李紹民，徐亞棟，鄒權(quán)，趙鵬舉

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.北方工程設(shè)計(jì)研究院有限公司，河北 石家莊 050011)

彈藥裝填機(jī)械手是火炮彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)的重要組成部分，是保證彈丸順利完成供彈交接的核心。彈藥裝填機(jī)械手的主要功能是將彈丸從彈倉(cāng)中取出，經(jīng)過(guò)回轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)將彈丸安全可靠地送至彈協(xié)調(diào)臂[1-2]。彈藥裝填機(jī)械手回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在著摩擦力矩、齒隙等非線(xiàn)性因素和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)等，使得彈藥裝填機(jī)械手的控制器設(shè)計(jì)難度較大，因此彈藥裝填機(jī)械手的控制策略研究具有一定研究?jī)r(jià)值。

滑模變結(jié)構(gòu)[3]是一種使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的控制，包括趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在實(shí)際滑模控制系統(tǒng)中，由于測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的誤差、系統(tǒng)中慣性及延遲等因素，使得滑模控制系統(tǒng)存在著高頻抖動(dòng)，影響系統(tǒng)控制精度。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)削弱抖振進(jìn)行了許多研究，方法有邊界層法[4]、準(zhǔn)滑模方法[5]、動(dòng)態(tài)滑模方法[6]及高階滑模方法[7]等。文獻(xiàn)[8]在冪次趨近律和變速趨近律基礎(chǔ)上提出了一種自適應(yīng)趨近律，能夠在系統(tǒng)狀態(tài)變量離滑模面較近時(shí)自適應(yīng)調(diào)節(jié)滑模面參數(shù)。文獻(xiàn)[9]將傳統(tǒng)滑模和通過(guò)在指數(shù)滑模中引入正弦項(xiàng)系數(shù)相結(jié)合來(lái)減少系統(tǒng)的抖振。文獻(xiàn)[10]提出的新型趨近律能夠保證滑模運(yùn)動(dòng)快速收斂到滑模面，從而在不產(chǎn)生過(guò)度抖振的情況下提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[11]提出了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步控制方法，得到了主從系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑?；煦缤降某浞謼l件。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種新的無(wú)抖振離散滑模變速趨近律算法，使切換函數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)能無(wú)抖振收斂至0。文獻(xiàn)[13]在新型積分滑?？刂撇呗缘幕A(chǔ)上設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)速控制器，有效地抑制了控制系統(tǒng)的高頻微分?jǐn)_動(dòng)，還降低了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[14]提出的新型趨近律，解決了傳統(tǒng)趨近律滑模面趨近時(shí)間和系統(tǒng)抖振之間的矛盾，加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[15]采用自適應(yīng)律調(diào)節(jié)切換律系數(shù)，保證了狀態(tài)變量有限時(shí)間收斂，減弱了抖振。

筆者在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上改進(jìn)了一種新型指數(shù)趨近律。該趨近律在指數(shù)趨近律的等速項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)變量沿著滑模面滑動(dòng)的過(guò)程中控制增益逐漸減小，在控制律的作用下系統(tǒng)狀態(tài)變量逐漸趨近于0，有效地減小了抖動(dòng)。通過(guò)和指數(shù)趨近律及冪次趨近律的仿真比較，該趨近律抖振更小，響應(yīng)更快，具有較強(qiáng)的魯棒性，滿(mǎn)足彈藥裝填機(jī)械手控制精度要求。

1 問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)建模

根據(jù)彈藥裝填機(jī)械手的功能可知，彈藥裝填機(jī)械手回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的位置控制精度決定了彈丸的交接過(guò)程能否順利的進(jìn)行。因此對(duì)機(jī)械手的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程要求平穩(wěn)，無(wú)沖擊，到位誤差控制在±0.075°以?xún)?nèi)，以保征彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)的可靠性。

機(jī)械手回轉(zhuǎn)部分執(zhí)行元件為永磁同步電機(jī)(PMSM)，在d-q兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，定子電流勵(lì)磁分量id=0，則電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=1.5Pnψf·iq=KT·iq，

