杜迎雪，劉衛(wèi)鋒，常 娟

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數學學院，河南 鄭州 450046)

1 引 言

多屬性決策是決策領域的重要組成部分，其理論與方法被廣泛應用于經濟、管理、軍事、工程等諸多領域。在眾多學者提出決策方法中，一些經典的決策方法被廣泛使用和改進推廣。比如1998年Opricovic[1]提出了基于理想點的多準則方法——VIKOR法(VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)，是經典TOPSIS方法的改進。文獻[1]用實例說明了TOPSIS法求得的最優(yōu)解未必是接近理想點的解，而VIKOR方法利用各個備選方案的評價值與理想方案的接近程度來排列方案順序，比TOPSIS法具有更高的排序穩(wěn)定性和可信度。文獻[2]進一步比較了VIKOR方法、TOPSIS法、ELECTRE法和PROMETHEE法，認為在這些方法中，VIKOR方法不僅考慮了正理想方案與負理想方案，而且考慮最大群體效用值和最小化個體遺憾值，從而得到的決策結果相對更為合理。近年來VIKOR方法在方案選擇、合作伙伴選擇、風險評估和績效評估等方面被廣泛使用[3-8]。

隨著現代科技的進步和社會經濟的不斷發(fā)展，人們在實際決策中需要處理的信息越來越模糊復雜化，決策者很難直接給出精確的評價值，因此模糊多屬性決策成為近年來很多學者研究的熱點。1986年Atanassov[9-10]引入了直覺模糊集(IFS)的概念并對其進行研究。直覺模糊集可以同時表達隸屬度和非隸屬度，且它們的和小于等于1，相比傳統(tǒng)模糊集其更適合在實際問題中描述模糊性與不確定性。一些國內外學者將VIKOR方法擴展到直覺模糊環(huán)境下來處理多屬性決策問題，取得了許多研究成果[11-18]。但在處理決策問題過程中，可能出現隸屬度和非隸屬度之和大于1的情況，例如某專家在評價方案屬性時，給出隸屬度為0.7，非隸屬度為0.4，則無法直接用傳統(tǒng)的直覺模糊集來表達。為此，Yager[19-20]在研究了模糊集、區(qū)間值模糊集和直覺模糊集的補運算基礎上，提出了允許隸屬度和非隸屬度之和大于1，但是其平方和不超過1的畢達哥拉斯模糊集，從而擴展了模糊集。在Yager研究的基礎上，不同學者將各種新的方法和理論運用到畢達哥拉斯模糊決策中[21-27]。何霞[25]等將畢達哥拉斯模糊集與三角模糊數相結合，提出了畢達哥拉斯三角模糊數與畢達哥拉斯三角模糊集，并提出了基于畢達哥拉斯三角模糊集成算子的多屬性決策方法。畢達哥拉斯三角模糊集的提出將畢達哥拉斯模糊集由原來的離散集擴展到連續(xù)集合。與直覺三角模糊數相比，畢達哥拉斯三角模糊數更能體現出決策者的偏好，特別是其隸屬度和非隸屬度的條件限制的突破，使決策者在使用畢達哥拉斯三角模糊數表示屬性值時更加方便，也更能體現出決策者的原始判斷。

考慮到VIKOR方法的優(yōu)點和畢達哥拉斯三角模糊數更符合決策實際的特點，在上述研究的基礎上，本文將VIKOR方法推廣到畢達哥拉斯三角模糊數決策環(huán)境中，提出畢達哥拉斯三角模糊VIKOR方法。具體研究內容安排如下：首先，回顧畢達哥拉斯模糊集及畢達哥拉斯三角模糊集等概念，為進一步研究做好鋪墊；其次，為了提出VIKOR方法，給出畢達哥拉斯三角模糊數距離的定義，并將該距離公式推廣到畢達哥拉斯三角模糊集，給出畢達哥拉斯三角模糊集距離以及符合決策實際的畢達哥拉斯三角模糊集加權距離(Hamming距離)等概念；再次，將VIKOR方法與畢達哥拉斯三角模糊集相結合，提出屬性值為畢達哥拉斯三角模糊多屬性決策VIKOR方法，并給出具體決策步驟；最后通過實例分析折衷參數對折衷解的影響，驗證了該方法的有效性。

