朱德凱，蘇岐芳

（臺州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

0 引言

自然常數(shù)e是繼π后人類發(fā)現(xiàn)的又一個超越數(shù)，其最初的定義源自金融領(lǐng)域以及計算機領(lǐng)域?qū)蓚€問題的解決［1］，后來在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中的許多問題也運用到e的近似值，如力學(xué)歐拉公式、衰變定律［2］、牛頓冷卻定律［3］等。自然常數(shù)e在不同領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對其進行正確、快速的估計是非常重要的。

各高校的“數(shù)學(xué)分析”教材里均給出了自然常數(shù)e的原始定義［4］：

采用式（1）的計算方法，考慮其誤差

從式（2）中可以看出，該算法收斂速度較慢，因此引入其他計算方法非常有必要。下面列舉幾種現(xiàn)有的計算方法［4-8］：

其中，式（3）的算法利用了Taylor展開式，式（5）的算法利用了積分上限，兩種算法分別對自然常數(shù)e進行了估計。但文獻［4-8］中并未解決對式（4）、式（5）算法的誤差估計以及對式（6）算法的證明，本文將對此進一步進行理論和實驗分析。

1 誤差及其收斂速度的理論分析

1.1 式（3）算法的分析

由“拉格朗日余項”可知，式（3）算法的誤差為

將式（7）與式（2）的比值取極限，易得

從而說明式（3）算法的收斂速度比式（1）算法的收斂速度快。

1.2 式（4）算法的分析

1.3 式（10）算法的分析

由于式（5）算法和n沒有關(guān)系，但能夠初步確定2＜e＜3，由“閉區(qū)間套定理”受到啟發(fā)，構(gòu)造一個閉區(qū)間套{[an,bn]}，其中a1=2,b1=3，接著每次取中點m，并查看兩式

觀察哪一個更接近于1，就選擇其上限和m構(gòu)成一個新的閉區(qū)間，反復(fù)操作便可得到{[an,bn]}。由于迭代初始端點值為有理數(shù)，所以經(jīng)過有限次迭代后得到的閉區(qū)間端點值也均為有理數(shù)，并且有：

上述算法的收斂速度即為二分法的收斂速度［9］，誤差為

將式（13）與式（2）的比值取極限，易得

將式（7）與式（13）的比值取極限，易得

從而說明式（5）算法的收斂速度比式（1）算法的收斂速度快，比式（3）算法的收斂速度慢。

1.4 式（6）算法的分析

首先，證明式（6）算法的合理性。

再利用兩次stolz公式得到其極限值:

于是可得

即式（6）算法得證。

接著，得出式（6）算法的誤差為：

不難看出，式（6）算法是比較繁瑣的，難以找到其誤差的等價量，但是能夠定性分析其收斂速度一定不快，后續(xù)將繼續(xù)進行實驗分析。

2 誤差及其收斂速度的實驗分析

由式（8）、式（12）、式（14）、式（15），已經(jīng)得出式（4）算法、式（1）算法、式（5）算法、式（3）算法的收斂速度是依次遞增的，而式（6）算法的收斂速度待確定。為此利用MATLAB程序來更直觀地展示上述5種算法的收斂速度和誤差情況。

由于不同算法迭代所需要的時間大不相同，考慮到計算機計算的時間，在此先將誤差限設(shè)置為10-1，采用MATLAB代碼編程得到5種算法收斂情況的對比，如圖1所示。

圖1 5種算法收斂情況對比圖

通過觀察圖1中極限值曲線的增長情況以及誤差曲線的遞減情況，能夠確定式（6）算法的收斂速度＜式（4）算法的收斂速度＜式（1）算法的收斂速度，并且均比式（3）算法和式（5）算法的收斂速度慢。再將誤差限設(shè)置為10-5，單獨比較式（3）算法和式（5）算法的收斂速度，采用MATLAB代碼編程得到這兩種算法收斂情況的對比，如圖2所示。

圖2 兩種算法收斂情況對比圖

從圖2可以看出，式（5）算法的收斂速度小于式（3）算法的收斂速度。綜上所述，實驗所得結(jié)果與前面的理論分析結(jié)果是一致的。

3 算法的改進

經(jīng)過理論分析與實驗計算，得出式（3）算法的收斂速度是最快的，但是通過觀察發(fā)現(xiàn)其有兩個缺點：①該算法涉及到“階乘”，它會大大地增加計算機運行的時間。②該算法需要利用“循環(huán)語句”進行不斷地迭代，其中每次迭代都是在后面加上一項，隨著n的增大，會迅速減小，這會導(dǎo)致在進行精細運算時產(chǎn)生較大的誤差。

為了避免以上兩個缺點，需進一步優(yōu)化改進算法，在此給出如下算法［4］：

設(shè)有a1=1，an=n(an-1+1)，n=2,3,…,于是

現(xiàn)給出式（17）算法的證明如下：

4 式（17）算法的實現(xiàn)

考慮到算法的實用性，將計算誤差控制在小數(shù)點后15位，在此給出式（17）算法的MATLAB編程代碼如下：

通過上述代碼對e進行估計，得到：e=2.71828128245904……。若將誤差限設(shè)置為小數(shù)點后15位，式（3）算法所需運行時長為0.001954 s，而式（17）算法所需運行的時長僅為0.000788 s，說明式（17）算法最優(yōu)。

5 結(jié)語

本文通過對自然常數(shù)e的5種算法進行理論和實驗分析，并經(jīng)過改進與優(yōu)化后，得到的新算法有效地避免了原有算法中存在的問題，同時節(jié)約了計算機運行的時間，提高了使用效率。