劉杰

摘要：初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是當(dāng)前初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，利用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)尋找定直線或定點(diǎn)，能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題形象化、簡(jiǎn)單化，構(gòu)建學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，高效解決直線型與圓弧型軌跡問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想;軌跡;動(dòng)點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題集合了中學(xué)階段多模塊的知識(shí)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力，邏輯分析能力等要求較高，學(xué)生腦海對(duì)動(dòng)點(diǎn)圖像沒(méi)有直觀畫(huà)面，進(jìn)而難以著手解決問(wèn)題，而動(dòng)點(diǎn)中的軌跡問(wèn)題更是其中的難點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，一般有兩種情況：線段型或圓弧型。在研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可以在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的量，即不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系。如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離始終保持不變;如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，那么其中不變的量便是該動(dòng)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)的距離始終保持不變。因此，解決此類動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題便可轉(zhuǎn)化為尋找定直線或定點(diǎn)。下面就以原文中兩個(gè)例題來(lái)闡明這類動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的解題策略。

一、運(yùn)動(dòng)路徑是線段

例1（2012年張家界中考題）如圖1，已知線段AB=6，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為_(kāi)______.

解析：此題中主動(dòng)點(diǎn)是P，動(dòng)點(diǎn)G是因點(diǎn)P的變化而變化，動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的量是AP+BP=6。另外，題中還有不變的量是△APE和△PBF始終為等邊三角形。

解答此問(wèn)題需牢牢把握住這兩個(gè)不變的量，而既然是求動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，則需考慮點(diǎn)G是到某條直線的距離保持不變，還是到某個(gè)定點(diǎn)的距離保持不變，顯然此題首先考慮的是點(diǎn)G是否到直線AB的距離保持不變，因此嘗試作GQ⊥AB，垂足為Q.又根據(jù)△APE和△PBF均是等邊三角形這一性質(zhì)，不難想到分別作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分別為M，N（如圖2）。

事實(shí)上，點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MQ的長(zhǎng)度也是始終保持不變，因此G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度就是M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度，而整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中M點(diǎn)是從AC的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)，即M1M2（如圖5）。

如果用這樣的方式去分析問(wèn)題，那么最終學(xué)生頭腦中對(duì)整個(gè)變化過(guò)程會(huì)有一個(gè)全面而清晰的了解.此題的解題思路中還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是有積極作用的。

二、運(yùn)動(dòng)路徑是圓弧

例2（2011年湖州中考題）如圖6，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）;

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值;

（3）設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交予點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖7）.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。（不必寫(xiě)解答過(guò)程）

解析? （1）、（2）略。

（3）此題中主動(dòng)點(diǎn)是P，動(dòng)點(diǎn)H是因點(diǎn)P的變化而變化.動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的量是OH始終垂直ME，即日始終為垂足。而求動(dòng)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，則需考慮點(diǎn)H是到某條直線的距離始終不變，還是到某個(gè)定點(diǎn)的距離始終保持不變。由于OH⊥ME，連結(jié)OM后，△AMH始終為直角三角形，而斜邊OM不變，因此根據(jù)直角三角形的性質(zhì)容易得到動(dòng)點(diǎn)日到DM的中點(diǎn)的距離始終不變，從而可得到點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧。

下面只需確定圓弧的度數(shù)即可，即要找到動(dòng)點(diǎn)H的始點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)圖形的變化容易分析得動(dòng)點(diǎn)H無(wú)限接近點(diǎn)C，因此可將點(diǎn)C定為動(dòng)點(diǎn)H的終點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在O點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H在始點(diǎn)，記為H1，由對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），作MN⊥OE，垂足為N，取DM的中點(diǎn)F，再連結(jié)FC、F H1 （如圖8）。

因?yàn)镸點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），所以可得MN=NE=2，所以得到∠MEN=45°，所以∠H1OE=45°，所以∠H1OC=45°。

因?yàn)镃，D，H1，M四點(diǎn)共圓，所以∠CFH1=90°。

又因?yàn)镕C=OM=，所以弧CH1的長(zhǎng)為：，所以點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為。

以上兩個(gè)例題剛好反映了初中數(shù)學(xué)軌跡問(wèn)題中的兩種典型情況。此類問(wèn)題的解題策略便是確定動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離保持不變，還是到定點(diǎn)的距離保持不變。沿著這個(gè)思路走下去，便能找到變化過(guò)程中不變的量，從而找到解題的突破口。