顧利娣

[摘? 要] 為了讓學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，文章以“整數(shù)四則混合運(yùn)算”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)）中的一道錯(cuò)題為例，從典型錯(cuò)題解讀、教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐、改進(jìn)實(shí)踐的設(shè)計(jì)意圖、改進(jìn)成效分析等角度來(lái)闡述一道錯(cuò)題的化錯(cuò)過(guò)程。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)量關(guān)系;典型;學(xué)生錯(cuò)題;教學(xué)改進(jìn)

一、典型錯(cuò)題解讀

1. 錯(cuò)題來(lái)源

蘇教版四年級(jí)上冊(cè)第七單元“整數(shù)四則混合運(yùn)算”。

2. 學(xué)生錯(cuò)誤解答

題目：張師傅一共要加工600個(gè)零件，前12天加工了360個(gè)，照這樣計(jì)算，還要加工多少天才能完成？

學(xué)生錯(cuò)解：

①600÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

②600-360÷12

=600-30

=570（天）。

③600-360÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

3. 錯(cuò)題真實(shí)訪談?dòng)涗?/p>

考慮到訪談?wù)鎸?shí)性，當(dāng)學(xué)生完成這道題目的解答后，筆者就有目的地選擇了用不同方法解答的學(xué)生，單獨(dú)進(jìn)行訪談，了解他們當(dāng)時(shí)這樣解答的原因。

師[出示解法1：600÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：這位同學(xué)，你當(dāng)時(shí)為什么這樣做？能說(shuō)給老師聽(tīng)聽(tīng)嗎？

生1：題目告訴我們前12天加工了360個(gè)，我先計(jì)算出一天加工多少個(gè)零件，也就是每天加工360÷12=30（個(gè)）零件。再按照這樣的思路計(jì)算，因?yàn)轭}目說(shuō)張師傅一共要加工600個(gè)零件，所以要加工600÷30=20（天）才能完成。

師：你再讀一讀問(wèn)題，要我們算什么？

生1：要我們計(jì)算還要加工多少天才能完成。（恍然大悟）哦，還要用總天數(shù)減去已經(jīng)做了的12天，所以還要加工20-12=8（天）才能完成。

師[出示解法2：600-360÷12=600-30=570（天）]：這位同學(xué)，你當(dāng)時(shí)為什么這樣做？能說(shuō)給老師聽(tīng)聽(tīng)嗎？

生2：題目告訴我們前12天加工了360個(gè)，我先計(jì)算出一天加工多少個(gè)零件，也就是每天加工360÷12=30（個(gè)）零件。再用一共要加工的600個(gè)零件減去每天加工的個(gè)數(shù)，列式600-30=570（天）。

師（追問(wèn)）：再用一共要加工的600個(gè)零件減去每天加工的個(gè)數(shù)，這個(gè)算出來(lái)是什么？

（生2不說(shuō)話(huà)。）

師[出示解法3：600-360÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：這位同學(xué)，你當(dāng)時(shí)為什么這樣做？能說(shuō)給老師聽(tīng)聽(tīng)嗎？

生3：題目告訴我們前12天加工了360個(gè)，我先計(jì)算出一天加工多少個(gè)零件，也就是每天加工360÷12=30（個(gè)）零件。再算360÷30=12，600÷30=20（天）。

師：那你后面的兩個(gè)算式表示什么意思呢？

（生3不說(shuō)話(huà)。）

4. 錯(cuò)因分析

這是“整數(shù)四則混合運(yùn)算”（蘇教版四年級(jí)上冊(cè)第七單元）中的一道題目，涉及工程問(wèn)題，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，他們已經(jīng)具備了處理工程問(wèn)題相關(guān)的數(shù)量關(guān)系的能力。但是再?gòu)倪@三位學(xué)生的解答和真實(shí)思考過(guò)程來(lái)看，他們主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

