石瀚斌，李波，田威

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

隨著我國四代機服役以及探月工程的全面實施，大型復雜構(gòu)件的高質(zhì)量加工成為航空航天制造領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)。因此，近幾年移動機器人原位作業(yè)模式逐漸興起，在大型結(jié)構(gòu)件的制孔、磨拋等作業(yè)中開始得到應(yīng)用[1]。在實際加工前，移動機器人系統(tǒng)需提前標定機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而通過離線編程實現(xiàn)自動化加工[2]。而由于移動平臺，如導軌、全向移動小車等，重復定位精度較差，通常會存在1～5mm的偏差，導致機器人基坐標系發(fā)生偏移，在加工中引入重復入位誤差。因此，建立移動機器人重復入位誤差模型，并提出一種入位誤差補償方法對保證其加工精度具有重要意義。

移動機器人入位誤差補償可看做機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間的二次標定，根據(jù)標定方式的不同，可將其分為離線補償與在線補償。離線補償通常為在實際加工之前，通過激光跟蹤儀、大視場雙目測量儀等外部測量設(shè)備對機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系進行重新標定，將標定結(jié)果替換初始結(jié)果，從而完成補償。如DORNAIKA F等在ZHUANG H Q的基礎(chǔ)上，基于正二次誤差函數(shù)表達的四元數(shù)法建立誤差方程，并將非線性約束極小化，可同時求解旋轉(zhuǎn)和平移參數(shù)[3-4]。該方法雖然在理論上可達到很高的標定精度，但需獲得機器人末端的姿態(tài)信息，測量過程中存在較大的噪聲干擾，從而影響標定結(jié)果。因此WU L等建立了基于Ax=By的解耦齊次矩陣，只需機器人末端的位置信息，通過多次迭代提高旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性，標定精度高且可行性更強[5]。上述方法往往可獲得較高的標定精度，但需人工的參與，標定過程復雜繁瑣，較難融入自動化加工流程。

在線補償通常直接在機器人末端搭載測量設(shè)備，如工業(yè)相機、激光線掃描儀等，在加工過程中對定位參考點實時測量，從而實現(xiàn)在線補償[6-8]。韋溟等通過機器人末端攜帶的單個工業(yè)相機實現(xiàn)機器人基坐標系與工件坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系的現(xiàn)場快速標定，方法便捷、高效[9]。在線補償無需外部測量設(shè)備，可實現(xiàn)自動化標定，但補償精度受限。

本文采取離線標定與在線補償相結(jié)合的方式，提出了一種移動機器人重復入位誤差在線補償方法。初始標定移動機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系后，建立移動機器人重復入位誤差模型，在線補償入位誤差；并最終通過仿真試驗驗證了本文方法的可行性與有效性。

1 移動機器人入位誤差補償

1.1 初始坐標系標定

移動平臺在初始位置下，需要標定移動機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系的相對轉(zhuǎn)換關(guān)系，這是移動機器人進行加工的前提[10]。為保證標定精度，本文采用激光跟蹤儀參與標定。移動機器人初始坐標系標定示意圖如圖1所示。

圖1 移動機器人初始坐標系標定示意圖

將機器人運動至初始位姿處，即機器人的各關(guān)節(jié)角分別為(0°, -90°, 90°, 0°, 90°, 0°)。根據(jù)機器人結(jié)構(gòu)特性可知，機器人基坐標系的原點位于A1軸轉(zhuǎn)動軸線與基坐標系平面相交處，同時基坐標系的z軸垂直于當前位姿下A1軸轉(zhuǎn)動平面，y軸垂直于當前位姿下A2軸轉(zhuǎn)動平面。因此在其他關(guān)節(jié)軸不動的情況下，分別緩慢轉(zhuǎn)動機器人A1軸與A2軸，同時使用激光跟蹤儀測量運動過程中機器人末端的位置坐標，并將這一系列測量點通過圓擬合得到圓C1與C2及其圓心O1與O2的位置。

nz=nC1，ny=nC2

(1)

x軸單位方向向量nx可由nz與ny叉乘獲得，基于原點位置坐標以及各軸單位方向向量即可獲得機器人基坐標系{B}與測量坐標系{M}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系MTB。

測量工裝上提前布置多個特征點，并與理論數(shù)模中產(chǎn)品坐標系下的值進行對應(yīng)，即可獲得產(chǎn)品坐標系{P}與測量坐標系{M}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系MTP。根據(jù)MTB與MTP即可求得機器人基坐標系{B}與產(chǎn)品坐標系{P}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系BTP：

BTP=(MTB)-1×MTP

(2)

1.2 入位誤差在線補償

由于移動平臺重復定位精度較差，移動機器人在多次進入同一工位時基坐標系會發(fā)生輕微的平移旋轉(zhuǎn)，從而無法精確加工。所以重復入位誤差可等效為當前位置與初始位置基坐標系之間的偏差。實際加工中，離線編程對于孔位的規(guī)劃是在產(chǎn)品坐標系下，而機器人運動指令則是末端在機器人基坐標系下的位姿，因此加工時需做如下轉(zhuǎn)換：

BP=BTP×PP

(3)

式中：BP為待加工點在機器人基坐標系的坐標表達；PP為待加工點在產(chǎn)品坐標系下的坐標表達；BTP為機器人基坐標系{B}與產(chǎn)品坐標系{P}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系[11]。

當移動機器人重復入位后，將機器人基坐標系定義為{B′}，則式(3)變?yōu)?/p>

B′P=ΔB′TB×BTP×PP

(4)

式中：B′P為待加工點在當前位置機器人基坐標系的坐標表達；ΔB′TB為重復入位后當前位置與初始標定位置機器人基坐標系偏差關(guān)系的齊次矩陣，即重復入位誤差。

