許舟洲，杜子學(xué)，辛 亮，楊 震

（重慶交通大學(xué)，重慶400074）

1 引言

車輛的輪軌耦合動力學(xué)是車輛安全性、舒適性、振動噪聲、車體疲勞壽命、軌道梁結(jié)構(gòu)疲勞等問題的基礎(chǔ)，但是關(guān)于跨座式單軌的車橋耦合動力學(xué)研究并不多，僅有的一些成果準確度和深度都不太盡如人意[1-2]?？缱絾诬壾壍绖偠容^小受力較大，更加適合做柔性化處理，文獻[3-4]研究了基于軌道梁柔性化的跨座式單軌剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)；文獻[5-7]研究了軌道參數(shù)對單軌車輛和軌道梁振動的影響；文獻[8-11]研究了跨座式單軌車輛的動力學(xué)性能及耐久性；文獻[12-13]設(shè)計了利于曲線通過性的徑向耦合轉(zhuǎn)向架；文獻[14-15]研究輪胎參數(shù)對軌道梁振動響應(yīng)的影響；文獻[16]計算了彈性梁條件下車橋的耦合動力響應(yīng)；文獻[17]研究了車輪偏心對懸掛式單軌車輛垂向振動的影響；文獻[18]研究了考慮車橋相互作用的鋼梁在強震作用下的動力響應(yīng)；文獻[19-20]研究了跨座式單軌軌道梁的結(jié)構(gòu)及動態(tài)特性。

跨座式單軌車輛與軌道梁間的相互作用是動態(tài)的：對于軌道梁，車輛運行時的振動會使得軌道梁受動態(tài)力而振動；對于車輛，軌道梁的振動又會帶來車輛的動態(tài)受力。

剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)能有效的提高計算精確度，但是在現(xiàn)有的硬件條件下進行帶有較大柔性體模型的多體動力學(xué)計算耗時很長，采用等效力方法，將軌道梁的受力變形用等效力代替，最終采用多剛體動力學(xué)和有限元相互迭代的辦法解決剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)問題。

2 車軌耦合系統(tǒng)的等效力原理

物體AB通過彈簧連接，A受重力及B的作用力，垂向運動軌跡為h(t)；B受重力、A的作用力及地面作用力，垂向運動軌跡為g(t)，如圖1所示。

圖1 等效原理示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Equivalent Principle

在只考慮垂向運動時，有式（1）：

式中：k—彈性體的剛度；

c—阻尼；

ma—物體A的質(zhì)量；

a—物體的垂向加速度。

那么對于物體A有式（2）：

對于物體B有式（3）：

重慶3號線的雙軸跨座式單軌車輛有2個轉(zhuǎn)向架，轉(zhuǎn)向架和車體通過中心銷、空氣簧、橡膠堆及減震器連接；每個轉(zhuǎn)向架有6個水平輪、4個走行輪，如圖2所示。

圖2 跨座式單軌車輛拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Topological Structure Diagram of Straddle Type Monorail Vehicle

則其前轉(zhuǎn)向架動力學(xué)方程如式（4）：

式中：K、C—彈性元件的剛度和阻尼；

z—走行輪；

d—水平輪；

hd—導(dǎo)向輪中心到轉(zhuǎn)向架中心的垂向距離；

hw—穩(wěn)定輪中心到轉(zhuǎn)向架中心的垂向距離；

w—水平輪輪心到轉(zhuǎn)向架中心y方向的距離；同一轉(zhuǎn)向架上兩軸的距離為2a，同一軸上兩走行輪的輪心距為2b。

車體方程如式（5），式中：Mc、Ic—車體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；X、Y、Z—直角坐標系的3個坐標；α—車體繞坐標軸的轉(zhuǎn)角；β—轉(zhuǎn)向架坐標軸的轉(zhuǎn)角，2l—同一車體前后轉(zhuǎn)向架之間的距離（定距）；下標c—標識車體，下標z-標識轉(zhuǎn)向架；下標1和下標2—每節(jié)車體的前后轉(zhuǎn)向架。

3 車輛模型

基于式（4）和式（5）建立了跨座式單軌車輛多剛體動力學(xué)模型，如圖3所示。路面采用帶指形板的直線軌道[21]，路面施加A級路面譜。

圖3 跨座式單軌車輛模型Fig.3 Straddle Type Monorail Vehicle Model

4 基于等效理論的跨座式單軌剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算及分析

采用有限元，利用式（3）將軌道梁走行面輪軌接觸點的梁的變形轉(zhuǎn)化為軌道梁對車輛輪軸的動態(tài)力，將它施加在對應(yīng)時刻的輪軸上；采用多剛體動力學(xué)，利用式（2）將輪軸的振動化為軌道梁受到的車輛輪軸對它的動態(tài)力，將它施加于有限元計算中對應(yīng)的軌道梁接觸點；鑒于以上都是靜態(tài)的，筆者將有限元與動力學(xué)計算結(jié)果進行多次迭代，當(dāng)相鄰兩次迭代的計算結(jié)果最大誤差不大于10%的時候，認為其計算已經(jīng)足夠精確。

建立了軌道梁的有限元模型，施加準靜態(tài)力計算了跨座式單軌車輛輪軸力下梁的變形，如圖4所示。將結(jié)果以表格形式，利用式（2）變換為輪軸上的垂向力，加于每一輪軸，通過動力學(xué)計算，得到每節(jié)輛車各個輪軸處的垂向加速度。

