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        一橋橫跨南北,“曲直”變通途

        2022-06-14 21:26:32杭仁禮張毅
        關(guān)鍵詞:曲直旋轉(zhuǎn)體多面體

        杭仁禮 張毅

        [摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中對數(shù)學(xué)文化給予了高度重視,強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識數(shù)學(xué)文化在科學(xué)技術(shù)和人類社會發(fā)展中所起到的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)和文化價(jià)值. 文章主要論述了如何利用祖暅原理將求解旋轉(zhuǎn)體和多面體體積達(dá)到完美柔和.

        [關(guān)鍵詞] 祖暅原理;多面體;旋轉(zhuǎn)體

        初遇問題

        在備課過程中,筆者提出:能否構(gòu)造一個(gè)完整的幾何體可以直接求得球的體積呢?鑒于球是高度對稱的幾何體,起初筆者設(shè)想構(gòu)造一個(gè)正四面體ABCD,棱長為a.

        如果想要利用祖暅原理,構(gòu)造的幾何體必須滿足三個(gè)條件:

        ①構(gòu)造的幾何體與球等高;

        ②構(gòu)造的幾何體與球的體積相等;

        ③將構(gòu)造的幾何體與球放置在同一水平面,用平行于水平面的平面去截幾何體和球,得到的截面積處處相等.

        于是構(gòu)造一個(gè)正四面體ABCD,如圖1所示,棱長為a,取AC,BD中點(diǎn)E,F(xiàn). 連接EF,則EF⊥AC,EF⊥BD.

        不符合條件②,所以構(gòu)造的正四面體ABCD不符合要求.

        改進(jìn)設(shè)計(jì)

        如此,筆者便實(shí)現(xiàn)了構(gòu)造一個(gè)多面體、一次性求得球的體積的設(shè)想,那么,這樣的結(jié)論能否加以推廣呢?

        推廣結(jié)論

        1. 求橢球(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體)的體積

        方法1:推廣課本的方法,構(gòu)造幾何體(將圓柱挖去同底等高的倒置圓錐得到的幾何體).

        為此,構(gòu)造底面半徑為b,高為a的圓柱,從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱右底面為底面,左底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐(如圖7所示),把所得的幾何體與半橢球放在同一個(gè)豎平面上.

        方法2:構(gòu)造四面體,一次性完整推導(dǎo)橢球的體積.

        構(gòu)造四面體ABCD,使得AC=BD=m,其余棱長都為n.

        上述都是封閉曲線所得的旋轉(zhuǎn)幾何體,如果是半開放曲線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體,又該如何求解其體積呢?

        2.構(gòu)造三棱柱,求解拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積

        已知拋物線y=x2(0≤y≤m),繞y軸旋轉(zhuǎn)得到幾何體Z,求該幾何體的體積.

        祖暅原理的內(nèi)容淺顯易懂,只要能構(gòu)造出可求體積的幾何體,就能求出所需求的幾何體的體積.中華數(shù)學(xué)文化博大精深、資源豐富,筆者只是從構(gòu)造多面體的角度求解論證了一些常見的旋轉(zhuǎn)體的體積,在教學(xué)過程中就感悟到了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史自豪感. 這一原理的深化,便是現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)微積分思想.

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