葛研軍，劉佳男，周哲，任廣巍

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

齒輪箱是機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)的重要核心部件.由于機(jī)械齒輪箱在運(yùn)行過程中承受較大沖擊載荷，因此隨著使用時(shí)間的增加，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)漏油、竄軸及輪齒損壞等一系列故障[1].與機(jī)械齒輪相比，永磁齒輪具有無潤滑、低噪音及過載保護(hù)等優(yōu)點(diǎn)，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中具有廣闊的應(yīng)用前景[2-4].

傳統(tǒng)單極耦合式永磁齒輪只有一對(duì)磁極互相作用，導(dǎo)致永磁體利用率較低，轉(zhuǎn)矩密度一般小于等于20 kN·m/m3[5].2001年，英國Sheffield大學(xué)提出一種同心式永磁齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)(Concentric Permanent Magnet Gear, CPMG)，其轉(zhuǎn)矩密度可達(dá)100 kN·m/m3[6].但CPMG的轉(zhuǎn)矩密度隨傳動(dòng)比增大而減小，當(dāng)傳動(dòng)比大于20時(shí)，轉(zhuǎn)矩密度呈快速下降趨勢(shì)[7].為解決這一問題，文獻(xiàn)[8]提出一種擺線式永磁齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，可獲得高傳動(dòng)比及高轉(zhuǎn)矩密度(傳動(dòng)比大于等于20，轉(zhuǎn)矩密度大于等于180 kN·m/m3).

文獻(xiàn)[8]提出的擺線式磁齒輪將偏心式轉(zhuǎn)臂軸承置于擺線輪內(nèi)部，使其承受較大的不平衡磁拉力，加之轉(zhuǎn)臂軸承內(nèi)、外圈均存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，嚴(yán)重惡化了軸承滾子的工作環(huán)境，大大縮短了其使用壽命.

為解決上述問題，本文借鑒環(huán)板式機(jī)械齒輪的傳動(dòng)模式，提出一種環(huán)板式永磁齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)(Ring-Plate Permanent Magnet Gear，RPPMG)，可將轉(zhuǎn)臂軸承移至擺線輪外部，大幅改善了轉(zhuǎn)臂軸承的受力環(huán)境，并可在較小尺寸空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)較高的轉(zhuǎn)矩密度及傳動(dòng)比輸出.

1 RPPMG運(yùn)行機(jī)理

圖1為RPPMG機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖.圖中，外圈永磁轉(zhuǎn)子與連桿AB固連，其圓心O2位于連桿AB的中點(diǎn)；內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子繞其自身圓心O1作定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，且O1位于機(jī)架A′B′連線的中點(diǎn).

圖1 RPPMG機(jī)械結(jié)構(gòu)

圖中所示內(nèi)、外永磁圈不同心，且有AA′=BB′=O1O2.若設(shè)A軸及B軸繞A′軸及B′軸的旋轉(zhuǎn)速度分別為na及nb，外圈永磁轉(zhuǎn)子的公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為no2，則有no2=na=nb，即外圈永磁轉(zhuǎn)子的公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速與曲柄AA′及曲柄BB′的旋轉(zhuǎn)速度完全相同.

與機(jī)械環(huán)板式齒輪相同，圖1所示RPPMG的內(nèi)、外圈永磁體磁極對(duì)數(shù)也相差1.工作時(shí)，動(dòng)力由曲柄AA′輸入，通過連桿AB帶動(dòng)外圈永磁轉(zhuǎn)子作繞內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子O1軸的平動(dòng)，經(jīng)內(nèi)、外圈永磁體磁場(chǎng)耦合作用后產(chǎn)生電磁力矩，最終由內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子輸出.

設(shè)RPPMG傳動(dòng)比為G，內(nèi)、外圈永磁體極對(duì)數(shù)分別為pi、po，則有：

(1)

由于po=pi+1，則當(dāng)外圈永磁轉(zhuǎn)子繞內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子順時(shí)針公轉(zhuǎn)一周時(shí)，內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子將繞其自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一對(duì)極角度.