從學(xué)生角度來(lái)看，首先是他們讀題能力弱。在訪談中，當(dāng)筆者問(wèn)他們題目中要解決什么問(wèn)題，他們都覺(jué)得這道題目的問(wèn)題是“要加工多少天”。但是當(dāng)筆者再次詢(xún)問(wèn)他們要解決什么問(wèn)題時(shí)，他們仔細(xì)看后才注意到問(wèn)題是“還要加工多少天”?？梢?jiàn)，這些學(xué)生在讀題時(shí)都粗心大意，沒(méi)有理解題目的真實(shí)意思。

其次，學(xué)生不能靈活地運(yùn)用數(shù)量關(guān)系。他們知道這道題目要用到“工作總量÷工作效率=總的工作時(shí)間”這一公式，這一步大多數(shù)學(xué)生都想到而且做對(duì)了，但是在接下來(lái)的幾步就不知道用什么數(shù)量關(guān)系了。還有的學(xué)生生硬地套用公式，無(wú)法解釋為什么要這樣列式。

而且，這些學(xué)生對(duì)答案缺乏估算意識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)。比如生2計(jì)算出的答案是加工600個(gè)零件用570天，這與計(jì)算出的每天加工30個(gè)是矛盾的。

筆者認(rèn)為，當(dāng)一道題目在不同班級(jí)測(cè)試后的錯(cuò)誤率差不多，而且錯(cuò)誤類(lèi)型也大致相同，它就屬于典型的學(xué)生錯(cuò)題。

二、教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐

1. 溫故知新，喚醒經(jīng)驗(yàn)

師：同學(xué)們，回顧一下我們學(xué)過(guò)了哪些主要的數(shù)量關(guān)系？

生（齊）：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，速度×?xí)r間=路程。

師：根據(jù)這三個(gè)數(shù)量關(guān)系，我們還能推導(dǎo)出工作效率、工作時(shí)間、單價(jià)、數(shù)量、速度和時(shí)間的計(jì)算方法，你們知道怎么算嗎？

生（齊）：工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，……

師（出示題目：陳師傅用15天加工600個(gè)零件，每天加工多少個(gè)零件？）：你會(huì)計(jì)算嗎？

生（齊）：工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，所以每天加工600÷15=40（個(gè)）零件。

師（出示題目：陳師傅前15天加工600個(gè)零件，照這樣計(jì)算，6天能加工多少個(gè)零件？）：這道題該怎么解？

生（齊）：我們先算出每天加工多少個(gè)，陳師傅前15天加工600個(gè)零件，每天加工零件600÷15=40（個(gè)）;再算6天能加工多少個(gè)零件，所以6天加工零件40×6=240（個(gè)）。我們也可以用綜合算式600÷15×6=40×6=240（個(gè)）。

師：在沒(méi)有括號(hào)的算式里，只有乘法和除法，我們先算什么再算什么？

生（齊）：只有加減或只有乘除的時(shí)候，只需按從左到右的順序依次計(jì)算。

2. 體會(huì)審題，感受策略

師：（出示題目：張師傅一共要加工600個(gè)零件，前12天加工了360個(gè)，照這樣計(jì)算，還要加工多少天才能完成？）同學(xué)們，我們先來(lái)讀一讀題目，邊讀邊想怎么列式解決。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)題目告訴了我們哪些數(shù)學(xué)信息，要我們解決什么問(wèn)題？

生（齊）：題目告訴我們加工600個(gè)零件，前12天加工360個(gè)，要我們計(jì)算還要加工多少天才能完成。

師：我們知道了題目中的條件和問(wèn)題，你們覺(jué)得問(wèn)題中最關(guān)鍵的是什么字詞，請(qǐng)圈出來(lái)。

生（齊）：最關(guān)鍵的是“還要”，需要用總天數(shù)減去已經(jīng)做的天數(shù)。

師：接下來(lái)大家想一想先算什么再算什么，試著寫(xiě)出算式解決這個(gè)問(wèn)題。

生1：我先根據(jù)“前12天加工360個(gè)”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（個(gè)），再根據(jù)“張師傅一共要加工600個(gè)零件”算出一共要加工的天數(shù)是600÷30=20（天），最后用總天數(shù)20天減去已經(jīng)加工的12天就是還要加工的天數(shù)20-12=8（天）。

