羅 成 ，張昆侖 ，王 瀅

（1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756）

永磁電動(dòng)懸浮原理為利用永磁體與非磁性導(dǎo)體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)體中感生渦流，該渦流與空間磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生所需的懸浮力.該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能實(shí)現(xiàn)自穩(wěn).但永磁電動(dòng)懸浮由于自身的欠阻尼特性，使得系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)時(shí)易產(chǎn)生振動(dòng)，且較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不能穩(wěn)定，嚴(yán)重情況下甚至發(fā)生安全事故[1-3].

對(duì)于永磁電動(dòng)懸浮穩(wěn)定性的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要通過(guò)增加系統(tǒng)無(wú)源阻尼或有源阻尼的方式提高系統(tǒng)懸浮穩(wěn)定性.鄭杰通過(guò)解析法證明了在線圈式永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)中添加無(wú)源阻尼線圈可增加系統(tǒng)阻尼，但線圈軌道的等效電路計(jì)算模型不適用于電感難以計(jì)算的導(dǎo)體板軌道[4].文獻(xiàn)[5-6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)直接測(cè)量了添加無(wú)源阻尼板后的永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)電磁阻尼值，并根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)阻尼進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[7-8]提出將電磁鐵Halbach陣列與永磁體Halbach陣列同時(shí)并行安裝于車體，通過(guò)電磁鐵對(duì)EDS （electrodynamic suspension）系統(tǒng)懸浮力進(jìn)行調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)阻尼主動(dòng)控制.但電磁鐵與永磁體之間存在磁場(chǎng)耦合，空間磁場(chǎng)難以準(zhǔn)確計(jì)算.Han等[9]提出了一種電磁永磁間隔排列構(gòu)成的混合磁陣列，其通過(guò)電磁鐵可對(duì)空間磁場(chǎng)及電磁力進(jìn)行主動(dòng)控制，但存在線圈安匝數(shù)過(guò)大且較難得到精確的解析計(jì)算結(jié)果.文獻(xiàn)[10-12]研究了一種電磁EMS （electromagnetic suspension）和永磁EDS混合磁懸浮系統(tǒng).其通過(guò)永磁EDS提供懸浮力的同時(shí)，利用電磁EMS對(duì)懸浮力進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，達(dá)到系統(tǒng)阻尼主動(dòng)控制的效果，但該混合磁浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及電磁EMS的控制系統(tǒng)都較為復(fù)雜.

基于以上研究，本文對(duì)一種永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制進(jìn)行了研究.首先利用電磁場(chǎng)理論推導(dǎo)出系統(tǒng)懸浮力2D解析式，并對(duì)其進(jìn)行了有限元驗(yàn)證；其次設(shè)計(jì)了基于氣隙反饋的PID控制器；最后基于所設(shè)計(jì)的控制器，仿真分析了系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)懸浮性能，證明了所設(shè)計(jì)的懸浮控制器可使系統(tǒng)快速實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定.

1 懸浮力計(jì)算

本文所研究的永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮示意見(jiàn)圖1.圖中：lm為永磁體長(zhǎng)度；h為永磁體高度； δ 為線圈所占寬度；w1及w2分別為永磁體和導(dǎo)體板橫向?qū)挾?；l1及l(fā)2分別為陣列和非磁性導(dǎo)體板長(zhǎng)度；τ為極距；v為相對(duì)速度.為方便陣列模塊制造，設(shè)h=lm+ 2δ.

圖1 永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮示意Fig.1 Diagram of PM and electromagnet hybrid Halbach array EDS system

1.1 解析計(jì)算

如圖1所示，由于永磁電磁混合Halbach陣列產(chǎn)生的源磁場(chǎng)含有端部效應(yīng)和氣隙諧波的影響，故需對(duì)其進(jìn)行傅里葉分解，如式（1）.

式中：Bsx(x,y)、Bsy(x,y)分別為永磁電磁混合Halbach陣列源磁場(chǎng)傅里葉分解后的x、y分量磁場(chǎng)；Q為諧波次數(shù)；ξ=2πq/l2；Sx、Sy為傅里葉系數(shù)，如式（2）.

式中：Bsx（x,0）、Bsy（x,0）分別為永磁電磁混合 Halbach陣列在非磁性導(dǎo)體板上表面產(chǎn)生的x、y分量源磁場(chǎng)，由混合陣列永磁體及表面線圈在外部空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行疊加所得，具體解析表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[13-14].

當(dāng)車載混合Halbach陣列以相對(duì)速度v運(yùn)動(dòng)切割非磁性導(dǎo)體板時(shí)，在導(dǎo)體板中感生渦流大小[15]為

式中：γ2為非磁性導(dǎo)體板電導(dǎo)率.