圖2為RPPMG內(nèi)、外圈永磁轉(zhuǎn)子相對(duì)轉(zhuǎn)角關(guān)系[9]，圖中的θi、θo分別為內(nèi)、外圈永磁轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的角度.

圖2 RPPMG中內(nèi)、外圈永磁轉(zhuǎn)子相對(duì)轉(zhuǎn)角

設(shè)RPPMG中內(nèi)、外圈永磁轉(zhuǎn)子的極對(duì)數(shù)分別為8對(duì)極及9對(duì)極，則由圖2可知：當(dāng)外圈永磁轉(zhuǎn)子每公轉(zhuǎn)40°時(shí)，內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子則自轉(zhuǎn)5°，即內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角比為8∶1，符合式(1)計(jì)算結(jié)果.

2 模型參數(shù)計(jì)算

圖3為RPPMG各結(jié)構(gòu)參數(shù).圖中，R1為外永磁轉(zhuǎn)子軛鐵內(nèi)半徑，R3、R2分別為外永磁轉(zhuǎn)子永磁體內(nèi)、外半徑，R5、R4分別為內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子永磁體內(nèi)、外半徑，R6為內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子軛鐵外半徑，a2、a1為內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子單塊永磁體內(nèi)外邊界弧長，hi、ho分別為內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子軛鐵厚度，δ為最小氣隙長度，e為偏心距.

圖3 RPPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子永磁體外半徑R4計(jì)算

設(shè)RPPMG所傳遞的額定功率、額定轉(zhuǎn)速、額定轉(zhuǎn)矩及傳動(dòng)比分別為P、no、T及G，那么則有：

(2)

設(shè)RPPMG永磁體軸向有效長度為L，所能傳遞的轉(zhuǎn)矩密度為Td，內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子有效體積為V，漏磁系數(shù)為η，則有：

(3)

將式(3)代入到式(2)中可得:

(4)

2.2 外永磁轉(zhuǎn)子永磁體內(nèi)半徑R3計(jì)算

為保證RPPMG內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子之間的耦合面積最大，應(yīng)使其內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子最小氣隙處的弧長盡量相等，即：

a1=a2

(5)

由于RPPMG內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體磁極為徑向排列，所以單塊永磁體磁極邊界弧長為

(6)

式(6)中αp為極弧系數(shù)，τ為極距.將式(6)代入式(5)中可得：

(7)

2.3 內(nèi)、外轉(zhuǎn)子軛鐵厚度hi及ho計(jì)算

hi與ho的計(jì)算方法相同，本文僅以ho為例進(jìn)行計(jì)算.

由于穿過單塊永磁體表面與外軛鐵截面的磁通量相等，因此若設(shè)永磁體磁極在軛鐵側(cè)表面積為Sy，轉(zhuǎn)子軛鐵的截面積為Se，永磁體剩磁為Br，軛鐵所能通過的最大磁通密度為Be，對(duì)于外永磁圈則有：

BrSy=2BeSe

(8)

Sy=La2

(9)

Se=Lho

(10)

將式(9)及式(10)帶入式(8)中，可得:

(11)

3 RPPMG靜態(tài)模型建立

設(shè)RPPMG傳遞的額定功率P=11 kW， 額 定 輸 出 轉(zhuǎn)速no=6 r/min， 傳動(dòng)比G=31∶1，

Td=230 kN·m/m3，η=0.2，則由式(2)～式(11)可得表1所示的RPPMG初選結(jié)構(gòu)參數(shù).

基于表1所示結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用Ansys Maxwell軟件建立二維靜態(tài)仿真模型，可得圖4所示的輸出轉(zhuǎn)矩T與相對(duì)轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系曲線.

表1 RPPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)初選

圖4 T與θ關(guān)系曲線

由圖4可知，當(dāng)內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過1/2個(gè)及3/2個(gè)磁極角度(即θ為2.9°及8.7°)時(shí)，RPPMG的輸出轉(zhuǎn)矩達(dá)到峰值，此時(shí)Tmax=20.6 kN·m，轉(zhuǎn)矩密度Td= 236 kN·m/m3， 與 設(shè) 計(jì) 時(shí) 初 選 的Td=

230 kN·m/m3較為接近，說明模型初選參數(shù)基本正確.

