李博文， 李曉軍

河海大學理學院， 南京 210098

本文考慮如下無界域上帶有乘性噪聲的隨機反應-擴散方程生成的隨機動力系統(tǒng)一致隨機吸引子的存在性：

(1)

其中：υ，λ是正常數(shù)；g(x，t)∈Σ是滿足一定條件的外力項；bj是常數(shù)，f1(u)和f2(u)是滿足一定增長條件和耗散條件的光滑非線性函數(shù)；ωj是定義在概率空間(Ω， F， P)上的雙邊實值Wiener過程； F是Borelσ-代數(shù)； P是相應的Wiener測度； “°”表示隨機項是在Stratonovich積分意義下的．

本文假設f1(u)和f2(u)滿足以下條件： 對任意的x∈Rn，u∈R，

f1(u)u≥α1|u|p-β1|u|2，f1(u)u≥0，f′1(u)≥-c，p≥2

(2)

f2(u)u≥α2|u|p-β2，f′2(u)≥-c，p≥2

(3)

|f1(u)|≤α3|u|p-1+c1， |f2(u)|≤α4|u|p-1+c2

(4)

a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0

(5)

其中：αi>0(i=1，2，3，4)；βi，ci>0(i=1，2)，c>0． 當p>2時， 有α1>β1成立．

?a(x)·?F2(u)≥0

(6)

系統(tǒng)(1)是一非自治隨機系統(tǒng)， 含有確定的非自治項和隨機項． 由于隨機項的存在， 在研究隨機偏微分方程時， 傳統(tǒng)吸引子的理論[1-3]已無法應用． 文獻[4-6]將傳統(tǒng)吸引子的概念加以推廣， 提出了隨機吸引子的概念， 并建立了隨機吸引子的相關理論． 之后， 文獻[7]利用該理論研究了非自治隨機動力系統(tǒng)， 并建立了隨機吸引子存在的充分必要條件． 文獻[8]研究了含有確定非自治項的隨機偏微分方程一致隨機吸引子的存在性， 并給出相應的判定定理． 關于隨機偏微分方程吸引子的其他結果可見文獻[12-15]．

本文用文獻[8-10]中的方法研究系統(tǒng)(1)一致隨機吸引子的存在性． 與以往的工作(如文獻[7， 9])相比， 我們放寬了對系統(tǒng)(1)的非線性項f(x，u)的一些假設， 即它不一定滿足條件：

(7)

為了表示方便， 設有以下記號： ‖·‖表示L2(Rn)上的范數(shù)， (·， ·)表示L2(Rn)上的內積．

1 預備知識

本節(jié)將引入非自治隨機動力系統(tǒng)的一些概念和理論[7-10]．

令(X，d)為可分的Banach空間，X上的非空集間的Hausdorff半距離定義為

對于任意度量空間M， 我們用B(M)表示其上的σ-代數(shù)． 令(Σ，dΣ)為緊的Polish度量空間， 且在如下意義下是不變的：

?tΣ=Σ， ?t∈R

其中?為光滑的平移算子， 若滿足：

1) ?0是Σ上的恒等算子；

2) ?s°?t=?t+s， ?t，s∈R；

3) (t，g)?tg是連續(xù)的．

同時， 我們定義(Ω， F， P)為概率空間， 定義在其上的動力系統(tǒng){θt}t∈R滿足：

1)θ0是Ω上的恒等算子；

2)θtΩ=Ω， ?t∈R；

3)θs°θt=θt+s， ?t，s∈R；

4) (t，ω)θtω是(B(R)×F， F)-可測；

5) R-保測： R(θtF)=R(F)， ?t≤0，F(xiàn)∈F．

分別作用在Σ和Ω上的兩個群{?t}t∈R和{θt}t∈R稱為基流．

定義1對于φ(t，ω，g，x)： R+×Ω×Σ×XX， 若滿足：

1)φ是(B(R+)×F×B(Σ)×B(X)， B(X))-可測的；

2)φ(0，ω，g， ·)是X上的恒等映射， ?g∈Σ，ω∈Ω；

3) 對每個固定的g∈Σ，x∈X，ω∈Ω， 有如下余圈性質成立：

φ(t+s，ω，g，x)=φ(t，θsω， ?sg)°φ(s，ω，g，x)， ?t，s∈R+

則稱φ(t，ω，g，x)為定義在X， (Σ， {?t}t∈R)和(Ω， F， P， {θt}t∈R)上的非自治隨機動力系統(tǒng)．

令D是X中的隨機集族組成的集合．

定義2稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸收集， 若對任意的ω∈Ω和B∈D， 都存在T=T(ω，B)， 使得

