劉 薇，莫曉云，尹思宇

（湖南財政經(jīng)濟學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410205）

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，理論嚴謹，應用廣泛。作為大學重要的數(shù)學類基礎課程，它具有內(nèi)容多、理論多、難點多、公式多等特征。過去受限于教學條件，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程多采用線下傳統(tǒng)課堂授課，存在課時少、方式少、工具少、互動少等問題[1]。課程教學手段陳舊，教學模式落后，考核方式單一，這在一定程度上限制了教師的教和學生的學，教學目標無法有效實現(xiàn)。為解決這一系列教學窘境，充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)在教育領域的作用，基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的混合教學模式應運而生，近年來我國各大高校進行了探索和實踐，取得了豐富的教學成果。例如，習麗通過調(diào)整傳統(tǒng)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學內(nèi)容，打破“重理論輕應用”的模式，采用線上+線下授課的混合式教學，彌補了傳統(tǒng)課堂教學的不足，提高了教學效果[2]。王芬等針對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程在實際教學過程中面臨的主要問題，依托混合式教學，從教學手段、教學內(nèi)容、互動過程和考核方式等方面展開了深入研究，并提出了具體改革措施[3]。韓曉峰圍繞智慧教育的概念、智慧課堂的定義、大學數(shù)學智慧教學的特征、傳統(tǒng)數(shù)學教學存在的問題、傳統(tǒng)數(shù)學課堂與智慧課堂的比較分析、大學數(shù)學智慧教學改革等方面系統(tǒng)研究了大學數(shù)學的智慧教學模式[4]。但是，有的基于“互聯(lián)網(wǎng)+”的混合教學實踐在形式上表現(xiàn)為簡單的“拿來”和“拼接”或直接運用“雨課堂”等數(shù)字教學工具進行傳統(tǒng)課堂的授課[5]。然而，真正的創(chuàng)新和變革不是簡單的摒棄或應用某種教學模式和方法，而是利用現(xiàn)代信息技術(shù)對多元化教學和多模態(tài)學習的綜合協(xié)同運用。

為了充分體現(xiàn)“以學生為中心”的教學理念，精準把握“學生為主體，教師為主導”的教育教學方式，解決“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程講授中的“四多、四少”問題，本文在智慧教學背景下，構(gòu)建教師的備、教、思、評，以及學生的預、學、練、饋，有效地運用“線上線下混合”教學模式，對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程開展智慧教學實踐，期望通過優(yōu)化教學模式，達到高質(zhì)量的教育教學效果。

1 “線上線下混合”的教學流程設計

線上與線下的混合，即“E（e-Learning）+C（Classroom）”的混合教學模式[6]，是推動教師與學生共同參與，實現(xiàn)線上學習和線下傳統(tǒng)課堂學習的混合教與學活動。線上、線下教學形態(tài)的有效結(jié)合、相互交融、有機集成，一方面能突破教與學的時間、空間限制，豐富教學形式和內(nèi)容；另一方面能改變傳統(tǒng)課堂教學中過分講授而導致學生學習主動性不高、認知參與度不夠、學生學習效果差異過大等問題。

混合式教學強調(diào)的是在恰當?shù)臅r間應用合適的技術(shù)達到最好的教學目標，這與美國教育心理學家布魯姆的教育目標分類學的思想和目的不謀而合。在布魯姆的教育目標分類理論[7]指導下，根據(jù)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程特點，基于現(xiàn)代信息化技術(shù)，設計“線上線下混合”的教學流程（見圖1）：線上的課前準備階段、線下的課中教學階段、線上+線下的課后強化階段、線上+線下的考評階段。教師通過“教學準備→教學實施→教學反思→教學評價”，學生通過“預習→學習→練習→反饋”，來實現(xiàn)“以學生為中心”的具有高階性和挑戰(zhàn)度的高質(zhì)量教學效能。

圖1 “線上+線下”混合教學模式

2 “線上線下混合”的教學實踐

以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的第1章第5節(jié)“貝葉斯公式”為例進行“線上線下混合”的教與學實踐。