4 不平衡磁拉力有限元計(jì)算

設(shè)圖3中內(nèi)轉(zhuǎn)子表面任意一點(diǎn)的氣隙磁密為B，其沿x及y方向的分量分別為Bx及By，沿轉(zhuǎn)子表面的徑向與切向分量分別為Br及Bt，則有：

Br(θ)=Bx(θ)cosθ+By(θ)sinθ

Bt(θ)=-Bx(θ)sinθ+By(θ)cosθ

(12)

設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子鐵心單位面積上的電磁力為f，其在徑向及切向上的分力分別為fr及ft，根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法有：

(13)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率.

設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子表面任意弧長所受的電磁力為F，其徑向及切向電磁力分別為Fr及Ft，則有：

(14)

由式(14)可知，只要獲得轉(zhuǎn)子表面氣隙磁密B，即可由式(14)獲得Fr及Ft.

圖5為由式(14)所得的Fr分布曲線.

圖5 Fr分布曲線

由圖5可知，F(xiàn)r正值方向背離圓心，負(fù)值方向指向圓心.因此永磁體間氣隙長度較小一側(cè)互相吸引，而較大一側(cè)則互相排斥.設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子所受的徑向電磁力合力(不平衡磁拉力)為FR，則FR的方向由RPPMG幾何中心指向氣隙長度最小處.

設(shè)Fr沿x軸的分量及沿y軸的分量分別為Frx及Fry，則有：

(15)

(16)

設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子表面圓形路徑上均布m個(gè)點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的氣隙磁密為線性分布，則第i個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Frxi及Fryi分別為：

(17)

(18)

式(17)及式(18)中，θi為第i個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極角，且有

則FR為：

(19)

對(duì)Ft取矩即可獲得內(nèi)轉(zhuǎn)子的電磁轉(zhuǎn)矩T.

(20)

由式(20)可知，RPPMG所傳遞的轉(zhuǎn)矩與內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子半徑的平方及其有效軸向長度成正比，與徑向及切向氣隙磁密的乘積在內(nèi)轉(zhuǎn)子外表面的閉合回路積分成正比，與空氣隙磁導(dǎo)率成反比.

圖6為根據(jù)式(20)所得的內(nèi)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩解析解與有限元仿真比較曲線.

圖6 電磁轉(zhuǎn)矩解析解與有限元仿真曲線

由圖6可知，式(20)所得的理論計(jì)算值與有限元仿真值的相對(duì)誤差小于等于1.2% ，說明本文所建的電磁轉(zhuǎn)矩模型正確.

5 RPPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

由于輸出扭矩是衡量永磁齒輪傳動(dòng)性能最重要的指標(biāo)之一，并且由圖5可知，不平衡磁拉力使轉(zhuǎn)臂軸承一側(cè)持續(xù)受到較大力作用，加劇轉(zhuǎn)臂軸承滾子的磨損，縮短其使用壽命.因此本文在固定R3及R4不變的條件下，采用控制變量法分析各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)FR及Tmax的影響.

5.1 h i、ho與FR及Tmax關(guān)系

圖7(a)、7(b)分別為hi、ho與FR及Tmax關(guān)系曲線.由圖7(a)可知，隨著hi、ho逐漸增加，F(xiàn)R先增加后趨于穩(wěn)定.這是因?yàn)楫?dāng)軛部厚度較小時(shí)，軛部磁通飽和，出現(xiàn)漏磁現(xiàn)象，此時(shí)氣隙磁密較小，因此FR也較小.當(dāng)hi、ho由6 mm增加至20 mm時(shí)，軛部所能允許通過的磁通量不斷增加，飽和狀態(tài)不斷減弱，漏磁現(xiàn)象逐漸消失，氣隙磁密不斷增加，因此FR逐漸增大；當(dāng)hi、ho繼續(xù)增大時(shí)，F(xiàn)R不再增加.