2 基本概念

3畢達哥拉斯三角模糊數距離

故三角不等式成立。

下面將畢達哥拉斯三角模糊數之間的距離，推廣到畢達哥拉斯三角模糊集。

易證上述距離定義滿足非負性、對稱性和三角不等式性。

同樣容易證明定義9滿足距離的三個公理，特別當定義9中所有權重都相等時，退化為定義8中一般距離。若上述距離定義中畢達哥拉斯三角模糊數都為規(guī)范畢達哥拉斯三角模糊數時，易證上述距離都介于0與1之間。

4 畢達哥拉斯三角模糊型VIKOR方法步驟

在選擇理想方案時，由于每個屬性值為畢達哥拉斯三角模糊數，那么最大滿意度越大或者最小不滿意度越小時，說明對該方案越滿意，評分值也就越大越好；反之，若最大滿意度小于最小不滿意度時，說明對該屬性不是很滿意，當然評價值越小越好。由此，下面給出正理想方案與負理想方案的定義。

下面給出基于畢達哥拉斯三角模糊信息下VIKOR決策方法，步驟如下。

參數v取值在0與1之間，v>0.5時，說明專家傾向于按群體效用值進行決策；而v<0.5時，專家傾向于按個體遺憾值進行決策。v=0.5時，表示根據均衡方式進行排序。顯然Si越小，Qi越小，Ri越小，Qi也越??；Si越大，Qi越大，Ri越大，Qi也越大。Qi在0與1之間。顯然Si≤Sj;Ri≤Rj時，一定有Qi≤Qj。

步驟7：計算折衷解。

下面對Qi從小到大排序：Q(1)≤Q(2)≤…≤Q(m)。同時也根據Si，Ri的大小，從小到大排序。下面根據Qi討論折衷解：首先計算Q(2)-Q(1)，

ⅰ)α(1)在群體效用值排列中或個體遺憾值排列中為第一的，則x(1)最優(yōu)解。

ⅱ)α(1)在群體效用值排列中或個體遺憾值排列中不為第一，則x(1),x(2)為折衷解。

以上決策方法首先從各個備選方案中選出正理想與負理想方案，再通過各個備選方案與理想方案的接近程度計算出群體效用值。其次計算出每個方案的個體遺憾值，最后通過折衷解進行方案排序，從而選擇出一個可以被決策者接受的折衷方案。該方法不僅考慮了正理想方案與負理想方案，而且考慮了最大群體效用值和最小化個體遺憾值，從而得到一個相對更為合理的決策結果，此方法比TOPSIS法具有更高的排序穩(wěn)定性和可信度。但VIKOR方法通過折衷值在求折衷解時，若決策者決策態(tài)度不同，則態(tài)度系數不同，這樣可能會得到不同的折衷方案。因此用該方法進行多屬性決策時，需要考慮決策者的態(tài)度。 折衷參數描述了最大群體效用和最小個體遺憾之間的妥協(xié)，其變化表達了決策者的不同主觀偏好，提高了決策的靈活性與可用性。參數不同，選擇也可能不同，此為其優(yōu)點也為其缺點。

5 實例分析

某鐵路分局為了開拓國際市場，技術部需要聘請一位海外技術經理。經初步篩選，有4個備選候選人記為X=(x1,x2,x3,x4)。為了對他們進行全方位的評估，公司對每個候選人從4個方面進行評估，分別為：創(chuàng)新水平c1，流量控制能力c2，管理能力c3，服務水平c4。假設每個屬性的總分是10分，利用統(tǒng)計方法，計算出候選人在各屬性下的得分，見下表1，如<(5,7,9),0.7,0.3>表示候選人x1相對于屬性c2為7，且最大滿意度為0.7，最小不滿意度為0.3。假設各個屬性的權重分別為ω1=0.4,ω2=0.3,ω3=0.2,ω4=0.1。根據專家提供的畢達哥拉斯三角模糊決策矩陣，評價出最佳候選人。