φ(t，θ-tω，Σ，B(θ-tω))?K(ω)， ?t≥T

其中

稱K={K(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸引集， 若對任意的ω∈Ω， 有

定義3假設φ是定義在Banach空間X上的非自治隨機動力系統(tǒng)， 并且關于符號空間Σ和X連續(xù)． 若對任意的B∈D，ω∈Ω與序列{tn}， 滿足0

定義4若A屬于D， 且是最小的緊D一致吸引集， 則稱隨機集A={A(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸引子．

定義5若對所有的β>0，ω∈Ω， 滿足

定理1[8]假設φ是定義在Banach空間X上的非自治隨機動力系統(tǒng)， 并且關于符號空間Σ和X連續(xù)． 若φ有閉的D一致吸收集B∈D， 且φ在X上是D一致(拉回)漸近緊的， 那么φ有唯一的D一致隨機吸引子A={A(ω)}ω∈Ω∈D， 其中

2)g的殼是平移不變的， 即H(g0)=?tH(g0)， ?t∈R；

5) 對任意的g∈H(g0)， 都有G(g)≤G(g0)．

2 方程所對應的隨機動力系統(tǒng)

本節(jié)中， 我們建立方程(1)所對應的連續(xù)隨機動力系統(tǒng)． 定義在R上的群(θ1， t)t∈R：

θ1， t(h)=h+t，t，h∈R

則(R， (θ1， t)t∈R)是一個參數(shù)動力系統(tǒng)． 考慮概率空間(Ω， F， P)， 其中Ω={ω=(ω1，ω2， …，ωk)∈C(R， Rk)：ω(0)=0}， F是Borelσ-代數(shù)， P是相應的Wiener測度． 定義(Ω， F， P)上的群(θ2， t)t∈R：

θ2， tω(s)=ω(s+t)-ω(t)，ω∈Ω，t，s∈R

則(Ω， F， P， (θ2， t)t∈R)是一個遍歷度量動力系統(tǒng)．

為了定義(1)所生成的連續(xù)隨機動力系統(tǒng)， 我們需要將(1)式轉換成一個帶隨機變量的非自治動力系統(tǒng)．

給定布朗運動驅動的Ornstein-Uhlenbeck過程的穩(wěn)態(tài)解：

t

(8)

(9)

(10)

又令

(11)

其中u是方程(1)的解． 則v滿足方程：

(12)

初值為

v(x，τ)=vτ(x)=e-δ(θ2， tω)uτ(x)，x∈Rn

(13)

通過Galerkin方法可知， 對于任意的t>τ，τ∈R，vτ∈L2(Rn)， 在假設(2)-(5)下， 方程(12)存在唯一的解v=v(t，τ，ω，g，vτ)， 且v(t，τ，ω，g，vτ)關于初值vτ(x)連續(xù)(見引理4)．

φ(t，τ，ω，g，uτ)=u(t+τ，τ，θ2， -τω， ?2， -τg，uτ)=eδ(θ2， τω)v(t+τ，τ，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ)

(14)

其中uτ∈L2(Rn)，t∈R+，τ∈R，ω∈Ω， 從而φ是系統(tǒng)(1)所對應的非自治隨機動力系統(tǒng)．

(15)

令D為

D={D={D(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}：D滿足(15)式}．

(16)

3 解的一致估計

為了證明φ于L2(Rn)中D一致吸引子的存在性， 我們將給出系統(tǒng)(1)的一致估計， 并且說明當時間足夠大時， 方程解的尾部估計是一致小的． 首先， 我們證明φ于L2(Rn)中存在D一致吸收集．

‖v(τ，τ-t，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ-t(θ2， -τω， ?2， -τg))‖2≤C(1+r1(ω))

(17)

證將(12)式與v在L2(Rn)中做內積， 可得

(18)

現(xiàn)在對(18)式進行逐項估計， 結合條件(2)-(5)， 可得：

(19)

(20)

對于(18)式中最后一項， 利用Cauchy-Schwarz不等式， 可得

(21)

由于a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 結合(18)-(21)式可知

(22)

舍去(22)式中的不等式右邊第一項， 在(τ-t，τ)上應用Gronwall引理， 得到

(23)

在(23)式中， 用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 得到

(24)

由(10)式可知

(25)

這意味著存在κ>0， 使得對任意的s<-κ， 滿足

(26)

結合(25)-(26)式， 可知

(27)

(28)