(a) h i、ho與FR關(guān)系

(b) h i、ho與Tmax關(guān)系圖7 h i、ho與FR及Tmax關(guān)系

由圖7(b)可知，當(dāng)hi、ho由6 mm增加至20 mm時(shí)，Tmax隨之增加，此后繼續(xù)增加軛部厚度，Tmax基本不變.即當(dāng)軛部厚度為永磁體厚度2倍左右時(shí)，即可滿足磁路要求.

綜合考慮FR及Tmax磁路結(jié)構(gòu)，本文取ho=hi=20 mm.

5.2 h1、h2與FR及Tmax關(guān)系

由圖3可知：

R2-R3=h1

R4-R5=h2

(21)

式(21)中，h1、h2分為內(nèi)、外永磁體厚度.

圖8(a)、8(b)分別為h1、h2與FR及Tmax關(guān)系曲線.由圖可知，當(dāng)永磁體厚度增加時(shí)，氣隙磁密不斷增強(qiáng)，F(xiàn)R及Tmax也隨之增加.當(dāng)h≥11 mm時(shí)，即滿足設(shè)計(jì)要求.綜合考慮過載能力及永磁體用量，本文取h1=h2=11 mm.

5.3 e與FR及Tmax關(guān)系

圖9為e與FR及Tmax關(guān)系曲線.從圖中可知，當(dāng)e逐漸減小時(shí)，F(xiàn)R及Tmax均隨之減小.這是因?yàn)楫?dāng)磁場(chǎng)耦合時(shí)， 磁力線總是沿 最 小 磁 阻路徑通過，由于空氣的磁阻為軛鐵(本文選用硅鋼)磁阻的7 000～10 000倍[10]，因此當(dāng)e減小時(shí)，δ增加，對(duì)磁能積消耗也較大.但e過大時(shí)，δ較小，增加裝配的工藝難度，且內(nèi)、外永磁轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)易發(fā)生剮蹭，因此本文選取e=10 mm，其所對(duì)應(yīng)的δ=2 mm.

(a) h 1、h2與FR關(guān)系

圖9 e與FR及Tmax關(guān)系曲線

綜上，可得表2所示的最終優(yōu)化后的模型結(jié)構(gòu)參數(shù)(未變參數(shù)見表1).

表2 優(yōu)化后RPPMG的結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

圖10為優(yōu)化前后的Fr分布曲線.由圖中可知，優(yōu)化后δ較大一側(cè)所對(duì)應(yīng)的Fr幾乎不變，而較小一側(cè)所對(duì)應(yīng)的Fr明顯減小.優(yōu)化后的FR為2.3 kN，較優(yōu)化前表1所示降低11.1%；優(yōu)化后的Td=241 kN·m/m3，較優(yōu)化前提高2.3%.

圖10 優(yōu)化前后Fr與θ關(guān)系曲線

6 結(jié)論

(1)本文提出的環(huán)板式永磁齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)(RPPMG)與環(huán)板式機(jī)械齒輪相同，也可將轉(zhuǎn)臂軸承移至擺線輪外部，大幅延長轉(zhuǎn)臂軸承的使用壽命，并可在較小的尺寸空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)較高的轉(zhuǎn)矩密度及傳動(dòng)比輸出；

(2)RPPMG的傳動(dòng)模式及傳動(dòng)比計(jì)算方法與現(xiàn)有的永磁式擺線齒輪相同，當(dāng)外圈永磁轉(zhuǎn)子繞內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子順時(shí)針公轉(zhuǎn)一周時(shí)，內(nèi)圈永磁轉(zhuǎn)子將繞其自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一對(duì)極角度；

(3)RPPMG的內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子半徑對(duì)轉(zhuǎn)矩的傳遞起關(guān)鍵性作用；當(dāng)內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過半個(gè)磁極角度時(shí)，RPPMG的輸出轉(zhuǎn)矩達(dá)到峰值；

(4)內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子同時(shí)受到切向及徑向電磁力作用；其中，切向電磁力對(duì)內(nèi)永磁轉(zhuǎn)子中心取矩即可形成電磁轉(zhuǎn)矩；而徑向電磁力合力即為不平衡磁拉力，其方向由RPPMG內(nèi)轉(zhuǎn)子幾何中心指向氣隙長度最小處.