吳麗萍

(閩江學院 數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院(軟件學院)， 福州 350108)

0 引言

近年來，許多學者對兩種群之間偏利共生作用的模型進行了研究，并取得了一些良好的研究結果[1-4];但這些文獻所研究的模型都是基于傳統(tǒng)的Logistic模型，且模型中的種群出生率都為常數(shù)(不受種群的密度制約).研究[5]顯示，在某些情形下建立出生率具有密度制約的種群更為合理.2018年，Chen[6]提出了如下出生率具有密度制約的偏利共生模型:

(1)

(2)

其中：系統(tǒng)中所有參數(shù)均為正數(shù)，x(t)和y(t)分別是兩個種群在t時刻的密度，ui(i=1,2)是控制變量.

1 平衡點的存在性

首先考慮系統(tǒng)(2)的正平衡點.系統(tǒng)(2)的正平衡點(x*,y*,u*1,u*2)滿足如下方程組：

(3)

引理1如果b11>b12b14,b21>b22b24， 則系統(tǒng)(2)有唯一的正平衡點(x*,y*,u*1,u*2).

下面考慮系統(tǒng)(2)的邊界平衡點.易知點(0,0,0,0)是系統(tǒng)(2)的一個邊界平衡點.記Δ3=(η1b13b14+η1a11b12+α1a1b12)2-4η1b13(η1a11+α1a1)(b12b14-b11)， 于是類似于上面的討論可得以下引理：

引理2如果b11>b12b14， 則系統(tǒng)(2)有邊界平衡點(x**,0,u**1,0)， 其中

引理3如果b21>b22b24， 則系統(tǒng)(2)有邊界平衡點(0,y*,0,u*2).

2 平衡點的穩(wěn)定性

定理1設(x,y,u1,u2)是系統(tǒng)(2)的任意正解.若b11>b12b14,b21>b22b24, 則系統(tǒng)(2)的正平衡點(x*,y*,u*1,u*2)是全局穩(wěn)定的.

證明構造Lyapunov函數(shù):

其中δi(i=1,2,3,4)是待定的正常數(shù).注意到系統(tǒng)(2)的正平衡點(x*,y*,u*1,u*2)滿足方程組(3)，因此沿著系統(tǒng)(2)的正解計算V(t)的右上導數(shù)可得:

2δ3(u1-u*1)(-η1u1+a1x)+2δ4(u2-u*2)(-η2u2+a2y)=

(-η1u1+a1x+η1u*1-a1x*)+2δ4(u2-u*2)(-η2u2+a2y+η2u*2-a2y*)=

[δ1a11(x-x*)2-δ1a12(x-x*)(y-y*)+δ2a22(y-y*)2]-

(2δ3a1-δ1α1)(x-x*)(u1-u*1)+(2δ4a2-δ2α2)(u2-u*2)(y-y*).

定理2設(x,y,u1,u2)是系統(tǒng)(2)的任意正解.若b11>b12b14,b22b24>b21, 則系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(x**,0,u**1,0)是全局穩(wěn)定的.

證明構造Lyapunov函數(shù)：

當且僅當x=x**,y=0,u1=u**1,u2=0時取等號.由Lyapunov穩(wěn)定性定理[7]可知，系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(x**,0,u**1,0)是全局穩(wěn)定的.證畢.

2γ3(u2-u*2)(-η2u2+a2y+η2u*2-a2y*)≤

當且僅當x=0,y=y*,u1=0,u2=u*2時取等號.于是由Lyapunov穩(wěn)定性定理[7]可知，系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(0,y*,0,u*2)是全局穩(wěn)定的.證畢.

定理4設(x,y,u1,u2)是系統(tǒng)(2)的任意正解.若b12b14>b11,b22b24>b21, 則系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(0,0,0,0)是全局穩(wěn)定的.

注1如果定理1—定理4的條件成立，則文獻[6]中定理2.1的條件也成立，由此可知加入反饋控制變量(系統(tǒng)(2))并未改變原系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性.

3 數(shù)值模擬

例1考慮如下系統(tǒng)：

(4)

其中b21=2>b22b24=1,b11=2>b12b14=1， 即系統(tǒng)(4)滿足定理1的條件.由引理1和定理1知，系統(tǒng)(4)存在唯一的全局穩(wěn)定的正平衡點(0.476,0.299 5,0.595,0.479 2).圖1是系統(tǒng)(3)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,2,0.3,0.7),(0.02,2,1,0.5),(1,2,0.2,1.5)的解的數(shù)值模擬圖.

例2考慮如下系統(tǒng)：

(5)

其中b11=2>b12b14=1,b22b24=2>b21=1， 即系統(tǒng)(5)滿足定理2的條件.由引理2和定理2知，系統(tǒng)(4)的邊界平衡點(0.356 1,0,0.593 5,0)是全局穩(wěn)定的.圖2是系統(tǒng)(5)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,1.1,0.3,0.7),(0.02,0.8,1,0.5),(1,0.6,0.2,0.2)的解的數(shù)值模擬圖.

圖1 系統(tǒng)(4)的數(shù)值模擬圖 圖2 系統(tǒng)(5)的數(shù)值模擬圖

例3考慮如下系統(tǒng):

(6)

例4考慮如下系統(tǒng)：

(7)

其中b12b14=2>b11=1,b22b24=2>b21=1， 即系統(tǒng)(7)滿足定理4的條件.由定理4知，系統(tǒng)(7)的邊界平衡點(0,0,0,0)是全局穩(wěn)定的.圖4是系統(tǒng)(7)具有初值(1,0.3,0.1,0.2),(0.4,1.1,0.3,0.7),(0.02,0.8,1,0.5),(1,0.6,0.2,0.2)的解的數(shù)值模擬圖.

圖3 系統(tǒng)(6)的數(shù)值模擬圖 圖4 系統(tǒng)(7)的數(shù)值模擬圖

注2由文獻[6]中例3.1— 例3.4可知，在系統(tǒng)(4)—系統(tǒng)(7)中未加入反饋控制變量時系統(tǒng)的相應平衡點是全局穩(wěn)定的.由圖1— 圖4可知,在系統(tǒng)(4)—系統(tǒng)(7)中加入反饋控制變量不會改變原系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性.