蔡麗娟

[摘? 要] 分類討論思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本方法. 研究者從分類討論的原理與基本步驟出發(fā)，立足于教學(xué)實(shí)踐，對(duì)它在概念教學(xué)、數(shù)學(xué)運(yùn)算、位置關(guān)系、條件不確定以及解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用談一些看法與思考.

[關(guān)鍵詞] 分類討論;應(yīng)用;原理

分類討論思想是指在數(shù)學(xué)研究中，將待研究的問(wèn)題根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，使得一個(gè)問(wèn)題分化為多個(gè)小問(wèn)題，再進(jìn)行研究與解決的一種數(shù)學(xué)思想. 分類討論思想在數(shù)學(xué)研究中占有舉足輕重的地位，在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、探索性、條理性以及綜合性等方面具有重要影響. 這種思想方法在初中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用，能將一些復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，模糊的問(wèn)題變得清晰，同時(shí)還能激活學(xué)生的思維，開(kāi)闊視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

分類討論的原理

分類討論思想是從不同情境下，對(duì)學(xué)科問(wèn)題進(jìn)行發(fā)展的考量，它能從多方位解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 分類與分步是分類討論的兩個(gè)基本原理，其中分一類，也可稱為分類，而分一步也可稱為分步. 分類與分步原理在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用又稱為記數(shù)原理，即加法原理（與分類對(duì)應(yīng)）、乘法原理（與分步對(duì)應(yīng)）[1].

分類討論過(guò)程主要遵循以下幾個(gè)步驟：（1）有分類討論的基本意識(shí)，這是實(shí)施分類討論的基礎(chǔ)與必備條件;（2）確定分類原則，這一步的關(guān)鍵是要吃透問(wèn)題的本質(zhì)，知道以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類，分類具有哪幾種可能性等;（3）選擇一個(gè)分類方法，要做到不重復(fù)、無(wú)遺漏;（4）針對(duì)每一類情況，具體討論分析，將每個(gè)問(wèn)題的解決落到實(shí)處;（5）總結(jié)各類分析后的結(jié)論，作總結(jié)陳述.

以上五個(gè)步驟中，第（1）（2）兩步的難度最大. 分類意識(shí)的培養(yǎng)有一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，分類意識(shí)的滲透并非通過(guò)幾節(jié)課的講解就能達(dá)成，需在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)長(zhǎng)期的浸潤(rùn)，讓學(xué)生形成一種慣性思維. 一般簡(jiǎn)單的問(wèn)題不涉及分類討論，也難以培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí). 這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生多接觸綜合性的例題，讓學(xué)生逐漸自主萌生出分類意識(shí).

基于以上思考，筆者特整理出初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾類典型利用分類討論的例題，以展示幾種常見(jiàn)的分類討論方法，希望能給讀者帶來(lái)啟發(fā).

分類討論法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）在概念教學(xué)中的應(yīng)用

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，但不少教師受傳統(tǒng)教學(xué)理念的影響，在概念教學(xué)中常常只關(guān)注概念“是什么”，而忽視概念的“為什么”，導(dǎo)致不少學(xué)生學(xué)完概念之后，雖然能流利、完整地背誦概念，卻只能知其然而不知其所以然，對(duì)于概念的來(lái)龍去脈、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等一知半解.

殊不知，真正的概念教學(xué)過(guò)程博大精深，每個(gè)概念的形成都經(jīng)歷了一個(gè)艱辛、曲折的過(guò)程，我們今天所見(jiàn)到的每個(gè)概念都是經(jīng)過(guò)生活的歷練后高度概括而來(lái)，其中不乏大量的數(shù)學(xué)思想元素. 鑒于此，基于分類討論思想滲透的數(shù)學(xué)課堂中，我們應(yīng)化概念的結(jié)論教學(xué)為概念的過(guò)程教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在探究概念的“為什么”中，激活思維，進(jìn)行全方位的分類討論，以獲得概念的本質(zhì).

有些概念（如實(shí)數(shù)的絕對(duì)值）本身就是分類進(jìn)行定義的，在應(yīng)用的時(shí)候就需要分類討論;也有些概念在定義時(shí)，就考慮到了研究對(duì)象的范圍（如二次方程，求二次項(xiàng)系數(shù)不為零等），在解題時(shí)，當(dāng)需要突破這些定義的限制時(shí)，就需要進(jìn)行分類討論，才能實(shí)現(xiàn)解題.

