胡余生 ，李立毅 ，郭偉林 ，李 欣

（1.哈爾濱工業(yè)大學電氣工程學院，黑龍江 哈爾濱 150000；2.珠海格力電器股份有限公司，廣東 珠海 519000）

磁懸浮軸承的支承特性是影響磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素.磁懸浮軸承剛度越高，抗擾動的能力越強[1]，為了確保轉子高精度懸浮，支承剛度要求最大化設計[2].但同時，磁懸浮軸承的支承剛度會影響轉子的臨界轉速與振動模態(tài)，剛體模態(tài)頻率受磁懸浮軸承支承剛度的影響尤為明顯[3-6].磁懸浮制冷離心壓縮機運行頻率范圍寬，軸承支承剛度設計過高時，易導致轉子剛體模態(tài)頻率與運行頻率接近，引起轉子共振，因此，支承剛度的設計應同時滿足抗干擾性能及剛體模態(tài)頻率的要求.

目前磁懸浮軸承支承特性影響因素多側重于分析控制器參數的影響[7-8].磁懸浮軸承的結構優(yōu)化多以承載力為目標，忽略磁飽和、漏磁等影響時，提高承載力的結構參數一般也可以提高支承剛度，但目前多從幾何尺寸角度[9-11]或磁飽和角度[12-13]實現承載力優(yōu)化，此時軸承已工作在非線性區(qū)，支承特性反而可能變差，需結合實際特性進行分析.本文將重點從結構角度進行支承剛度優(yōu)化研究，提出高剛度磁懸浮軸承設計方法，并通過有限元仿真及實驗驗證所設計軸承的可行性，為工程應用中的磁懸浮軸承剛度優(yōu)化設計提供參考.

1 軸承支承剛度分析

1.1 支承剛度解析

主動式磁懸浮軸承一般有n個齒部（n為磁極數），極性相反的相鄰齒部形成磁回路，將軸承分為4相，單相中通入電流，承載力分解如圖1（a），每個磁極產生的電磁力合成即可得到單相的承載力，每個磁回路可簡化為圖1（b）所示模型.圖中：f0為軸承單磁極承載力；fx1為軸承單相承載力；A0為磁路橫截面積；As為定子磁路橫截面積；Ar為轉子磁路橫截面積；i為繞組電流；x0為氣隙長度.

圖1 磁力軸承出力模型Fig.1 Capacity model of magnetic bearing

忽略漏磁、鐵心磁阻、磁飽和和材料非線性等，磁力軸承單磁極承載力為

式中：Φ0c為理想氣隙磁通；μ0為空氣磁導率；N為繞組匝數；λ為承載力結構系數， λ =μ0N2A0.

制冷壓縮機散熱效果好，鐵心磁密設計更高，此時軸承鐵心磁阻對承載力的影響增加，尤其對于大尺寸軸承鐵心，雖然鐵心中磁導率遠大于氣隙磁導率，但鐵心中磁路平均長度也遠大于氣隙大小.根據磁阻計算公式，鐵心中磁路平均長度越大、磁導率越小，鐵心總磁阻越大，對承載力計算結果的影響也越大.

在忽略漏磁時，可以得到考慮鐵心磁阻時的磁通Φ0c，如式（2）所示.

式中：Rc為鐵心總磁阻；Rs、Rr、R0分別為定子鐵心、轉子鐵心、氣隙的磁阻；λR=Rc/R0，為相對磁阻系數；μt、μy、μr分別為定子鐵心齒部、軛部和轉子鐵芯的磁導率；lt、ly、lr分別為定子鐵心齒部、軛部和轉子鐵芯的平均長度；At、Ay分別為定子鐵心齒部、軛部的磁路橫截面積.

考慮鐵心阻抗得到的軸承承載力為

式中：λf為承載力磁阻影響系數.

因此，在鐵心磁阻較小時，鐵心磁阻對承載力計算影響極小，如λR≤ 0.01 時，λf≥ 0.98，此時鐵心磁阻對承載力計算影響可忽略；但當鐵心磁阻較大時，其對承載力的影響不可忽略.因此，對于尺寸較大或磁密接近飽和的徑向主動式磁懸浮軸承，鐵心磁阻對承載力會有較大影響，在電磁分析中不可忽略.