步驟1：決策小組建立畢達哥拉斯三角模糊決策矩陣，見表1。

步驟2：由于4個屬性均為效益型屬性，因此將其規(guī)范化見表2。

表1 畢達哥拉斯三角模糊決策矩陣

表2 畢達哥拉斯三角模糊規(guī)范矩陣

0.9,0.2>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>,<(0.8,

0.9,1),0.9,0.1>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>}

步驟4：根據屬性集C={c1,c2,c3,c4}上的權重，及三角畢達哥拉斯模糊數之間的距離，分別計算出每個方案的群體效用值。

S2=0.396+0+0.065+0.040=0.501;

S3=0+0.234+0.186+0.036=0.456;

S4=0.016+0.225+0.186+0.036=0.526。

顯然S3

R1=0.244,R2=0.396,R3=0.234,R4=0.225。

顯然R4

S*=min{Si}=0.456,S-=max{Si}=0.526,R*=min{Ri}=0.225,R-=max{Ri}=0.396。

Q2=v0.643+1-v，Q3=(1-v)0.053，Q4=v。

當態(tài)度參數v=0.5時可得：Q1=0.506,Q2=0.822,Q3=0.027,Q4=0.5。

顯然排序為Q3

步驟7：計算折衷解。

步驟8：敏感度分析。

在實際決策中，專家可能會有不同的決策態(tài)度，態(tài)度系數取不同的值時，可能會得到不同的折衷方案。態(tài)度參數取值在0與1之間，下面我們分析不同態(tài)度參數對折衷解的影響。

表3 折衷參數對方案排序的影響

從表3可以看出折衷參數對結果的影響。當參數分別取0，0.1,0.3時，即專家考慮較多個體遺憾時，方案為x1,x3,x4；而折衷參數取0.5時，即專家認為群體效用和個體遺憾值同等重要時，折衷方案為x3；折衷參數取0.7,0.9,1時，即專家考慮較多群體效用時，折衷方案仍為x3。整體來看，候選人x3是最佳的，只是專家有不同的決策態(tài)度時，折衷解會有一些不同。由此可見，折衷參數v描述了最大群體效用和最小個體遺憾之間的妥協(xié)，v的變化表達專家不同主觀偏好，這提高了決策的靈活性與可用性。

為了說明本文所提方法的有效性，將該方法與其他方法所得的結果進行比較。若我們僅考慮各方案與正理想之間的距離，利用定義9計算出來的排序結果為x3x1x4x2；若僅考慮各方案與負理想之間的距離，則排序結果為x3x1x4x2；若正負理想同時考慮，利用TOPSIS法計算出來的排序結果為x3x1x4x2。若用參考文獻[25]中PTFWA算子計算，方案排序結果為x3x4x1x2，與VIKOR方法專家態(tài)度參數為0.1時排序結果相同。從幾種決策方法結果可以看出，上述幾種方法一致認為x3為最佳候選人。VIKOR方法從專家態(tài)度不同的角度考慮得到折衷結果,從而說明該方法的全面性及靈活性。

6 結 語

本文將畢達哥拉斯三角模糊與VIKOR法相結合，討論了畢達哥拉斯三角模糊多屬性決策問題。在定義畢達哥拉斯三角模糊數的距離、畢達哥拉斯三角模糊集的距離和畢達哥拉斯三角模糊集加權距離(Hamming距離)等的基礎上，提出了基于畢達哥拉斯三角模糊VIKOR多屬性決策的方法與步驟，并通過分析決策實例說明該方法的有效性。最后討論了折衷參數敏感度分析及折衷方案的對比，充分體現了該方法的優(yōu)越性，具有較好的理論意義與實用價值。