例1? 已知x=3，y=1，xy<0，求x+y的值.

本題題干簡(jiǎn)潔，看似簡(jiǎn)單，但不少學(xué)生一做就錯(cuò). 究其原因主要就在于對(duì)概念的理解不夠透徹，有些學(xué)生忽略了絕對(duì)值分正負(fù)兩類情況，大部分出錯(cuò)的原因在于對(duì)“xy<0”這個(gè)條件的認(rèn)識(shí)不夠充分，沒(méi)有意識(shí)到x，y異號(hào)，需要分兩種情況來(lái)討論. 由此可見(jiàn)，掌握概念的本質(zhì)以及分類討論思想的應(yīng)用，對(duì)解題具有直接影響.

（二）在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的應(yīng)用

運(yùn)算一直是制約學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素之一，不論哪個(gè)學(xué)段，學(xué)生因運(yùn)算而導(dǎo)致的失分現(xiàn)象一直存在. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因在于：運(yùn)算習(xí)慣差，遇到含字母等符號(hào)的運(yùn)算就打心眼里感到畏懼;不擅長(zhǎng)分析，缺乏良好的運(yùn)算思路，不會(huì)辨析與權(quán)衡各種運(yùn)算方法的利弊.

事實(shí)證明，分類討論思想在運(yùn)算中具有重要作用. 如一些運(yùn)算的實(shí)施，本身就存在一些條件，如0不可作為除數(shù)，在不等式的兩邊同時(shí)乘或除以數(shù)或式子時(shí)要考慮正負(fù)問(wèn)題等. 如果在運(yùn)算過(guò)程中想要突破這些運(yùn)算的基本限制條件，則必須從某個(gè)角度進(jìn)行分類討論，以保證運(yùn)算的合理性與完整性.

例2? 求解關(guān)于x的不等式，3+ax>a+2x.

錯(cuò)解：移項(xiàng)后將不等式轉(zhuǎn)化為（a-2）x>a-3，解得x>.

此解題過(guò)程看似沒(méi)毛病，實(shí)則為典型的錯(cuò)誤運(yùn)算過(guò)程. 在移項(xiàng)這一步后，從不等式的性質(zhì)出發(fā)，應(yīng)將式子分為“a-2>0”“a-2=0”“a-2<0”三類情況進(jìn)行分析. 而不同情況下，會(huì)呈現(xiàn)出不一樣的解.

本題的正解為：

①在a-2>0時(shí)，a>2，該不等式的解為x>;②在a-2=0時(shí)，a=2，該不等式的左邊等于0，右邊等于-1，而0>-1，因此該不等式的解為所有實(shí)數(shù);③在a-2<0時(shí)，a<2，該不等式的解為x<.

在實(shí)際的解題練習(xí)中，本題的正確率不高，錯(cuò)誤原因基本都集中在沒(méi)有進(jìn)行分類討論. 由此可見(jiàn)，分類討論思想在數(shù)學(xué)運(yùn)算中也占有非常重要的地位，一旦出現(xiàn)遺漏，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生. 因此，教師在運(yùn)算教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從分類討論的角度來(lái)分析問(wèn)題，完善解題思路，讓思維變得更具條理性.

（三）在位置關(guān)系中的應(yīng)用

美國(guó)學(xué)者施瓦布提出：兒童自主參與知識(shí)的形成過(guò)程，能獲得研究自然所必需的能力，為形成科學(xué)概念奠定基礎(chǔ)，從而形成對(duì)未知世界積極探索的良好態(tài)度. 分類討論思想在解決圖形位置關(guān)系中，需要學(xué)生參與到圖形的變化過(guò)程中去，以切身感知圖形變化的種類，從而獲得可靠的分類依據(jù).

新課標(biāo)提出：教師要為學(xué)生提供“自主、合作、探究”的機(jī)會(huì)[2]. 于初中學(xué)生而言，位置變化關(guān)系中的動(dòng)態(tài)翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等問(wèn)題，確實(shí)有一定難度，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵就在于相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的獲取與分類討論思想的運(yùn)用. 當(dāng)遇到位置或形狀難以確定的問(wèn)題，則需要理清思路，展開(kāi)全面討論，才能實(shí)現(xiàn)正確解題.