根據承載力分解圖，考慮鐵心磁阻及軸承出力分解，軸承單相承載力fx1如式（5）所示.

式中： λn為承載力磁極分布影響系數.

在差動控制下，軸承磁力為

式中：i0為偏置電流；xb為軸承位移；ib為控制電流.

將式（6）線性化為

式中：kx為軸承的位移剛度；ki為電流剛度.

對于磁懸浮剛性轉子四自由度系統(tǒng)，以轉子質心Or為坐標原點，轉子軸線為Oz軸，垂直逆時針45° 方向為Oy軸，水平逆時針 45° 方向為Ox軸，建立笛卡爾直角坐標系，如圖2 所示.圖中：fb1x（fb2x）、fb1y（fb2y）分別為左（右）徑向磁懸浮軸承在x、y方向受到的電磁力；lb1、lb2分別為左、右端磁軸承距Or的距離；ls1、ls2分別為左、右端傳感器距Or的距離；xr、yr分別為Or在x、y方向的位移；θx、θy、θr分別為轉子在yz、xz、xy平面內的轉角.

圖2 四自由度磁懸浮轉子系統(tǒng)Fig.2 Magnetic suspension rotor system with 4 degree-of-freedom

由式（8）可計算得到左（右）徑向磁懸浮軸承在x、y方向的位移剛度kxb1x（kxb2x）、kxb1y（kxb2y），左（右）徑向磁懸浮軸承在x、y方向的電流剛度kib1x（kib2x）、kib1y（kib2y）.

磁懸浮軸承支承承載力矩陣為

傳感器和軸承并不是安裝在同一位置，因此，

式中：xs=(xs1,xs2,ys1,ys2)T，為傳感器檢測位移矩陣，xs1（xs2）、ys1（ys2）分別為左（右）端傳感器檢測x、y方向的位移；K為傳感器檢測位移系數矩陣，如式（11）所示.

控制器采用PID控制，采用拉普拉斯變換表示為

式中：Ib(s) 、Xs(s) 分別為ib、xs的拉普拉斯變換；GPID(s)為軸承控制器的PID控制函數；KP=diag(KPb1x,KPb2x,KPb1y,KPb2y)，為比例系數矩陣，KPb1x（KPb2x）、KPb1y（KPb2y）分別為左（右）徑向磁懸浮軸承在x、y方向的比例系數；KI= diag(KIb1x,KIb2x,KIb1y,KIb2y)，為積分系數矩陣，KIb1x（KIb2x）、KIb1y（KIb2y）分別為左（右）徑向磁懸浮軸承處x、y方向的積分系數；KD= diag（KDb1x,KDb2x,KDb1y,KDb2y），為微分系數矩陣，KDb1x（KDb2x）、KDb1y（KDb2y）分別為左（右）徑向磁懸浮軸承在x、y方向的微分系數.

式（9）的復頻域形式為

式中：Fb(s)、Xb(s)分別為fb、xb的拉普拉斯變換.

將磁懸浮軸承出力等效為彈性支承系統(tǒng)，則磁懸浮軸承出力可表示為

式中：kb為等效支承剛度；cb為等效支承阻尼.

式（13）轉換為時域形式后，與式（14）對比得到

式中：ω為頻率.

因此，轉子結構一定時，軸承的等效支承剛度由軸承結構、偏置電流和控制參數共同確定.

1.2 影響因素分析

對于制冷壓縮機，支承剛度需計入軸承鐵心磁阻的影響.根據式（15），以左側徑向軸承x方向為例，支承剛度為

式中：i0b1x為左軸承x方向的偏置電流；x01為左軸承x方向的氣隙.

對于磁懸浮制冷壓縮機，出于客戶應用需求及成本考慮，在滿足性能要求的情況下，要求盡可能減小壓縮機體積，因此，磁懸浮軸承結構設計中也有較嚴格的體積限制.可以看出，從結構角度，在軸承定轉子外徑、厚度一定的條件下，支承剛度主要受氣隙、繞組匝數、磁極面積及磁極數目的影響.下面分別分析各結構參數對支承剛度的影響.

1） 磁極數

在磁極分布不同時，保證總的磁極面積Atotal一定，則滿足

支承剛度隨磁極數變化的關系曲線如圖3所示.

