歐陽柏平

廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院， 廣州 511300

近年來， 有關(guān)半線性波動方程柯西問題的研究受到廣泛的關(guān)注． 有很多學(xué)者[1-9]研究了如下波動方程的柯西問題

(1)

其中p>1，n≥1和u=u(t，x)∈R，ε>0．

眾所周知， (1)式中的臨界指數(shù)Pcrit(n)即Strauss指數(shù)在波動方程解的全局性與爆破研究中起著重要作用． (1)式中的臨界指數(shù)Pcrit(n)由下面一元二次方程的正根表示

也就是

對于n=1， 有Pcrit(1)=∞．

對于(1)式的研究， 學(xué)者們主要采用的方法是基于微分不等式和Kato引理． 然而， Kato引理只適用于二階的微分方程， 對于高階的波動方程(比如四階)， 則需要尋找其他的辦法． 近來有學(xué)者采用迭代辦法研究了某些雙曲方程解的全局性和爆破問題[10-16]． 有關(guān)其他的偏微分方程解的爆破問題研究可參考文獻(xiàn)[17-19]．

本文研究如下系數(shù)依賴于時(shí)間的非線性項(xiàng)的半線性雙波動方程解的爆破問題

(2)

其中f(t)=(1+t)-α， 0<α<2，p>1，ε>0， Δ是拉普拉斯算子．

目前， 有關(guān)高階的半線性雙波動方程柯西問題解的爆破研究尚未得到展開． 其主要難點(diǎn)在于如何構(gòu)造測試函數(shù)通過迭代方法來解決高階波動方程柯西問題研究中出現(xiàn)的問題． 本文通過選取合適的測試函數(shù)進(jìn)行迭代得到了在非臨界情況下系數(shù)依賴于時(shí)間的非線性項(xiàng)的半線性雙波動方程解的上界估計(jì)．

首先給出(2)式的柯西問題能量解的定義

(3)

對于(3)式， 由分部積分可得

(4)

令t→T， 則u滿足(2)式定義的弱解的定義．

1 本文主要結(jié)果

定理1設(shè)

Y(n，p，α)=(n+3-2α)p+4-(n-3)p2

(5)

2 爆破時(shí)間的上界估計(jì)

設(shè)

(6)

(4)式中， 取φ≡1， {(s，x)∈[0，t]×Rn： |x|≤R+s}， 可得

(7)

聯(lián)立(6)，(7)式， 得到

(8)

對(8)式關(guān)于t積分3次， 可得

(9)

因?yàn)橹Ъ痷(t， ·)?Bt+R， ?t∈(0，T)， 由H?lder不等式， 可得

(10)

由(9)，(10)式， 可得

(11)

下面將通過對U(t)的下界進(jìn)行迭代完成定理的證明． (11)式確定了迭代的框架． 為了推導(dǎo)U(t)的第一個(gè)下界估計(jì)， 引入如下函數(shù)[20]

函數(shù)Φ(x)是正的， 并且有下面的性質(zhì)

定義輔助函數(shù)

(12)

對(8)式關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)， 得

(13)

應(yīng)用H?lder不等式于(12)式， 得到

(14)

將測試函數(shù)Ψ應(yīng)用到(3)式， 有

(15)

對(15)式分部積分并注意到Ψ的性質(zhì)， 可得

(16)

其中

聯(lián)立(12)式和(16)式， 得

(17)

設(shè)

于是， (17)式可化為

F′(t)+2F(t)≥εI[u0，u1，u2，u3]

(18)

對(18)式積分， 得

(19)

由(19)式和F(t)的定義， 有

(20)

對(20)式關(guān)于t求積分， 可推出

(21)

其中δ=min{1-e-2t，te-2t}．

由定理的條件， 可得當(dāng)t≥t0時(shí)， 有

(22)

由Ψ的漸近性， 可得

(23)

由(14)，(22)和(23)式有

(24)

聯(lián)立(13)和(24)式可得

(25)

其中t≥t0．

對(25)式求積分， 有

(26)

(26)式可記為

U(t)≥K0(R+t)-α0(t-t0)β0

(27)

接下來， 將通過迭代來推導(dǎo)U(t)的下界

U(t)≥Kj(R+t)-αj(t-t0)βj

(28)

其中非負(fù)實(shí)序列{Kj}j∈N， {αj}j∈N， {βj}j∈N將在下文定義．

聯(lián)立(11)和(28)式， 得

(29)

接著取

(30)

則(29)式可化為

U(t)≥Kj+1(R+t)-αj+1(t-t0)βj+1

(31)

(31)式表明(28)式對于j+1是成立的． 接下來， 將對Kj，αj，βj進(jìn)行估計(jì)．

由(30)式有

(32)

又由于

(33)

聯(lián)立(30)和(33)式， 得到

(34)

對(34)式兩邊取對數(shù)可得

(35)

令j0=j0(n，p)∈N為滿足

的最小正整數(shù)， 從而， 對于j≥j0， 由(35)式可得

(36)

其中E0=E0(n，p)>0．

聯(lián)立(28)，(32)和(36)式， 得到

(37)

其中j≥j0，t≥t0．

當(dāng)t≥R+2t0時(shí)， 有l(wèi)og(R+t)≤log(2(t-t0))． 于是(37)式化為

(38)

其中t-t0的指數(shù)為

(39)

由于0<α<2， 當(dāng)n=1，2，3時(shí)，p>1； 當(dāng)n≥4時(shí)， 1

取ε0=ε0(u0，u1，u2，u3，n，p，α，R)>0， 使得

從而證明了定理1．