2.1 線上的課前準備階段

“線上課前”準備，是教師根據(jù)教學目標發(fā)布線上教學資料和任務，學生利用線上學習交流平臺發(fā)布的微課、教學課件和課前測驗、線上討論來進行自主學習的活動。

（1）教師的線上課前任務

明確教學目標和重難點。貝葉斯公式重要且抽象，學生在學習時往往感到難以理解，尤其是面對實際問題，搞不清哪些可以用貝葉斯公式，而哪些用全概率公式。因此，在學習時，就要把貝葉斯公式與全概率公式以及乘法公式的關(guān)系理清，重點是把公式講透，能夠準確判別問題，靈活地運用概率模型解決問題。在實現(xiàn)“貝葉斯公式”知識目標的基礎上，加強能力目標和德育目標的實現(xiàn)，使學生從能夠理解到能夠運用，讓知與德兼得。

根據(jù)教學內(nèi)容準備教學資源、發(fā)布預習任務。線上教與學依托超星泛雅網(wǎng)絡教學平臺和QQ學習交流群，發(fā)布學習資源和預習任務。例如，閱讀教材、觀看線上精品課程的微視頻、查閱名人史料等。在貝葉斯公式這一節(jié)中，要求學生預習本節(jié)內(nèi)容，時間約15分鐘，并查閱了解英國著名數(shù)學家貝葉斯的個人簡介和杰出貢獻。學生自主查找名人史料，可以鍛煉學生的信息搜集能力，了解數(shù)學家勵志奮斗的故事能夠拉近學生與學者的距離，進一步激發(fā)學習興趣。通過學習通app發(fā)布2～3道課前測試題，側(cè)重基本概率公式的了解，復習乘法公式、全概率公式。

檢查線上預習作業(yè)并計分。對預習檢測題進行打分，將課前預習評分納入課程過程性考核。教師根據(jù)學生自學預習情況，適當調(diào)整線下課堂教學設計，以實現(xiàn)高質(zhì)量的線下課堂教學。

（2）學生的線上課前任務

一是根據(jù)教師發(fā)布的課前學習任務自主學習。二是做好預習筆記。記錄不好理解、難理解的知識點，通過線上網(wǎng)絡教學平臺留言，以便教師了解分析后進行線下課堂的有效開展。三是查閱文獻資料，了解相關(guān)數(shù)學發(fā)展史和數(shù)學家史，揭示數(shù)學文化的精神和智慧。四是進行線上預習答題。根據(jù)自主學習相關(guān)知識后，進行限時答題，以檢測預習情況。五是在學習通app討論區(qū)進行預習討論。調(diào)查表明：100%的學生接受課前的自主學習過程，認為課前的預習可以促進學習的主動性，大大提高了線下課堂的學習質(zhì)量。

2.2 線下的課中教學階段

“線下課中”教學活動不是傳統(tǒng)課堂教學活動的照搬，而是教師基于“線上課前”學生學習情況，根據(jù)教學大綱基本要求、教學重難點目標，組織有效課堂的教學活動，引導學生掌握重要知識點，通過案例分析或互動討論，突破難點知識，完成預設教學目標。在教學過程中，學生與老師角色發(fā)生了變化（見圖2）。學生已經(jīng)通過課前的線上資源進行了自主性探索學習，因此，在線下課堂上，老師更多的責任是引導學生去解決問題。

圖2 線下課中施教過程

一是采用問題式教學法（Problem-Based Learning）。在教師引導下，以學生為中心，以問題為導向，通過采用小組討論的形式，學生圍繞發(fā)現(xiàn)的問題拓展思維，解決問題，培養(yǎng)自主學習能力和創(chuàng)新能力。二是引用生動有趣的案例。通過引入貼近生活的情境式案例和故事，將枯燥的數(shù)學題目趣味化，將深奧的道理通俗化，將枯燥的說教生動化，將直白的觀點情感化，將抽象的理論生活化。三是融入思政育人元素。以立德樹人為目標，積極傳播馬克思主義科學理論，弘揚中華傳統(tǒng)美德，發(fā)揮概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的思想政治教育作用。引導學生樹立遠大理想，堅定理想信念，培養(yǎng)學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感。