(1)

式中：Te為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Pn為電機(jī)磁極對(duì)數(shù)；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；iq為q軸電流；KT=1.5Pnψf為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

PMSM伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中：J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為電機(jī)的粘性阻尼系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；θ為電機(jī)轉(zhuǎn)子角位移。

彈藥裝填機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

式中：JL為系統(tǒng)等效至電機(jī)輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；BL為系統(tǒng)等效至電機(jī)輸出軸的粘性阻尼系數(shù)；Tl為非線(xiàn)性摩擦和其他未建模動(dòng)態(tài)非線(xiàn)性因素等。

將式(3)代入式(2)得

(4)

令控制量u=iq，由式(1)和式(4)得

(5)

彈藥裝填機(jī)械手在有彈和無(wú)彈兩種情況下，相應(yīng)的參數(shù)也會(huì)發(fā)生改變，則式(5)變?yōu)?/p>

(6)

(7)

2 新型指數(shù)趨近律

2.1 新型指數(shù)趨近律的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)指數(shù)趨近律為

(8)

(9)

式中：k1>0；k2>0；0<β<1；α>0；0<δ<1；x為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

飽和函數(shù)sat(s)為

(10)

式中，Δ為邊界層厚度。

2.2 穩(wěn)定性分析

構(gòu)建如下的Lyapunov函數(shù)：

(11)

對(duì)V求導(dǎo)，得

(12)

3 自適應(yīng)滑模控制器的設(shè)計(jì)

取滑模函數(shù)為

(13)

式中：e1=x1-xd，為角度位置跟蹤誤差；xd為自動(dòng)裝填機(jī)械手理想位置信號(hào)；c>0，滿(mǎn)足Hurwitz穩(wěn)定條件。

(14)

由趨近律式(9)和式(14)得

(15)

則由式(15)可得控制律：

(16)

定義Lyapunov函數(shù)為

(17)

對(duì)V求導(dǎo)，得

(18)

可設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(19)

因此基于新型趨近律的自適應(yīng)滑?？刂坡蔀?/p>

(20)

將式(19)代入式(18)可知：

(21)

滿(mǎn)足Lyapunov穩(wěn)定，因此，整個(gè)彈藥裝填機(jī)械手閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 仿真分析與驗(yàn)證

4.1 機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)

在MATLAB/Simulink中建立彈藥裝填機(jī)械手仿真模型，仿真模型中求解器為ode45(Dormand-Prince)，采樣周期設(shè)置為1 ms。為保證整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)無(wú)劇烈沖擊，采用梯型速度曲線(xiàn)規(guī)劃算法，如圖1所示，轉(zhuǎn)子最大角位移為67.5 rad，最大速度為75 rad/s。

4.2 不同趨近律仿真結(jié)果與分析對(duì)比

為了驗(yàn)證新型趨近律的有效性，在相同條件下對(duì)指數(shù)趨近律、冪次趨近律和筆者所提出的新型趨近律在彈藥裝填機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的控制輸入、位置跟蹤誤差和滑模變量s作對(duì)比分析。

1)指數(shù)趨近律：

(22)

2)冪次趨近律：

(23)

3)新型趨近律：

(24)

式中：k1>0;k2>0；0<β<1；α>0；0<δ<1；x為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

設(shè)置各參數(shù)為c=200,k1=8,k2=810,β=0.01,α=20,δ=0.01,γ=15,σ=0.9,Δ=50,標(biāo)稱(chēng)參數(shù)Jpn=7.95×10-3,Bpn=3.79×10-3。仿真模型中，給系統(tǒng)所加等效外部擾動(dòng)為T(mén)d=-0.5sin(3.92t)。

在相同的初始條件下，采用筆者所提出的新型趨近律、指數(shù)趨近律以及冪次趨近律，彈藥裝填機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的控制輸入如圖2所示，位置跟蹤誤差如圖3所示，滑模變量s的變化情況如圖4所示。