圖3 支承剛度隨磁極的變化Fig.3 Relationship between support stiffness and number of poles

磁極數n越小，λ與λn乘積越大，則支承剛度越大.由于磁極數目一般為4的整數倍，而4極結構在兩個徑向方向的耦合嚴重，因此，在滿足其他條件的情況下，優(yōu)選8極結構.

2） 氣隙

支承剛度隨氣隙變化的關系曲線如圖4所示.

圖4 支承剛度隨氣隙的變化Fig.4 Relationship between support stiffness and air gap

由圖4可以看出，支承剛度隨氣隙先增大后減小.

不考慮鐵心磁阻的影響，即λf= 1，當即時，支承剛度值最大，此時由于支承剛度值最大所對應氣隙值較小，因此可認為需減小氣隙以提高支承剛度.

而考慮磁阻影響，即計入λf后，減小氣隙時，定子齒部、定子軛部、轉子鐵心磁阻增加，氣隙磁阻減小，λf減小，支承剛度反而可能減小.同時，受限于加工、裝配可行性及運行可靠性等因素，氣隙不宜設計過小，因此，從氣隙角度進行軸承剛度優(yōu)化設計效果不佳.

3） 繞組匝數

支承剛度隨繞組匝數變化的關系曲線如圖5所示.

圖5 支承剛度隨匝數的變化Fig.5 Relationship between support stiffness and number of turns

不考慮鐵心磁阻的影響，即λf= 1時，支承剛度與繞組匝數的平方成正比關系，當N＞ 0時，支承剛度隨著繞組匝數N增大而增大.

而考慮磁阻影響，即計入λf后，鐵心結構尺寸一定時，增加繞組匝數會導致定子齒部、定子軛部、轉子鐵心磁阻增加，氣隙磁阻不變，λf減小，支承剛度先增加后減小.同時，增加繞組匝數會導致槽滿率提高，提高制作難度，因此，從繞組匝數角度進行軸承剛度優(yōu)化設計效果同樣不佳.

4） 磁極面積

支承剛度隨磁極面積變化的關系曲線如圖6所示.

圖6 支承剛度隨磁極面積的變化Fig.6 Relationship between support stiffness and magnetic pole area

支承剛度與磁極面積成正比關系，支承剛度隨著磁極面積增大而增大.一定范圍內增大磁極面積對鐵心磁阻的影響較小，可有效提高軸承支承剛度.

常規(guī)磁懸浮軸承設計時，一般取齒部、軛部面積相等，此時增大磁極面積會導致線圈腔面積減小，相同繞組匝數的情況下槽滿率明顯提高，難以滿足制作工藝需求.同時，對于整體式軸承，定子磁極間存在漏磁，其磁力線分布如圖7所示.齒部、軛部面積相等時， 齒部磁密高于軛部磁密，使得軛部材料利用率不高.

圖7 等磁路面積結構下磁力線分布Fig.7 Distribution of magnetic force line with equal magnetic circuit area structure

因此，可采用不等磁路面積結構，即增加齒部面積的同時減小軛部面積，通過齒軛寬度的合理設計，保證了線圈腔面積和槽滿率不變，定子齒部磁阻減小，軛部磁阻增加，轉子和氣隙磁阻不變，λf基本不變，達到軸承整體磁飽和程度不變的同時提高支承剛度的效果.

由上述分析可知：在軸承外形尺寸不變的情況下，從軸承結構設計角度，可通過減小氣隙大小、增加繞組匝數、增大磁極面積（齒部面積）、減少磁極數目來提高軸承的支承剛度.但考慮磁阻影響及工藝性要求，針對磁懸浮制冷壓縮機，磁懸浮軸承優(yōu)選8極結構，且在外形尺寸一定的條件下，考慮采用不等磁路面積結構優(yōu)化設計磁軸承支承剛度.

2 支承剛度設計方法研究

基于上述分析，從不等磁路面積結構角度進行支承剛度優(yōu)化設計研究，提出一種針對于制冷離心壓縮機的高剛度磁懸浮軸承設計方法，結合制冷離心壓縮機的特點，明確支承剛度設計準則為：確保離心壓縮機工況運行時轉子不發(fā)生共振，且能高精度懸?。ㄖС袆偠缺M可能大），其設計流程如圖8所示.圖中：kb、kb1分別為軸承設計支承剛度和滿足剛體模態(tài)頻率隔離裕度極限值時對應的支承剛度.首先，基于壓縮機運行頻率和隔離裕度要求，確定支承剛度設計范圍；然后，考慮鐵心磁阻影響，優(yōu)選從磁極面積角度設計成不等磁路面積結構實現支承剛度優(yōu)化；最后，比較支承剛度設計范圍和優(yōu)化最大值，確定齒軛寬度比最優(yōu)尺寸參數.

