示復(fù)模態(tài)特征值的實(shí)部和虛部，顏色條表示模態(tài)排序參數(shù)Ij的數(shù)值大小。當(dāng)特征點(diǎn)位于單位圓上或接近與單位圓周圍，則特征值是穩(wěn)定或中性穩(wěn)定的[24]。從圖3可以看出，特征值的數(shù)量隨著所取嵌入維數(shù)的增加而增加，因?yàn)檩^大的嵌入本質(zhì)上擴(kuò)展了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的自由度和模態(tài)。由圖3(a)所示，當(dāng)嵌入維數(shù)為1(即不考慮增廣數(shù)據(jù))時(shí)，DMD特征值分散在單位圓內(nèi)，表明標(biāo)準(zhǔn)DMD算法在獲取帶有噪聲的高維非線性數(shù)據(jù)的動(dòng)力學(xué)方面需要更多的信息，因?yàn)槔硐肭闆r下特征值應(yīng)該位于或接近單位圓。從圖3(b)、圖3(c)、圖3(d)可得，隨著嵌入維數(shù)逐漸增大，特征值逐漸向單位圓靠近。當(dāng)嵌入維數(shù)為8時(shí)，增廣數(shù)據(jù)矩陣維數(shù)為3736×3500，空間維度(467×8=3736)大于時(shí)間維度，絕大多數(shù)特征值落在單位圓上，嵌入過程挖掘了數(shù)據(jù)集中隱藏的模糊動(dòng)態(tài)特征，滿足充分性要求。

圖3 不同嵌入維數(shù)的DMD模態(tài)特征值分布Fig. 3 Eigenvalue distribution of DMD modes with different embedding dimensions

3 試驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 風(fēng)壓分布

大跨度平度屋表面的風(fēng)壓可分為平均風(fēng)壓和脈動(dòng)風(fēng)壓，圖4為0°和45°工況下的平均風(fēng)壓系數(shù)pe和均方差風(fēng)壓系數(shù)(反映風(fēng)壓脈動(dòng)特性)pe分布，從圖中發(fā)現(xiàn)，屋蓋表面主要以風(fēng)吸力為主，每個(gè)工況的pe和pe分布輪廓相似。從圖4(a)、圖4(b)可以看出，當(dāng)風(fēng)垂直(0°)吹向屋蓋迎風(fēng)前緣時(shí)，剪切層在迎風(fēng)前緣處分離，形成破壞性的柱狀渦，故在分離區(qū)平均風(fēng)吸力較大且脈動(dòng)風(fēng)壓波動(dòng)較劇烈，pe和pe最大值出現(xiàn)在屋蓋角部，分別為?1.45和0.46。在柱狀渦的誘導(dǎo)下，隨著距離屋面迎風(fēng)位置的增大，屋面風(fēng)吸力先增大后逐漸減小并趨于平穩(wěn)。由圖4(c)、圖4(d)所示，當(dāng)來流與建筑迎風(fēng)前緣成一定角度(45°)時(shí)會(huì)在屋蓋邊角區(qū)域產(chǎn)生錐形渦，錐形渦除具有旋渦截面的徑向和切向流速外，還具有一個(gè)沿迎風(fēng)前緣的速度分量，在此作用下，旋渦內(nèi)耗散的渦量得以不斷平衡和補(bǔ)充。因此，相比于柱狀渦，錐形渦更加穩(wěn)定、持續(xù)，其作用下的風(fēng)吸力也更強(qiáng)勁，pe和pe最大值同樣出現(xiàn)在屋蓋角部，分別為?3.48和0.70。

圖4 平面屋蓋風(fēng)壓系數(shù)分布Fig. 4 Distribution of wind pressure coefficient on flat roof

3.2 模態(tài)分析

圖5給出了0°和45°風(fēng)向角下大跨度平屋蓋脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)POD分解的前3階空間模態(tài)。POD(或DMD)模態(tài)僅表示屋蓋表面各點(diǎn)的相對(duì)壓力值，符號(hào)(正負(fù)號(hào))意義不大。由圖5(a)～圖5(c)可以看出，0°風(fēng)向角下POD分解的第1階模態(tài)在迎風(fēng)角部區(qū)域脈動(dòng)風(fēng)壓較大，與圖4(b)中均方差風(fēng)壓系數(shù)在角部區(qū)域分布相似，并且第2階、3階模態(tài)的極大值區(qū)域也出現(xiàn)在迎風(fēng)前緣的角部區(qū)域，說明當(dāng)0°風(fēng)向角下POD分解模態(tài)的大部分脈動(dòng)風(fēng)壓能量包含在屋蓋的邊角區(qū)域，這與屋蓋的迎風(fēng)前緣由于分離泡的分離和再附運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)強(qiáng)勁風(fēng)吸力的現(xiàn)象相吻合。從圖5(d)～圖5(f)可以得出，45°風(fēng)向角下第1階和2階POD模態(tài)關(guān)于對(duì)角線互為一對(duì)反對(duì)稱模態(tài)，第3階模態(tài)關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱，其模態(tài)分布在屋蓋對(duì)角線兩側(cè)形成兩個(gè)瓣?duì)?，與圖4(d)中均方差風(fēng)壓系數(shù)分布形狀相似，表現(xiàn)出明顯的錐形渦特征。