將ΔB′TB寫成ΔB′TB=(R，t)的表達形式[12]，其中，R為重復入位誤差的旋轉(zhuǎn)部分，t為重復入位誤差的平移部分。選定產(chǎn)品上一組n個基準孔作為重復入位誤差補償?shù)膮⒖疾蓸狱c，其在初始機器人基坐標系下的坐標值記做P=(p1，p2，p3，…，pn)，由采樣點在產(chǎn)品坐標系下的理論坐標值通過式(3)計算而來。其在當前位置機器人基坐標系下的坐標值記做Q=(q1，q2，q3，…，qn)，由機器人末端執(zhí)行器上攜帶的測量設(shè)備依次實時測量所得。則兩者的關(guān)系即可表達為典型的Ax=By的方程：

Q=RP+t

(5)

若已知兩組對應(yīng)點集P與Q，求解旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移矩陣t，即可將其看做最小二乘求最優(yōu)解的問題，可轉(zhuǎn)換為以下數(shù)學描述：

(6)

式中：argmin表示使其后式子值達到最小時變量的取值；ωi表示每個采樣點對應(yīng)的權(quán)重。

將式(6)對t求導可得

(7)

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)中可得

(10)

將式(10)代入公式(6)中，式(6)可寫作

(11)

(12)

(13)

(14)

將RTR=1與式(14)代入式(13)中，可得

(15)

因此式(12)可展開為

(16)

(17)

則式(17)可寫作

(18)

根據(jù)矩陣跡的相關(guān)特性可得[13]，式(18)中tr(WYTRX)=tr(RXWYT)，令S=XWYT，并將S進行奇異值分解[14-15]，S=U∑VT，其中U和V均為酉矩陣，∑為半正定對角矩陣，其對角線上的元素為S的奇異值。則

tr(RXWYT)=tr(RU∑VT)=tr(∑VTRU)

(19)

令M=VTRU，代入式(19)。由于V、R和U均為正交矩陣，則M也為正交矩陣，即MTM=E，同時滿足

(20)

式中mj為M中每一列的列向量，由上式可得mij≤1。因此當且僅當mij=1時，∑M的跡最大，即M為單位矩陣，可得

VTRU=ER=VUT

(21)

由式(21)得旋轉(zhuǎn)矩陣R，代入式(10)中得平移矩陣t，從而得到重復入位誤差ΔB′TB。

2 試驗驗證

2.1 試驗平臺

為驗證本文所提出的移動機器人重復入位誤差補償方法的有效性，以移動制孔機器人作為試驗對象，進行試驗。

試驗平臺主要由KUKA KR500 R2830工業(yè)機器人、移動平臺、末端執(zhí)行器、產(chǎn)品工裝和API T3激光跟蹤儀組成。激光跟蹤儀用于初始位置機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的標定以及精度驗證，制孔末端執(zhí)行器上搭載有激光2D線掃描儀，與高精度電機相結(jié)合可獲取定位孔在機器人基坐標系下的三維坐標，用于入位誤差在線補償。試驗平臺如圖2所示。

圖2 試驗平臺

2.2 初始離線標定試驗

控制移動平臺進入加工站位，完成停車，根據(jù)上文中初始位置下移動機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的標定方法，進行初始離線標定。標定結(jié)果BTP如下：

BTP=

由于基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的理論值無法獲取，因此采用定位誤差的方法進行標定精度驗證。通過激光跟蹤儀測量產(chǎn)品坐標系下多組機器人末端位置PP，將其經(jīng)標定所得的轉(zhuǎn)換矩陣BTP變換至機器人基坐標系，與機器人示教器中對應(yīng)位置BP計算誤差。則標定誤差定義為

(22)

本文在機器人工作空間內(nèi)選取50個機器人末端位置進行驗證，初始位置的標定誤差如圖3所示。

圖3 初始標定誤差

2.3 入位誤差在線補償試驗

在初始位置標定結(jié)束后，控制全向移動平臺重新進入加工站位，本文直接采用產(chǎn)品本身已有的加工基準孔作為重復入位誤差補償參考采樣點，無需額外增加定位孔。參考定位孔的分布如圖4所示。

圖4 參考定位孔分布

在產(chǎn)品的合適位置選取6個基準孔作為參考定位孔，控制機器人依次移動至定位孔位置，采用激光線掃描儀測量定位孔，從而獲得定位孔在當前機器人基坐標系下的三維坐標Q；同時根據(jù)初始標定中得到的轉(zhuǎn)換矩陣BTP，將定位孔在產(chǎn)品坐標系下的值轉(zhuǎn)換為初始位置下機器人基坐標系下的三維坐標P，即可根據(jù)上文方法完成重復入位誤差在線補償。補償結(jié)果ΔB′TB如下：

重復入位誤差也采用定位誤差方法進行補償精度驗證，并與未進行重復入位誤差補償做對比。與上節(jié)中方法相同，未進行重復入位誤差補償?shù)亩ㄎ徽`差由式(22)計算可得，補償后的定位誤差定義為

(23)

同樣選取機器人工作空間內(nèi)選取50個機器人末端位置進行驗證，補償前后的定位誤差對比如圖5所示。

圖5 補償前后的定位誤差對比

3 結(jié)語

本文提出了一種離線標定與在線補償相結(jié)合的移動機器人重復入位誤差補償方法，建立了入位誤差模型，在初始標定機器人基坐標系與產(chǎn)品坐標系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系后，利用該方法可有效補償因重復入位引入的誤差，并通過移動制孔機器人進行試驗驗證。試驗表明，經(jīng)過本方法補償后，移動機器人綜合定位誤差為0.332 6mm，驗證了該方法的可行性與有效性。