圖8 支承剛度設計方法Fig.8 Design method for magnetic bearing stiffness

2.1 支承剛度設計范圍確定

磁懸浮剛性轉子四自由度系統(tǒng)運動方程為

式中：轉子質心位移矩陣xr、質量矩陣M、陀螺矩陣C、承載力系數矩陣A、干擾力矩陣fd分別為

其中：m為轉子質量；Jd為繞質量中心的截面慣性矩；Jp為繞質量中心的極慣性矩；ωr為轉子的旋轉角速度；fx、fy為作用在質心處向x、y方向的外擾力（重力、不平衡力、沖擊力等）；Mx、My分別為相對于質心處繞x、y軸的外擾力矩.

根據圖2軸承轉子與質心位置的幾何關系，可以得到

式中：B為磁軸承位移系數矩陣，如式（20）所示.

將式（14）、（19）代入式（18）得到

由式（21）可得到固有頻率矩陣ωn滿足

為保證轉子在工作轉速下能夠穩(wěn)定運行，要求轉子的固有頻率與工作轉速之間保留一定的隔離裕度，對于剛性轉子應滿足

式中：ωni為剛體模態(tài)頻率；Si為剛體模態(tài)頻率的隔離裕度.

因此，對應得到支承剛度設計應滿足

kb1對應剛體模態(tài)頻率極限值為為最低運行轉速.

對于左（右）軸承x方向的支撐剛度kb1xx、kb2xx與左（右）軸承y方向的支承剛度kb1yy、kb2yy，當kb1xx=kb2xx，kb1yy=kb2yy時，

2.2 不等磁路面積軸承設計

基于前述分析，將采用不等磁路面積結構來優(yōu)化支承剛度.結構參數的改變會影響到λF，當齒軛寬度比過大時，軛部尺寸很小，極易造成飽和，即λF明顯減小，此時支承剛度反而可能減小，因此，要在磁懸浮軸承工作范圍內綜合考慮磁飽和及磁極面積的影響，確定最優(yōu)齒軛寬度比.

為探究磁極寬度對電磁特性的影響，以應用于150 冷噸磁懸浮離心壓縮機的磁懸浮軸承為例， 在相同線圈槽面積時，利用有限元分析，仿真比較齒軛寬度比對軸承電磁性能的影響.

該軸承所支承轉子功率為100 kW，額定轉速為500 Hz，最低運行轉速為325 Hz，根據式（25）計算得到kb1=2.2 × 107N/m，通過有限元仿真，磁懸浮軸承采用差動控制方式，在不同控制電流下的磁密云圖如圖9所示.

圖9 不同控制電流下的磁密分布Fig.9 Distribution of magnetic flux density with different control currents

由圖9可以看出：控制電流增大使得軸承出力方向的磁極磁密增大，飽和程度加深.采用不等磁路面積結構，可明顯減小齒部磁密，同時軛部磁密略有增大但仍未達到飽和.

在計算軸承等效剛度時，控制系統(tǒng)的比例系數Kp= 20 000，電流剛度ki和位移剛度kx取電磁仿真的實際值.

在位移x= 0，控制電流ib= 0附近，支承剛度與齒軛寬度比的關系如圖10所示，隨著齒軛寬度比增加，支承剛度近似線性增加.在x= 0，ib= 4 A附近，支承剛度與齒軛寬度比的關系如圖11所示，增加齒軛寬度比，支承剛度先增加后減小.這是由于在ib=0時，軸承定子磁感應強度較低，對λf基本無影響，增大齒軛寬度比可增加磁極面積，使得軸承支承剛度增加；但在ib= 4 A時，軸承定子磁感應強度較高，增大齒軛寬度比易導致軛部飽和，增大齒部面積的同時會導致λf減小，且減小幅度越來越大，使得支承剛度先增加后減小.