課堂一開始，請學生分享數(shù)學家貝葉斯的故事和杰出貢獻，點燃學生的求知欲，自然地引出貝葉斯公式，引領學生進入學習情境。并設計兩道有趣的例子，采用“小組討論”方式，在寓德于教，寓樂于學中分析和解決問題。

實例1用貝葉斯公式分析伊索寓言——狼來了，問：故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降的？

設A：小孩說謊，B：小孩可信，村民過去對這個小孩的印象為P(B)=0.8，且可信的孩子說謊可能性為P(A|B)=0.1，不可信的孩子說謊可能性為P(A|Bˉ)=0.5。

將學生隨機分成3組，采用問題式探究教學法，分析和求解寓言故事中小孩三次撒謊后的誠信度。在課堂實踐中，有學生對全概率公式進行了回顧和探討，還有學生探討了先驗概率和后驗概率的區(qū)別，在討論互動中更加深刻地理解了貝葉斯公式與條件概率、乘法公式、全概率公式的關(guān)系和貝葉斯公式的應用特點。

運用貝葉斯公式求得村民對小孩的可信程度分別為0.800、0.444、0.138。結(jié)果表明：村民們經(jīng)過兩次上當，對孩子的可信程度從0.800下降到了0.138。在如此低的可信度下，村民聽到第三次呼叫時怎么會再上山打狼呢？結(jié)論說明了誠信的重要性，運用貝葉斯理論來說明寓言故事所蘊含的道理，讓學生切實地感受到了數(shù)學的文化功能。

設計誠信問卷，請學生用手機識別二維碼進行課堂思政主題討論。開啟彈幕功能，以95后大學生的話語方式和時尚現(xiàn)代的呈現(xiàn)手段，讓手機從“低頭的工具”變成了“抬頭的利器”，在自由平等的環(huán)境中引導學生樹立正確的人生觀和價值觀。

實例2對患新冠肺炎概率的推斷。

我國人口超過14億，假如全國感染新冠肺炎的有8萬人，因感染新冠肺炎而發(fā)熱的比例為87%，而未感染發(fā)熱的人數(shù)假設為100萬人。利用貝葉斯公式測算發(fā)熱條件下確定為感染者的概率？

貝葉斯公式是執(zhí)果尋因的概率模型，與全概率公式解決的問題相反，盡管模型并不復雜，但可以解決許多實際問題，有非常重要的實用價值。學生在運用貝葉斯公式解決概率問題時，往往找不到先驗概率對應的事件，因而無法順利求解后驗概率。

本例，設A：發(fā)熱，B：感染新冠，分析找到先驗概率P(B|A)≈0.067。由貝葉斯公式可解得P(B|A)≈0.067。即當前我國發(fā)熱確定為新冠肺炎的概率非常小，僅約為0.067，由案例2的結(jié)論拋出思政主題：我國樹立了新冠肺炎世界防疫的典范，我們能夠深刻感受到中國的制度優(yōu)勢，并為我們偉大的祖國感到自豪。同時講述“最權(quán)威的新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計模式”來自霍普金斯大學，開發(fā)者則為中國籍博士生董恩盛和杜鴻儒?！笆坎豢梢圆缓胍?，任重而道遠”，弘揚有志青年以全世界人民的健康為己任、在科學道路上不懈追求的精神。國家的前途、民族的命運和人民的幸福，是當代中國青年必須和必將承擔的重任，以景激情，以情促學，點燃學生的愛國主義情懷。