利用麥克斯韋方程組及洛倫茲規(guī)范，可推導(dǎo)出系統(tǒng)矢量磁位A的方程[16]為

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Js為感生渦流矢量； ?2為拉普拉斯算子；ki為傳播函數(shù)[16]，且滿足式（5）條件.

式中：ω為角頻率（ω=-ξv）；γi為氣隙電導(dǎo)率（i=1,3）；ε0為真空介電常數(shù).

由于二維解析模型中，矢量磁位A和Js僅含有z方向分量.因此，根據(jù)式（4），可得到各區(qū)域矢量磁位標(biāo)量為

式中：Aiz為各區(qū)域矢量磁位z方向分量.

利用分離變量法求得式（6）的通解后，根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]所得磁場(chǎng)邊界條件求得各區(qū)域矢量磁位.然后由B=▽ ×A可得各區(qū)域感生磁場(chǎng)為（i= 1, 2, 3）

將源磁場(chǎng)與感生磁場(chǎng)求和，可得空間各區(qū)域磁場(chǎng)為（i= 1, 2, 3）

根據(jù)麥克斯韋張量法，可求得懸浮力[17-19]為

1.2 有限元數(shù)值計(jì)算

本文采用Ansys Maxwell有限元軟件搭建數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)推導(dǎo)的永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng)懸浮力2D解析表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.得到的有限元模型如圖2所示.

圖2 2D有限元模型Fig.2 2D FEM

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

不同運(yùn)行速度下，懸浮力解析計(jì)算與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖3所示.從圖中可以看出，懸浮力解析解與有限元數(shù)值解吻合良好，驗(yàn)證了懸浮力解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性.

圖3 懸浮力隨運(yùn)行速度的變化曲線Fig.3 Variation curve of suspension force with running speed

2 懸浮控制器的設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

當(dāng)永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行于平衡點(diǎn)（初始額定電流J0=0，初始額定氣隙g0=30 mm，其他參數(shù)見(jiàn)表1）時(shí)，懸浮力等于車體重量，即

式中：F0為平衡點(diǎn)處懸浮力；G為車體重量.

當(dāng)系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)力作用時(shí)，以垂直向上為參考正方向，可得系統(tǒng)垂向動(dòng)力學(xué)方程為

式中：Fd為外界擾動(dòng)力.

由于式（11）為氣隙和電流的非線性方程，故需對(duì)式（11）在平衡點(diǎn)（g0,J0）處進(jìn)行線性化處理.

對(duì)式（9）懸浮力在平衡點(diǎn)處泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略高階項(xiàng)，得

式中：Δg為氣隙變化量；ΔJ為電流變化量；kg、kJ如式（13）.

將式（10）和式（12）代入式（11），且結(jié)合 Δg=gg0，可得到系統(tǒng)近似線性化數(shù)學(xué)模型[20-22]，如式（14）.

式中：kg、kJ及車體質(zhì)量m可根據(jù)J0=0，g0=30 mm及表1參數(shù)求得.

2.2 定氣隙PID控制器

氣隙反饋懸浮控制器的反饋輸入量?jī)H為懸浮氣隙，可通過(guò)氣隙傳感器實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)得到.設(shè)ΔJ=其中：kP、kI、kD分別為比例、積分、微分控制參數(shù).結(jié)合式（14），選擇狀態(tài)變量為可得系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程為

由系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程可得其特征方程為

利用極點(diǎn)配置法，規(guī)定超調(diào)量不超過(guò)0.05，調(diào)整時(shí)間不超過(guò)0.1 s，可以求得期望特征方程為[2,22]

對(duì)比式（16）和式（17），可以求得kP=1.587 5 ×1011，kI=6.086 8 × 1012，kD=2.174 × 109.

設(shè)計(jì)的定氣隙PID控制仿真如圖4所示.

圖4 定氣隙PID控制仿真框圖Fig.4 Simulation block diagram of fixed air gap PID control

2.3 變氣隙PID控制器

定氣隙PID控制器可使系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)時(shí)穩(wěn)定運(yùn)行于額定氣隙位置，但同時(shí)電磁鐵線圈需通入一定電流來(lái)抵消外界擾動(dòng).因此，該方法對(duì)于散熱較困難的永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng)存在局限性.對(duì)于懸浮氣隙較大的電動(dòng)懸浮系統(tǒng)，可考慮通過(guò)改變懸浮氣隙大小來(lái)抵消外界擾動(dòng)，使得穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的電流為0.因此，本文在定氣隙PID控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了變氣隙PID控制器.