例3? 已知直線l上的某點(diǎn)P與圓心O的距離為5 cm，而☉O的半徑長(zhǎng)也為5 cm，則直線l和☉O之間具有怎樣的位置關(guān)系？

分析：本題解題過(guò)程中，有不少學(xué)生將直線與圓的距離理解為OP，也就是將直線l上的點(diǎn)P理解為垂足，將直線與圓的位置關(guān)系直接認(rèn)為是相切的關(guān)系，從而出現(xiàn)解題不完全的現(xiàn)象.

解析：（1）若OP⊥l，圓心O與直線l之間的距離為OP. 根據(jù)題設(shè)條件已知OP=5，R=5，因此OP=R，所以點(diǎn)P與直線l之間的距離為☉O的半徑，直線l和☉O為相切的關(guān)系;

（2）若OP與直線l不是垂直的關(guān)系時(shí)，直線l與圓心的距離則小于OP，那么☉O與直線l為相交的關(guān)系.

基于以上兩點(diǎn)思考，本題直線與圓的關(guān)系，存在相切與相交兩種情況. 解題則需分別從這兩種情況進(jìn)行分析，如此才能確保解題無(wú)遺漏與正確性.

當(dāng)然，本題作為圓與直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)題，在解決此題的基礎(chǔ)上，為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，深化學(xué)生對(duì)分類討論方法應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，教師還可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式訓(xùn)練.

變式：直線l上的某點(diǎn)P與圓心O的距離為a，已知☉O的半徑長(zhǎng)為r，且a=r，則直線l和☉O之間具有怎樣的位置關(guān)系？

此變式在原題的基礎(chǔ)上稍有變化，其中不僅存在分類討論思想，還蘊(yùn)含著從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的思維隨著問(wèn)題的變化而活躍，解題能力也隨著認(rèn)知的完善而提升.

（四）在條件不確定中的應(yīng)用

解題時(shí)，我們常會(huì)遇到一些條件開(kāi)放性的問(wèn)題，此類問(wèn)題靈活，對(duì)學(xué)生的思維要求較高. 若稍有考慮不周，就會(huì)出現(xiàn)解題遺漏的現(xiàn)象. 一般條件開(kāi)放類問(wèn)題的結(jié)論不唯一，有時(shí)即使考慮周全了，解出所有結(jié)論，但結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際情況，又要舍掉不合理的結(jié)論. 面對(duì)如此復(fù)雜的情況，讓不少學(xué)生感慨：數(shù)學(xué)真難！

其實(shí)，這并不是數(shù)學(xué)難，而是對(duì)思維的要求比較高. 要實(shí)現(xiàn)解題，學(xué)生必須有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，面對(duì)問(wèn)題做到不慌不亂，只要細(xì)致入微地思考到每一種情況，分門(mén)別類地一步步周密分析、求解，獲得結(jié)論后再回歸原題實(shí)際，進(jìn)行代入分析，則可完美地解決問(wèn)題.

例4? 甲、乙二人分別從距離30 km的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，此二人在3小時(shí)后的距離為3 km，再過(guò)2小時(shí)，甲到B地剩下的路程為乙到A地剩下路程的2倍，分別求甲、乙二人的速度.

分析：本題受思維定式的影響，不少學(xué)生將“在3小時(shí)后兩人的距離為3 km”的條件，理所當(dāng)然地認(rèn)為兩人并未相遇，而實(shí)際況卻存在兩人已經(jīng)相遇，背向而行的情況. 因此，本題應(yīng)分以下兩類情況進(jìn)行討論：

（1）3小時(shí)后，甲、乙兩人并未相遇，假設(shè)甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列式為30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30-3.

（2）3小時(shí)后，甲、乙兩人已經(jīng)相遇過(guò)，假設(shè)甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列式為30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30+3.

通過(guò)本題可見(jiàn)，解題不僅要有分類討論意識(shí)，還要有敏銳的觀察力，只有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的存在，才能實(shí)現(xiàn)無(wú)遺漏的解題. 而這種觀察力與分類討論意識(shí)的培養(yǎng)，則需滲透于日常教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié). 學(xué)生在教師有意、無(wú)意的思想滲透下，逐漸形成良好的審題能力與數(shù)學(xué)思想，既為核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，也為形成可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力做好了鋪墊.

