邱慧斌，吳俊杰，肖東華，胡天一，鐘乘杰，李曉彬

(南昌大學(xué) 物理系，江西 南昌 330031)

波從波疏介質(zhì)射向波密介質(zhì)時(圖1中介質(zhì)1的折射率小于介質(zhì)2的折射率時),在反射過程中，反射波在離開反射點(diǎn)時的振動方向相對于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時的振動相反，或者說，反射波相對于入射波相位突變π，這種現(xiàn)象叫做半波損失[1,2]. 但這個定義中的“振動相反”，在某些情況下是不好界定的，比如入射角為π/4時，根據(jù)反射定律，反射角也為π/4，那么此時反射波和入射波垂直，于是反射波在離開反射點(diǎn)時的振動方向相對于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時的振動相同還是相反是無法定義的.

圖1 光的反射和折射示意圖

為了使得以上的定義仍然發(fā)揮作用，需要對正方向進(jìn)行規(guī)定，即規(guī)定圖2中光的電場分量箭頭所指方向?yàn)檎较? 如此，則以上的半波損失的定義仍然適用. 但還是存在不足，比如，在圖2(b) 中，當(dāng)介質(zhì)1的折射率小于介質(zhì)2的折射率且入射角為0時，根據(jù)反射定律，反射角也為0，此時發(fā)現(xiàn)：反射波在離開反射點(diǎn)時的振動方向相對于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時的振動相反，但按上述正方向的規(guī)定，反射波相對于入射波相位并未突變π. 這個不足可以通過修改正方向的規(guī)定而克服，比如可修改圖2(b) 中反射波電場分量箭頭方向?yàn)樨?fù)向. 但是作這個修改會產(chǎn)生另一個問題，即考慮在圖2(b) 中，當(dāng)入射角為π/2時，根據(jù)反射定律，反射角也為π/2，此時發(fā)現(xiàn)：反射波在離開反射點(diǎn)時的振動方向相對于入射波到達(dá)入射點(diǎn)時的振動相反，但是此時按修改后的正方向的規(guī)定，反射波相對于入射波相位卻未改變.

這樣修改正方向的規(guī)定雖然消除了一個不足但又產(chǎn)生了另一個不足，此外還有如下缺點(diǎn)：1)對于一般情況，修改后的正方向不直觀；2)要修改教科書中常用的菲涅耳公式，這會給菲涅耳公式的使用造成一定困擾；3)根據(jù)菲涅耳公式得出的已有結(jié)論需要重新審查，常用結(jié)論使用前需要再次確認(rèn)是否正確，多出了檢查過程. 反之，則沒有以上3點(diǎn)缺陷. 綜合以上考慮本文仍采用圖2中正方向的規(guī)定.

圖2 光的電場和磁場垂直和平行分量正方向的規(guī)定示意圖

半波損失是大學(xué)物理中一個重要的概念和知識點(diǎn)，它通常作為用于驗(yàn)證光的電磁理論[3]正確性的一個例子，同時在涉及波的相干疊加問題[4]時需要對它特別加以考慮. 然而就一束光而言，往往很難籠統(tǒng)地說是否有半波損失[4]，因此現(xiàn)有文獻(xiàn)中的討論往往有限制且不完整. 比如，郭碩鴻著的《電動力學(xué)》[3]中提到“在E⊥入射面情形，由(2.12)式，因?yàn)楫?dāng)ε2>ε1時θ>θ″，因此E′/E為負(fù)數(shù)，即反射波電場與入射波電場反相，這現(xiàn)象稱為反射過程中的半波損失.”讀到這句具有分類性質(zhì)的語句時，我們自然地想要窮舉下去，而這里只提到“E⊥入射面情形”情形，那么E∥入射面的情形呢？還有一般情形呢？于是很自然地，我們自己去把這兩種情形補(bǔ)齊，但是發(fā)現(xiàn)：在E∥入射面情形，仍考慮“ε2>ε1,θ>θ”的情況，E′/E為負(fù)數(shù)是有條件的，這個條件是θ+θ″>π/2. 接下來，我們自然想問：如果半波損失是在一定條件下才能發(fā)生，那么這個條件是什么？對于既非平行又非垂直的一般情形，這個條件又是什么？既然ε2>ε1時發(fā)生半波損失是有條件的，它不一定會發(fā)生半波損失，那么ε2<ε1時，有沒有可能發(fā)生半波損失？

我們查閱了相關(guān)教材與文獻(xiàn)[4-8]，發(fā)現(xiàn)都沒有完整給出反射波與入射波間的相位差. 因此，無遺漏地清楚闡明反射光什么時候?qū)l(fā)生半波損失是非常有必要的，這成為本文的重要目標(biāo). 本文將從菲涅耳公式出發(fā)，通過對反射波和入射波振幅的比值關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)解析推演、作圖呈現(xiàn)和分析討論，給出反射光和入射光相位差在折射率-入射角空間的詳細(xì)分布圖，研究表明當(dāng)光束由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時反射波也可能發(fā)生半波損失；而當(dāng)光束由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)時反射波也不是一定會發(fā)生半波損失.