設(shè)計(jì)的變氣隙PID控制仿真如圖5.根據(jù)外界擾動(dòng)力的變化在仿真模型中加入一函數(shù)模塊，用以計(jì)算出跟隨外界擾動(dòng)力變化的初始?xì)庀蹲兓喀0，用g0加上Δg0后作為新的額定氣隙，將其輸入PID函數(shù)模塊重新計(jì)算出相應(yīng)的PID控制參數(shù).

圖5 變氣隙PID控制仿真框圖Fig.5 Simulation block diagram of variable air gap PID control

3 仿真分析

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行速度為200 km/h時(shí)，對(duì)以下3種工況分別進(jìn)行仿真分析：1）系統(tǒng)受到外界1 000 N擾動(dòng)力干擾，作用時(shí)間為 0.3～0.7 s；2）系統(tǒng)受到外界 -1 000 N擾動(dòng)力干擾，作用時(shí)間為0.3～0.7 s；3）系統(tǒng)受到軌道1 mm沉降干擾，作用時(shí)間為0.3～0.7 s.

3.1 定氣隙PID控制

通過(guò)設(shè)計(jì)的定氣隙PID控制器，得到系統(tǒng)懸浮氣隙及線圈電流密度仿真波形如圖6所示.由圖可見(jiàn)：當(dāng)系統(tǒng)受到 ±1 000 N外界擾動(dòng)力作用時(shí)，系統(tǒng)能夠迅速穩(wěn)定運(yùn)行于30 mm額定氣隙，且穩(wěn)定線圈電流分別為2.12 A/mm2和-2.17 A/mm2；當(dāng)系統(tǒng)受到軌道1 mm沉降干擾時(shí)，系統(tǒng)也會(huì)迅速穩(wěn)定于額定氣隙30 mm處，且穩(wěn)定線圈電流為0.

圖6 懸浮氣隙及線圈電流密度Fig.6 Suspension air gap and coil current density

3.2 變氣隙控制

通過(guò)設(shè)計(jì)的變氣隙PID控制器得到系統(tǒng)懸浮氣隙及線圈電流密度仿真波形如圖7所示.由圖可見(jiàn)：在系統(tǒng)受到軌道1 mm沉降干擾時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)與定氣隙PID控制一致，能迅速穩(wěn)定于額定氣隙30 mm，且穩(wěn)態(tài)線圈電流仍為0； 當(dāng)系統(tǒng)受到±1 000 N外界擾動(dòng)力作用時(shí)，穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下，系統(tǒng)線圈電流為0，此時(shí)系統(tǒng)懸浮于28.5 mm及31.6 mm位置.相比于通過(guò)線圈電流來(lái)抵消外界擾動(dòng)力的定氣隙PID控制，變氣隙PID控制則是通過(guò)改變懸浮氣隙以產(chǎn)生能夠與外界擾動(dòng)力和車體重量平衡的懸浮力，大大減小了能耗與發(fā)熱.尤其對(duì)于永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng)，存在散熱較困難的問(wèn)題，變氣隙PID控制顯得更為適用.

圖7 懸浮氣隙及線圈電流密度(變氣隙)Fig.7 Suspension air gap and coil current density (variable air gap )

4 結(jié) 論

本文基于永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮2D懸浮力解析式，設(shè)計(jì)了兩種PID懸浮控制器，并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，得到以下結(jié)論：

1） 通過(guò)設(shè)計(jì)的兩種PID控制器，系統(tǒng)在受到外界擾動(dòng)時(shí)，均能實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)快速穩(wěn)定，可解決永磁電動(dòng)懸浮因欠阻尼特性導(dǎo)致懸浮穩(wěn)定性差的問(wèn)題.

2） 當(dāng)系統(tǒng)在受到 ±1 000 N外界擾動(dòng)力作用時(shí)，定氣隙PID控制可使系統(tǒng)穩(wěn)定于額定氣隙30 mm位置，但線圈需分別通入2.12 A/mm2和 -2.17 A/mm2穩(wěn)態(tài)電流以抵消外界擾動(dòng)力的影響.而變氣隙PID控制則使系統(tǒng)分別穩(wěn)定懸浮于28.5 mm及31.6 mm位置，且穩(wěn)態(tài)線圈電流為0.

3） 相比于定氣隙PID控制，變氣隙PID控制可有效降低線圈能耗和發(fā)熱，更適用于發(fā)熱較困難的永磁電磁混合Halbach陣列電動(dòng)懸浮系統(tǒng).