2.3“線上線下混合”的課后強化階段

教師根據(jù)課堂教學實施情況，布置課后線下練習作業(yè)，發(fā)布課后線上習題，上傳學習拓展資料和定期進行線上答疑，幫助學生鞏固知識，進一步推動學習活動?？紤]到學生的個性化差異，優(yōu)化教學環(huán)節(jié)和效果，對學生施以分層教學，特別是課后作業(yè)的分層實施。教師根據(jù)學生的不同層次設計不同要求的練習，在作業(yè)量和作業(yè)難度上進行分層把控。

（1）鞏固基礎。課后及時進行基礎鞏固練習，完成與教材配套的概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題冊。下次課后在線公布答案，要求學生自行批閱更正，針對錯題相互交流討論。

（2）強化拓展。針對學生學習能力有差異的客觀實際，發(fā)布設計難易有別的在線復習作業(yè)，學生可選擇性地進行練習和復習，努力實現(xiàn)基礎目標和發(fā)展目標。

（3）每學完一章后進行一次線上小測。通過課程的階段性測試，一方面可以激勵學生學習的主動性，督促學生及時消化課堂知識，另一方面可以借助每章小測情況分析學生知識掌握的薄弱點。

（4）線上線下結(jié)合的課后輔導答疑。每次小測后安排一次在線答疑，根據(jù)課后線上線下作業(yè)的練習情況和章后考試情況，針對性地開展線上課后輔導。為了有效地實行分層教學課后輔導，根據(jù)學情開展定期的線下面對面課后輔導答疑。

2.4“線上線下混合”考核評價

在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的混合式教學實踐中，設計線上與線下相結(jié)合、過程性評價與終結(jié)性評價并重的多元化評價體系[8]，既能夠激勵學生學習和保證教與學的質(zhì)量，更有利于學生的長遠發(fā)展。在課程綜合測評設置中，將過程性平時成績提高到50%占比，由線上預習作業(yè)（20%）、線下課堂出勤（30%）、線下課后作業(yè)（20%）、線上章節(jié)測試成績（30%）構(gòu)成。采用訪談和問卷調(diào)查收集學生對于教學的反饋和建議，所獲得的反饋建議是后續(xù)課程教學過程改進的重要依據(jù)[9]。借助超星網(wǎng)絡教學平臺的“成績管理”和“問卷調(diào)查”系統(tǒng)建立多維度的教學評價與反饋體系，并通過教務管理系統(tǒng)合理設置總評成績構(gòu)成指標的權(quán)重，實現(xiàn)對學生學習過程的有效管理和科學評價。

2.5“線上線下混合”智慧教學的實踐效果

以湖南財政經(jīng)濟學院3個大班的227名學生為教學對象，其中會計專業(yè)班（對照組）采用傳統(tǒng)課堂教學模式進行教學，會職國會班和房產(chǎn)造價班（實驗組）采用“線上線下混合”教學模式進行教學。經(jīng)過一個學期的教學實踐，實驗組班級的學生對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的教學評價高達98.5分。對實驗組學生進行滿意度調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學生對線上線下混合教與學的認可度高達100%，且91.6%的學生認為自己獲得了公正的評分，超過95%的學生認為線上線下混合的教與學提高了學習興趣，提升了課程學習的質(zhì)量，83%的學生認為課程中適當融入思政元素有助于課程學習。分析兩組的期末考試成績，比較不同教學模式的教學效果發(fā)現(xiàn)：實驗組學生成績明顯高于對照組，相對于往屆也有較大幅度提升（見圖3）。

圖3 實驗組與對照組期末考試成績分析

3 結(jié)束語

全面推進高質(zhì)量教育教學，要改變“教”，改變“學”，要推動從以“老師教”為中心向以“學生學”為中心轉(zhuǎn)變。線上線下混合的教學形態(tài)多種多樣，筆者在教育高質(zhì)量發(fā)展的主題主線下，提出了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的線上線下混合智慧教學：備、教、思、評，預、學、練、饋。具體來說，就是要有效利用現(xiàn)代信息技術(shù)，在教學過程中融入具有創(chuàng)新性的教育教學理論、方法、技術(shù)和評價，以提高教育教學質(zhì)量，有力推進教學改革實踐。