師：你能寫(xiě)出綜合算式嗎？

生1：600÷（360÷12）-12=600÷30-12=20-12=8（天）。

生2：我是這樣做的，先根據(jù)“前12天加工360個(gè)”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（個(gè)）。再根據(jù)“一共要加工600個(gè)零件和已經(jīng)加工了360個(gè)”算出還要再加工的零件600-360=240（個(gè)）。最后算出還要加工的天數(shù)是240÷30=8（天）。綜合算式是（600-360）÷（360÷12）=240÷30=8（天）。

3. 舉一反三，建立模型

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用整數(shù)四則混合運(yùn)算去解決問(wèn)題，接下來(lái)你們?cè)僭囋嚱鉀Q這兩道題目。[出示題目：（1）一條公路長(zhǎng)3600米，已經(jīng)修路7天，平均每天修路300米，余下的每天修路500米，還要幾天才能全部修完？（2）星星服裝廠要生產(chǎn)495套服裝，原計(jì)劃11天完成，實(shí)際每天多生產(chǎn)10套，幾天可以完成任務(wù)？]

三、改進(jìn)實(shí)踐的設(shè)計(jì)意圖

1. 進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的審題能力

解決應(yīng)用問(wèn)題的前提在于審題。為了更好地讓學(xué)生知道如何審題，筆者在課堂上做了示范：先一字一句地讀題，在讀題中提取題目中的已知條件和問(wèn)題;再圈出題目中的關(guān)鍵信息或者易被理解錯(cuò)的關(guān)鍵字詞，提醒自己在思考的時(shí)候加以關(guān)注——比如在新授課環(huán)節(jié)中的這道加工零件的題目，有的學(xué)生提到問(wèn)題中的關(guān)鍵字詞是“還要加工”，這就表示要用“總天數(shù)減去已經(jīng)加工的天數(shù)”——這樣的審題就可為解決應(yīng)用問(wèn)題提供思路和方向。

2. 進(jìn)一步清晰學(xué)生的解題思路

解決問(wèn)題是一個(gè)利用數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考的過(guò)程。教師需要通過(guò)問(wèn)題的解決發(fā)展學(xué)生的計(jì)算、推理和幾何直觀等能力，幫助他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使他們具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。在解題過(guò)程中，學(xué)生首先需要在理解基礎(chǔ)上熟記一些數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合具體的題目靈活地選用合適的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生只有經(jīng)歷了這一過(guò)程，才能真正地理解題目，實(shí)現(xiàn)舉一反三。

四、改進(jìn)成效分析

筆者通過(guò)對(duì)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行首次測(cè)試和再次測(cè)試，以及針對(duì)同一年級(jí)不同班級(jí)的相同教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論：

在同一個(gè)班級(jí)中，學(xué)生再次測(cè)試的錯(cuò)誤率與首次測(cè)試相比有較大的降低，首次測(cè)試的錯(cuò)誤率是35%，再次測(cè)試的錯(cuò)誤率是21%。即使是解題錯(cuò)誤的學(xué)生，也并非完全錯(cuò)誤，在訪談中他們也能從數(shù)量關(guān)系的角度解釋自己為什么這樣列式。

同一個(gè)年級(jí)中的不同班級(jí)原來(lái)的錯(cuò)誤率基本接近，各班在進(jìn)行相同的教學(xué)改進(jìn)干預(yù)后，錯(cuò)誤率明顯下降，有的班級(jí)甚至把這種類(lèi)型的題目錯(cuò)誤率控制在10%內(nèi)。對(duì)于班級(jí)里的優(yōu)秀學(xué)生，有的還想到利用不同的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行一題多解，發(fā)展了他們的數(shù)學(xué)思維。

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)題的教學(xué)改進(jìn)，筆者認(rèn)為教師在教學(xué)中要用數(shù)據(jù)記錄學(xué)生的錯(cuò)誤率，并及時(shí)針對(duì)部分錯(cuò)題進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，通過(guò)對(duì)一類(lèi)題目的系列化講解，幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地掌握解題方法，為其后續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)做好知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的鋪墊。