（五）在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)教材涉及的一些法則、定理、公式等，都是為了更好地解決生活實(shí)際問(wèn)題所服務(wù). 在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣性地從分類討論的角度去分析，讓學(xué)生在多次、反復(fù)的練習(xí)訓(xùn)練中，感知分類討論思想的實(shí)際價(jià)值：分類討論能讓解題過(guò)程更具條理性，結(jié)論更加完整、準(zhǔn)確.

縱然不使用分類討論，也能解決問(wèn)題，但出錯(cuò)的概率相當(dāng)高. 實(shí)踐證明，分類討論不僅能實(shí)現(xiàn)解題的嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)性，還能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)概括與總結(jié)，尤其是具有一定規(guī)律或內(nèi)部聯(lián)系的知識(shí)，應(yīng)用分類討論則讓知識(shí)的邏輯更加清晰，內(nèi)容更具條理性，使學(xué)生的思維變得更加縝密.

例5? 婚慶公司在周年慶來(lái)臨之際，準(zhǔn)備將之前每對(duì)新人的照片刻錄成光盤(pán)送給客戶. 如果到電腦公司進(jìn)行刻錄，每張光盤(pán)需要交付8元的費(fèi)用;如果公司自己刻錄，需要花120元租賃刻錄機(jī)，然后再支付每張光盤(pán)4元的成本費(fèi). 若你是老板，是去電腦公司刻錄這批光盤(pán)，還是自己租機(jī)器回來(lái)刻錄呢？

解析：選擇哪種方式更劃算，由待刻錄的數(shù)量所決定. 設(shè)待刻錄光盤(pán)的數(shù)量為x，那么送出去需花費(fèi)y=8x元，自己租刻錄機(jī)回來(lái)刻錄的費(fèi)用需要y=4x+120（元）.

至此，就要分三種情況進(jìn)行討論了：①若y>y，8x>4x+120，可解得x>30;②若y=y，8x=4x+120，可解得x=30;③若y<y，8x<4x+120，可解得x<30.

綜上可知，當(dāng)需要刻錄的光盤(pán)數(shù)量為30張時(shí)，自己刻錄與送到電腦公司刻錄所花費(fèi)的金額一樣;當(dāng)刻錄的數(shù)量大于30張時(shí)，自己租機(jī)器回來(lái)刻錄更劃算;當(dāng)刻錄的數(shù)量小于30張時(shí)，送到電腦公司刻錄更劃算.

本題的解題關(guān)鍵是用代數(shù)式列出光盤(pán)刻錄所需要花費(fèi)的金額，通過(guò)對(duì)結(jié)論的類比分析，即可獲得最佳的方案. 顯然在解題過(guò)程中，應(yīng)用了分類討論的方法. 正因?yàn)檫@種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，才讓解題變得清晰、簡(jiǎn)捷.

思考

通過(guò)以上對(duì)分類討論法的分析和對(duì)經(jīng)典例題的應(yīng)用解析，我們應(yīng)明確一旦在解題過(guò)程中遇到條件、結(jié)論等不明確，問(wèn)題中的圖形位置呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化或題中含有參數(shù)等棘手的問(wèn)題時(shí)，可從分類討論的角度去思考與分析，或?qū)⑶蠼獾膯?wèn)題進(jìn)行分割，分門(mén)別類逐個(gè)進(jìn)行研究與探索，如此可幫助學(xué)生理清思路，實(shí)現(xiàn)解題.

作為一線的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分類討論意識(shí). 當(dāng)遇到需要分類討論的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)抓住一切契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，實(shí)施分類討論. 值得注意的是，分類時(shí)要明確標(biāo)準(zhǔn)，一件事物從不同的標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，會(huì)有不同的分類，而所有的分類都應(yīng)是無(wú)重復(fù)、無(wú)遺漏的過(guò)程.

總之，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生多研究、實(shí)踐與探索，讓學(xué)生在潛移默化中形成良好的分類討論意識(shí). 當(dāng)遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生則能夠不假思索地加以應(yīng)用，學(xué)生的思維隨著分類討論思想的應(yīng)用也會(huì)變得更加嚴(yán)謹(jǐn).

參考文獻(xiàn)：

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