1 結(jié)果

為了理解反射波與入射波之間相位差對入射角和相對折射率的依賴關(guān)系，從麥克斯韋方程組出發(fā)，得到邊值關(guān)系，然后利用邊值關(guān)系求得與著名的菲涅耳公式[3,4,9-11]一致的入射波、反射波和折射波的振幅關(guān)系如下:

(1)

為方便討論，引入E⊥入射面時的反射波與入射波之間的相位差[4]:

(2)

及E‖入射面時的反射波與入射波之間的相位差:

(3)

以上公式以圖3—圖9和表1、表2清晰闡述如下. 從圖3和圖5可以看出，當(dāng)光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時，反射光也可能發(fā)生半波損失(見圖3中線段c及圖5中線段c和e，亦見表1和表 2)；從圖5可以看出，光的電場分量平行于入射面時且入射角在大于等于0和小于布儒斯特角時(圖5中線段a和區(qū)域I)，反射光和入射光的相位差則為-π[指反射光平行電場分量的方向與圖2(b) 中E′所指方向相反]；從圖5亦可以看出，當(dāng)光束由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)時反射波也不是一定會發(fā)生半波損失，比如：光的電場分量平行于入射面時且入射角在大于等于0和小于布儒斯特角時(圖5中線段b和區(qū)域IV)，反射光和入射光的相位差則為0[指反射光平行電場分量的方向與圖2(b) 中E′所指方向相同〗. 另外，本文給出了反射波和入射波之間相位差的所有細(xì)節(jié)，這為涉及反射波和入射波相位差的問題——比如波的相干疊加問題[4]——的解決提供了便利.

圖3中橫坐標(biāo)為入射角θ，是入射光線與入射表面法線的夾角(見圖1)，其取值范圍為[0,π/2]，其中θ=0表示光垂直射向入射表面；θ=π/2表示光平行于入射表面；θ=θB=arctann21時，即入射角為布儒斯特角時，折射角和反射角之和為π/2，此時反射光變?yōu)榇怪庇谌肷涿嫫竦耐耆窆鈁3](見圖4)；θ=θc=arcsinn21時，即入射角為全反射臨界角時，將發(fā)生全反射[4]. 縱坐標(biāo)為介質(zhì)2相對于介質(zhì)1的折射率n21，含義為n21=n2/n1，其取值范圍是(-∞,+∞)，本文聚焦于n21∈(0,+∞)的情況，折射率為零和負(fù)折射率情形將另文研究.n21=0+表示光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率.n21=1表示光在一種介質(zhì)中傳播，或者從一種介質(zhì)射向另一種折射率相同的介質(zhì).n21=+∞表示光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)，且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率. 圖3中6條邊界線(a—f)和2條分界線(g,h)，將圖劃分為3個區(qū)域(I—III). 下面對圖3進(jìn)行詳細(xì)說明.

圖3 反射光和入射光垂直于入射面的電場分量相位差的n21-θ空間分布圖

圖4 以布儒斯特角入射時反射光偏振示意圖

圖6 不同相對折射率下反射光和入射光垂直于入射面的電場分量相位差隨入射角變化曲線

圖7 不同入射角時反射光和入射光垂直于入射面的電場分量相位差隨相對折射率變化曲線

為方便查閱，圖3的相關(guān)內(nèi)容可制成表1.

表1 垂直相位差δ⊥的n21-θ空間分布與標(biāo)識顏色

圖5中6條邊界線(a—f)和3條分界線(g—i)，將圖劃分為5個區(qū)域(I—V). 注意到圖5比圖3多一條分界線h，其原因是：在入射角為布儒斯特角時反射光的垂直電場分量并不會為零，也即在入射角大于和小于布儒斯特角的兩種情況下，反射光的垂直電場分量方向并沒有不同，這與反射光的平行電場分量性質(zhì)不同. 下面對圖5進(jìn)行詳細(xì)說明.