圖5 前3階POD模態(tài)Fig. 5 The first three-order POD modes

圖6為0°和45°風(fēng)向角下大跨度平屋蓋脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)DMD分解的第1階～3階空間模態(tài)。本研究中DMD分解的第0階模態(tài)為頻率為0的靜態(tài)模態(tài)，反映了均勻流場(chǎng)特性的模態(tài)分布。為方便與POD模態(tài)進(jìn)行對(duì)比，本文中取反映脈動(dòng)風(fēng)壓特性的前三階DMD模態(tài)進(jìn)行分析。由圖6(a)～圖6(c)可以看出，在柱狀渦的作用下，0°風(fēng)向角下DMD分解的3階模態(tài)能很好的捕捉到屋蓋邊角區(qū)域風(fēng)壓的脈動(dòng)特點(diǎn)，模態(tài)頻率分別為2.12 Hz、2.16 Hz和5.52 Hz，表明柱狀渦內(nèi)部存在低頻運(yùn)動(dòng)，這將引起剪切層的拍打運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而形成屋蓋表面的風(fēng)壓脈動(dòng)[25]。增長(zhǎng)率分別為?0.14、?0.16和?0.04，反映線性發(fā)展過程中各階模態(tài)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如圖7(a)所示。前兩階模態(tài)在迎風(fēng)前緣的模態(tài)分布相似，說明第2階模態(tài)是第1階模態(tài)的漂移模態(tài)，體現(xiàn)了在動(dòng)力學(xué)發(fā)展過程中脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)隨時(shí)間的演化。由圖6(d)～圖6(f)可見，45°風(fēng)向角下前三階模態(tài)均反映了錐形渦的特征，模態(tài)分布形狀與POD模態(tài)相似，模態(tài)頻率分別為0.08 Hz、0.32 Hz和0.94 Hz，第2階模態(tài)分布是由于渦軸的低頻搖擺運(yùn)動(dòng)使得屋蓋表面關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的兩點(diǎn)出現(xiàn)反相位吸力脈動(dòng)。增長(zhǎng)率分別為?1.12、?0.14和0.16，第3階模態(tài)的增長(zhǎng)率大于0表示該模態(tài)能量在逐漸增大，這是由于錐形渦中沿迎風(fēng)前緣的速度分量，在不斷平衡和補(bǔ)充旋渦內(nèi)耗散的渦量，如圖7(b)所示。

圖6 前3階DMD模態(tài)Fig. 6 The first three-order DMD modes

圖7 前3階DMD模態(tài)系數(shù)隨時(shí)間快照的演化Fig. 7 The evolution of the first three-order DMD mode coefficients with time snapshot

通過比較發(fā)現(xiàn)，POD模態(tài)和DMD模態(tài)均能捕捉到屋蓋迎風(fēng)前緣處破壞性旋渦的脈動(dòng)特征。但從模態(tài)分布的數(shù)值結(jié)果對(duì)比可得，POD模態(tài)結(jié)果大于DMD模態(tài)結(jié)果一個(gè)數(shù)量級(jí)。這是由于兩種方法的模態(tài)時(shí)間演化機(jī)理不相同。如圖7和圖8所示，DMD方法提取的模態(tài)系數(shù)在固定頻率下具有穩(wěn)定振幅或衰減的簡(jiǎn)諧振蕩行為，能夠反映流場(chǎng)的時(shí)間特征，而POD的每個(gè)模態(tài)包含多個(gè)頻率的信息[26]，時(shí)間演化表現(xiàn)為隨機(jī)信號(hào)，這在一定程度上讓POD的脈動(dòng)模態(tài)成為多個(gè)頻率段脈動(dòng)的耦合。

圖8 前3階POD模態(tài)系數(shù)隨時(shí)間快照的演化Fig. 8 The evolution of the first three-order POD mode coefficients with time snapshot

3.3 脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的重構(gòu)

目前，風(fēng)壓場(chǎng)重構(gòu)的研究方法有POD方法[7]、徑向基[27]等。本文基于DMD方法對(duì)大跨度平屋蓋屋面風(fēng)壓場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)，并與POD重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行比較。