因此， 將(28)式代入(27)式中， 可得

(29)

注意到{D(τ-t，θ2， -tω)}∈D是緩增的， 對任意的vτ-t∈D(τ-t，θ2， -tω)， 有

(30)

令

(31)

由此， 引理得證．

給定ω∈Ω， 令

K(τ，ω)={u∈L2(Rn)： ‖u‖2≤C(1+r1(ω))}

(32)

可知{K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈D是一個φ的D一致吸收集．

(33)

證用T替代τ， 并用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 代入(23)式中， 則對每個T≥τ-t，t≥1， 有

(34)

(35)

對(22)式應用Gronwall引理， 當τ-t

(36)

故有

(37)

用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 代入(37)式， 并結合(35)式， 我們得到

(38)

用τ-1替代T， 代入(38)式中， 可得

(39)

易知， 對于s∈[τ-1，τ]，

由于隨機變量z(θ2， tω)是緩增的，vτ-t∈D(τ-t，ω)， 結合(25)-(28)式， 于是有

因此， 存在TD(τ，ω)≥1， 使得當t≥TD(τ，ω)時，

顯然，r2(ω)是緩增的． 由此， 引理得證．

‖?v(τ，τ-t，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ-t)‖2≤r(ω)

(43)

其中r(ω)是緩增隨機變量．

證將(12)式與-Δv在L2(Rn)中作內積可得

(44)

首先我們對(44)等式右邊進行逐項估計．

考慮第一項， 根據(jù)條件(2)-(5)， 利用Young不等式， Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

考慮第二項，

(47)

由(44)-(47)式可知

(48)

類似引理2， 令TD(τ，ω)≥1是正常數(shù)． 當B={B(ω)}ω∈Ω∈D時， 將(48)式在(s，τ)上積分， 其中s∈(τ-1，τ)， 我們有

(49)

將(49)式對s在(τ-1，τ)上積分可得

(50)

在(50)式中用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 類似引理1中做法， 結合(26)和(50)式可得

(51)

結合引理1和引理2可知， 對任意的t≥TD(τ，ω)≥1， 有

(52)

注意到a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0， 故r2(ω)是緩增的， 容易證明r(ω)是緩增的， 由此引理得證．

證令v1和v2是方程(12)-(13)的兩個解， 令w(t)=v1(t)-v2(t)， 則w(τ)=v1， τ(x)-v2， τ(x)， 且w(τ)滿足

(53)

將(53)式與w(t)在Rn上做內積， 我們得到

(54)

由條件(2)-(5)可得

(55)

(56)

(57)

結合(53)-(57)式可知

(58)

故有

(59)

舍去不等式右邊第一項， 并運用Gronwall引理

(60)

由此， 引理得證．

(61)

證令ρ為一個光滑函數(shù)， 且對于任意的s∈R+， 有0≤ρ(s)≤1， 且滿足

(62)

(63)

接下來對(63)式采取逐項估計

(64)

對于非線性項， 可得

(65)

對(63)式中的最后一項，

(66)

綜合(63)-(66)式， 可得

(67)

對(67)式在(τ-t，τ)上運用Gronwall引理， 并用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 我們得到當τ∈R，t≥0且ω∈Ω時， 有

(68)

現(xiàn)對(68)式中不等式右邊進行逐項估計． 首先由(30)式得到， 對任意的ε>0， 存在T1=T1(τ，ω，D，ε)≥1， 使得對所有的t≥T1， 滿足

(69)

用s替代τ， 其中τ-t

(70)

(71)

用τ-t替代T， 由(33)式可知， 對任意的t≥T3和k≥R2， 存在T3=T3(τ，ω，D，ε)>T1和R2=R2(τ，ω，ε)>0， 滿足

(72)

再次利用命題2， 結合(25)-(29)式， 設a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 對任意的t≥T4和k≥R3， 存在T4=T4(τ，ω，D，ε)>T1和R3=R3(τ，ω，ε)>0， 滿足

(73)

令T*=T*(τ，ω，D，ε)=max{T1，T2，T3，T4}，R*=R*(τ，ω，ε)=max{R1，R2，R3}， 結合(68)-(73)式可得， 對所有的t≥T*和k≥R*， 有

(74)

故有

(75)

由此， 引理得證．

4 一致吸引子的存在性

證由引理4知， 方程(1)的解關于初值Lipschitz連續(xù)， 應用引理1，2，3，5， 即可得證明．

下面給出本文所得結論：

證由引理1、 引理5及引理6， 并應用定理1即可得結論．