圖10 x = 0，ib = 0時軸承剛度與齒軛寬度比關系Fig.10 Relationship between stiffness and the width ratio of tooth to yoke with x = 0，ib = 0

圖11 x = 0，ib = 4 A時軸承剛度與齒軛寬度比關系Fig.11 Relationship between stiffness and the width ratio of tooth to yoke with x = 0，ib = 4 A

2.3 軸承結構確定

為保證軸承在最惡劣工況下仍可得到更高的支承剛度，在最大控制電流（接近飽和）下，確定滿足支承剛度范圍的最優(yōu)齒軛寬度比.具體規(guī)則為：首先確定最大控制電流下最大支承剛度對應齒軛寬度比，如此齒軛寬度比下的最大支承剛度（未飽和）不超過設計范圍，則該齒軛寬度比即為優(yōu)化結果，如已超過設計范圍，則齒軛寬度比應取設計范圍最大值kb1對應結果.

對于該軸承結構，最優(yōu)齒軛寬度比為1.2，此時軸承在未飽和時最大支承剛度為1.92 × 107N/m，不超過前述分析的支承剛度設計范圍，同時在最惡劣工況即最大控制電流時可得到支承剛度最大值，較等磁路面積提高了25%.

3 轉子固有頻率實驗

分別進行了模態(tài)敲擊實驗和升頻識別實驗，對前述設計軸承的支承剛度進行測量，并驗證轉子的剛體模態(tài)頻率是否滿足壓縮機運行要求.

將轉子裝入前述設計磁懸浮軸承支承的壓縮機中，在轉子上布置多組加速度傳感器，轉子長度為580 mm，轉子質量20 kg，電機轉子外經80 mm，轉子結構及加速度傳感器布置如圖12所示.將轉子靜態(tài)懸浮，用沖擊力錘敲擊轉子，加速度傳感器采集得到轉子響應曲線，曲線峰值對應頻率即為轉子的模態(tài)頻率，得到剛體模態(tài)頻率為207 Hz.前、后徑向軸承結構及控制參數均相同，代入式（22）可以得到此時軸承的支承剛度為1.77 × 107N/m.

圖12 轉子結構及加速度傳感器布置示意Fig.12 Magnetic suspension centrifuge rotor and position of acceleration sensor

將轉子裝入壓縮機后進行升頻，升頻過程中會經過剛體模態(tài)，如果不通過特殊控制方法，會出現軸承位移變差的情況，即軸承位移曲線會出現包絡，如圖13所示為該轉子在壓縮機中升頻過程的位移曲線.圖中位移曲線包絡處對應轉子頻率即為該支承剛度下的轉子剛體模態(tài)頻率，約為196 Hz.代入式（22）可以得到此時軸承的支承剛度為1.68 × 107N/m.

圖13 轉子升頻過程軸承位移曲線Fig.13 Displacement curves of bearing in the process of frequency rise

因此，通過模態(tài)敲擊實驗和升頻識別實驗測得轉子剛體模態(tài)頻率較接近，約為200 Hz，對應軸承支承剛度約為1.7 × 107N/m，與仿真得到支承剛度最大值約10%偏差.這是由于此時控制電流不為0，故而支承剛度略小于控制電流為0時的最大值.

轉子工況運行頻率范圍為325～500 Hz，運行轉速與剛體模態(tài)頻率有60%以上的隔離裕度.因此，采用該轉子結構及支承參數，壓縮機在工況運行區(qū)間可有效避免共振，保證轉子運行穩(wěn)定性.

4 總 結

1） 本文從結構參數角度分析了磁懸浮軸承支承剛度的影響因素，提出不等磁路面積結構以優(yōu)化支承剛度.

2） 針對制冷離心壓縮機運行轉速范圍寬的特點，為保證其不發(fā)生共振并提高抗干擾能力，提出支承剛度設計準則，即在滿足剛體模態(tài)共振隔離裕度的前提下，支承剛度設計應盡可能高.

3） 對應用于150 冷噸磁懸浮離心壓縮機的主動式磁懸浮軸承采用該方法進行剛度優(yōu)化設計，使其在最惡劣工況，即對應最大控制電流的情況下，支承剛度較常規(guī)等磁路面積結構提高了25%.

致謝：廣東省高速節(jié)能電機系統(tǒng)重點實驗室（ACSKL2018KT08）的支持.