圖9所示POD和DMD模態(tài)歸一化累積能量隨模態(tài)數(shù)的變化示意圖。x軸為模態(tài)數(shù)的累積比，由累積模態(tài)與總模態(tài)的比值來定義，y軸為模態(tài)能量的累積比。由圖可得，兩種模態(tài)分解方法在45°工況達(dá)到累積模態(tài)能量的80%均比0°工況速率快，說明相比于柱狀渦，錐形渦作用下的脈動(dòng)風(fēng)壓波動(dòng)更劇烈；而兩種方法的差別是，POD方法在0°和45°的累積模態(tài)能量達(dá)到80%所對(duì)應(yīng)的模態(tài)比例分別為7.5%和5.6%，而DMD方法在0°和45°的累積模態(tài)能量達(dá)到80%所對(duì)應(yīng)的模態(tài)比例分別為15.7%和13.6%。這可能與兩種模態(tài)分解方法的數(shù)據(jù)構(gòu)造和模態(tài)選取方法不同，由于DMD方法引入嵌入維數(shù)構(gòu)造維數(shù)更大的數(shù)據(jù)矩陣和在挑選主要模態(tài)上除了考慮振幅還考慮了時(shí)間演變的影響。直觀上在選取相同模態(tài)比例進(jìn)行風(fēng)壓場(chǎng)的重構(gòu)時(shí)POD方法的表現(xiàn)應(yīng)該優(yōu)于DMD方法，但在下面的脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)重構(gòu)中不盡其然，如圖10和圖11所示。

圖9 模態(tài)累積能量隨模態(tài)數(shù)的變化Fig. 9 The variation of mode cumulative energy with the number of modes

圖10和圖11分別表示0°和45°風(fēng)向角下兩種模態(tài)分解方法在第600個(gè)快照(即時(shí)刻t=2 s)的脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的重構(gòu)。這里需要注意的是，DMD方法重構(gòu)選取的模態(tài)數(shù)比例與POD方法相同(分別為7.5%、5.6%)，并且在重構(gòu)脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)時(shí)將不包含零頻率的靜態(tài)模態(tài)。由圖可見，兩種方法的重構(gòu)結(jié)果在描述原始脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的迎風(fēng)區(qū)域局部表現(xiàn)均較好，但DMD結(jié)果在整體輪廓上與原始風(fēng)壓場(chǎng)更為契合，特別是在風(fēng)壓場(chǎng)的再附和尾流區(qū)域。如前文所述，由于協(xié)方差的關(guān)系，POD提取模式僅僅基于二階統(tǒng)計(jì)量，造成POD缺乏捕捉精細(xì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)和高階統(tǒng)計(jì)特征的能力。0°和45°風(fēng)向角下DMD方法重構(gòu)風(fēng)壓場(chǎng)的模態(tài)頻率分別在0 Hz～22.8 Hz和0 Hz～18.9 Hz，說明低頻模態(tài)包含大部分脈動(dòng)風(fēng)壓能量。對(duì)比DMD和POD方法，DMD方法不僅可以從隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)中提取出脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的主要結(jié)構(gòu)，直接得到模態(tài)及對(duì)應(yīng)的頻率，且可以判斷其穩(wěn)定性，因此DMD方法可以同時(shí)得到流場(chǎng)在空間和時(shí)間上的主要特征，在揭示隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)流動(dòng)機(jī)理時(shí)，DMD方法更具優(yōu)勢(shì)。

圖10 0°風(fēng)向角下脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的重構(gòu)Fig. 10 Reconstruction of fluctuating wind pressure field at 0°

圖11 45°風(fēng)向角下脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的重構(gòu)Fig. 11 Reconstruction of fluctuating wind pressure field at 45°

4 結(jié)論

綜上所述，通過將POD和DMD模態(tài)分解方法應(yīng)用在大跨度平屋蓋模型的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)的分析中，對(duì)比兩種方法各自特征，得到如下結(jié)論：

(1) 通過將嵌入維數(shù)與DMD方法結(jié)合進(jìn)行隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)動(dòng)力系統(tǒng)的相空間重構(gòu)，能夠挖掘數(shù)據(jù)集中隱藏的模糊動(dòng)態(tài)特征，使分解得到的DMD模態(tài)更加中性穩(wěn)定。

(2) 雖然POD與DMD算法迥異，但兩種方法分解的模態(tài)都能夠捕捉到大跨度平度屋迎風(fēng)前緣處的破壞性旋渦的脈動(dòng)特征。POD模態(tài)分布數(shù)值大于DMD模態(tài)的結(jié)果。這是由于DMD方法分解的是單頻模態(tài)，而POD的每個(gè)模態(tài)包含多個(gè)頻率的信息，這在一定程度上讓POD的脈動(dòng)模態(tài)成為多個(gè)頻率段脈動(dòng)的耦合，造成POD模態(tài)數(shù)值大于DMD模態(tài)數(shù)值。

(3) 相同比例的POD模態(tài)包含能量大于DMD模態(tài)，但當(dāng)使用相同比例的模態(tài)進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)重構(gòu)時(shí)，DMD結(jié)果比POD結(jié)果更能描述和契合原始脈動(dòng)壓力場(chǎng)的局部特征，這是由于DMD是直接對(duì)壓力場(chǎng)進(jìn)行重建，而POD主要是重建能量場(chǎng)。DMD方法分解的低頻模態(tài)包含大部分脈動(dòng)風(fēng)壓能量，解釋了脈動(dòng)風(fēng)壓場(chǎng)的主導(dǎo)頻率。因此在揭示隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)流動(dòng)機(jī)理和特征，DMD方法更具優(yōu)勢(shì)。