圖4 帶列車壓力的軌道梁準靜態(tài)分析結(jié)果Fig.4 Quasi Static Analysis Results of Track Beam with Train Pressure

將所得加速度通過式（3）轉(zhuǎn)換為車輛輪軸施加在軌道梁上的動態(tài)附加力，導(dǎo)入有限元，再將計算結(jié)果利用式（2）轉(zhuǎn)換為輪軸處的動態(tài)力，導(dǎo)入車輛的多剛體動力學(xué)模型，得出各輪軸的加速度，完成第二次迭代，通過同樣的辦法，完成第三次、第四次迭代。到第四次迭代的時候，對比第三次迭代的結(jié)果，其最大變形量不到3%，如圖5所示。

圖5 軌道梁走行面變形的多次迭代結(jié)果Fig.5 The Results of Multiple Iterations for the Deformation of Running Surface of Track Beam

其多剛體動力學(xué)計算后前轉(zhuǎn)向架前軸垂向加速度的FFT變換值，四次計算的一階振動主頻幾乎相同，如圖6所示。

圖6 車輛前轉(zhuǎn)向架前軸垂向加速度頻譜圖Fig.6 Spectrum Diagram of Vertical Acceleration of Front Axle of Vehicle’s Front Bogie

可以認為其值不受軌道梁振動的影響，但是每次計算的一階振動主頻處的響應(yīng)幅值各不相同，軌道梁為準靜態(tài)變形時（第一次動力學(xué)計算時）車軸的垂向加速度頻譜響應(yīng)較?。ㄔ谝浑A振動主頻處響應(yīng)幅值小于0.2m/s2），但是經(jīng)過一次迭代以后（第二次動力學(xué)計算）垂向振動有了明顯提高（在一階振動主頻處幅值為0.356m/s2），而第三次與第四次計算的結(jié)果基本一致，在其一階振動主頻處第三次計算結(jié)果比第四次計算結(jié)果大不足1%，可以認為第四次迭代的結(jié)果已滿足預(yù)設(shè)的精度范圍。

綜合圖5以及圖6可以看出，經(jīng)過四次迭代后的結(jié)果在能滿足預(yù)設(shè)精度的要求，筆者認為在當(dāng)前的條件下，可以用它表示剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算的結(jié)果。

5 試驗驗證

2017年10月27日臨晨1：00到5：00，在重慶市軌道3號線銅元局到龍頭寺段進行了實車試驗，如圖7所示。

圖7 實車試驗Fig.7 Real Vehicle Test

列車為超載工況，它是通過給車輛加載配重來模擬實現(xiàn)的，列車運行速度為43km/h（重慶軌道3號線的旅行車速），測量了轉(zhuǎn)向架前后軸及中心處的三向加速度。

由于路面不平度的隨機性，仿真計算和試驗數(shù)據(jù)在時域上沒辦法做深入的對比，故筆者在此比較了他們的頻譜特性圖，如圖8所示。

圖8 前轉(zhuǎn)向架垂向加速度頻域值Fig.8 Frequency Domain Value of Vertical Acceleration of Front Bogie

在車輛前轉(zhuǎn)向架的中心、前軸及后軸三處都有相似的頻譜曲線走勢。試驗測得轉(zhuǎn)向架中心垂向振動主頻為3.63Hz，轉(zhuǎn)向架前軸振動主頻為4.82Hz，轉(zhuǎn)向架后軸振動主頻為4.82Hz；而采用等效力方法計算的轉(zhuǎn)向架中心垂向振動主頻為3.63Hz，轉(zhuǎn)向架前軸振動主頻為4.76Hz，轉(zhuǎn)向架后軸振動主頻4.64Hz，即試驗與仿真有非常接近的振動主頻。

由圖8可以看出，實車試驗中，在垂向振動主頻位置，轉(zhuǎn)向架中心、轉(zhuǎn)向架前軸及轉(zhuǎn)向架后軸處的頻譜幅值（單位m/s2）分別為0.377、0.237、0.375；仿真計算中，垂向振動主頻位置，轉(zhuǎn)向架中心、轉(zhuǎn)向架前軸及轉(zhuǎn)向架后軸處的頻譜幅值（單位m/s2）分別為0.361、0.220、0.376。

試驗與計算的誤差分別為4.2%、7.2%、0.3%，認為采用等效力來處理軌道梁的柔性問題非常接近于實車試驗，筆者認為此方法可行。

6 結(jié)論

在已有的研究中心，跨座式單軌由于軌道梁的大尺寸，使得其剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算較為困難，針對這一情況，以等效力及迭代為手段，研究了適合大尺寸柔性體的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)的等效方法，結(jié)論如下：

（1）利用物體間相互作用的力學(xué)原理，建立了基于等效力的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型；

（2）基于剛?cè)狁詈系牡刃Яυ?，建立了跨座式單軌車輛-軌道的動力學(xué)模型，并分別建立了軌道梁的柔性模型和車輛的多剛體動力學(xué)模型；

（3）利用迭代方法進行了基于等效力的跨座式單軌剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算，通過實車試驗驗證了方法的正確性，確定了等效力可以用來進行剛?cè)狁詈仙踔寥崛狁詈系膭恿W(xué)計算，為后續(xù)的跨座式單軌動力學(xué)計算打下了基礎(chǔ)。