由圖2可知，基于新型趨近律的系統(tǒng)控制輸入在-4～4 A之間，符合機(jī)械手電機(jī)控制輸入要求，在系統(tǒng)加速度變化階段，電機(jī)控制輸入有些許波動(dòng)，但由于采用了新型趨近律，并用飽和算法替代了不連續(xù)切換控制項(xiàng)，使得控制輸入曲線(xiàn)較為平滑，很好地削弱了抖振現(xiàn)象。

圖3所示為系統(tǒng)位置跟蹤誤差，新型趨近律跟蹤誤差更小，運(yùn)動(dòng)過(guò)程更為平穩(wěn)；基于新型趨近律的系統(tǒng)位置跟蹤誤差在-1～1 mrad之間；根據(jù)機(jī)械手各級(jí)傳動(dòng)比，其最終回轉(zhuǎn)定位控制精度在±0.001 8°，滿(mǎn)足機(jī)械手到位精度要求。

由圖4可知，指數(shù)趨近律滑模變量振幅為0.29，收斂后滑模變量s的穩(wěn)態(tài)誤差范圍在0.22以?xún)?nèi)，冪次趨近律滑模變量振幅為0.23，收斂后滑模變量s的穩(wěn)態(tài)誤差范圍在0.17以?xún)?nèi)；新型趨近律滑模變量振幅較小為0.11，收斂后的滑模變量s穩(wěn)態(tài)誤差范圍在0.10以?xún)?nèi)；新型趨近趨近律在受到外部擾動(dòng)時(shí)振幅小，收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差范圍最小，魯棒性好。

在新型趨近律作用下，利用自適應(yīng)律實(shí)時(shí)估計(jì)彈藥裝填機(jī)械手系統(tǒng)的未知擾動(dòng)如圖5所示。

由圖5可知，系統(tǒng)的總不確定性Fd隨著機(jī)械手回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大，速度最大時(shí)，F(xiàn)d也最大，符合實(shí)際工況，驗(yàn)證了自適應(yīng)律能夠很好地描述系統(tǒng)總不確定性。

將等效外部擾動(dòng)擴(kuò)大6倍變?yōu)?sin(3.92t)，則基于新型趨近律的機(jī)械手位置誤差、滑模變量s以及Fd的變化曲線(xiàn)如圖6～8所示。

結(jié)合圖3和圖6可知，在系統(tǒng)等效外部擾動(dòng)變化的情況下，機(jī)械手位置跟蹤誤差在-2～2 mrad之間；根據(jù)機(jī)械手各級(jí)傳動(dòng)比，其最終回轉(zhuǎn)定位控制精度在±0.003 6°，誤差范圍依然滿(mǎn)足機(jī)械手到位精度要求，表明采用新型趨近律的系統(tǒng)具有較強(qiáng)魯棒性。

圖7所示，在系統(tǒng)受到變化的等效外部擾動(dòng)時(shí)，基于新型趨近律的滑模變量s最大振幅為0.47，收斂后的滑模變量s穩(wěn)態(tài)誤差范圍在0.45以?xún)?nèi)，系統(tǒng)仍能保持較好的魯棒性。

圖8表明基于新型趨近律的自適應(yīng)滑?？刂瓶梢噪S著外部擾動(dòng)發(fā)生改變時(shí)而改變總不確定性Fd的估計(jì)值，符合實(shí)際工況。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種基于新型趨近律的彈藥裝填機(jī)械手自適應(yīng)滑模控制方法，能夠?qū)Σ淮_定參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，保證系統(tǒng)趨近速度的同時(shí)削弱了抖振，實(shí)現(xiàn)了較高精度的位置跟蹤控制，并將新型趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律在同等條件下的控制輸入、位置跟蹤誤差及滑模變量s變化情況進(jìn)行了仿真對(duì)比，驗(yàn)證了筆者所提新型趨近律的有效性。