圖5 反射光和入射光平行于入射面的電場分量相位差的n21-θ空間分布圖

圖9 不同入射角時反射光和入射光平行于入射面的電場分量相位差隨相對折射率變化曲線

圖8 不同相對折射率下反射光和入射光平行于入射面的電場分量相位差隨入射角變化曲線

表2 平行相位差δ‖的n21-θ空間分布與標(biāo)識顏色

2 討論和結(jié)論

本文給出了詳盡的兩種非鐵磁質(zhì)的一般正折射率介質(zhì)界面上反射光與入射光電場分量相位差的n21-θ空間分布圖(圖3和圖5)，詳細(xì)給出了反射光發(fā)生半波損失的所有情況和條件(表1和表2). 在《中國中學(xué)教學(xué)百科全書·物理卷》“半波損失”詞條中，對相位突變現(xiàn)象、洛埃鏡實(shí)驗(yàn)和維納光駐波實(shí)驗(yàn)做了說明和解釋. 根據(jù)上述結(jié)果，可對其中的一些問題作出討論：

1)本文研究發(fā)現(xiàn)：在洛埃鏡干涉實(shí)驗(yàn)中，無論是光的平行電場分量還是垂直電場分量，以及無論光是由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)，還是由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，都會發(fā)生相位差π的現(xiàn)象，見圖3中線段c和d及圖5中線段c和d. 因此，文獻(xiàn)[2]在提到掠入射時界面處的反射光與入射光的電矢量振動方向相反時，不需要加上“光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)”這個條件.

2)在維納實(shí)驗(yàn)中，一定是光從光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)才會發(fā)生光駐波現(xiàn)象，因?yàn)橹挥写藭r電場分量是反向的，見圖3和圖5中的線段b. 這里需說明的是，圖5中線段b雖然表示光從光疏介質(zhì)垂直于分界面射向光密介質(zhì)，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的平行于入射面的電場分量不發(fā)生反相[指反射光平行電場分量的方向與圖2(b)中E′所指方向相同]，但是從圖2(b)可以看出，當(dāng)入射角為0時，反射光和入射光的平行于入射面的電場分量雖然不發(fā)生反相，但反射光和入射光的平行于入射面的電場分量方向是相反的. 這樣就非常合理，因?yàn)檎肷淇梢钥醋魇枪獾碾妶龇至看怪庇谌肷涿妫部梢钥醋魇枪獾碾妶龇至科叫杏谌肷涿?，按這兩種情形來討論，理論上應(yīng)給出相同的結(jié)果. 但由于反射光電矢量正方向的選擇(見圖2及引言部分的說明)，數(shù)學(xué)上看上去結(jié)果不同(一個相位差π，一個沒有相位差)，但物理上都表示反射光和入射光的電場分量方向相反.

3)文獻(xiàn)[2]原文提到“界面處的反射光與入射光的電矢量振動方向相反. 這表明兩個光振動的位相差π，折算成光程，相當(dāng)于有半個波長的光程差,故稱這種現(xiàn)象為半波損失”，其實(shí)反射光與入射光的電矢量振動方向相反，并不一定是兩個光振動的相位差π，這與光的電矢量振動的正方向的選取有關(guān). 比如選取圖2(b)中電矢量方向?yàn)檎?，從圖5中線段b可知，光從光疏介質(zhì)垂直于分界面射向光密介質(zhì)，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的電矢量方向相反，但反射光和入射光的相位差為零.我們也可以規(guī)定正方向?yàn)橄喾捶较颍缫灾幸烟岬降?，本文仍采用圖2中正方向的規(guī)定是因?yàn)槔嘤诒?

4)文獻(xiàn)[2]原文提到“還可證明兩個結(jié)論. ①光從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時，在非掠入射的情況下，反射光相對于入射光無半波損失”，其實(shí)如果半波損失根據(jù)“反射光和入射光相位差π”來定義，那么文獻(xiàn)里漏了一種情況，即光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)且光疏介質(zhì)的折射率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光密介質(zhì)的折射率，在界面處發(fā)生反射，反射光和入射光的平行于入射面的電場分量相位差π，見圖5線段e.

半波損失是物理中一個重要的概念和知識點(diǎn)，它通常作為用于驗(yàn)證光的電磁理論正確性的一個例子，同時在涉及波的相干疊加問題[4]時需要對它特別加以考慮. 我們的研究進(jìn)一步驗(yàn)證了電磁場理論的正確性，澄清和補(bǔ)充了一些現(xiàn)有教科書和科普讀物中不很明確的結(jié)論，將有助于加強(qiáng)人們對麥克斯韋電磁理論的信心和認(rèn)同，同時激發(fā)同學(xué)們對包含麥克斯韋方程的更宏大統(tǒng)一場理論的興趣，有助于大學(xué)物理知識的講學(xué)、傳承和發(fā)揚(yáng).

致謝：感謝袁尤龍、朱宇晴、彭行坤、張鴻輝、陳江村、蔡奇龍、吳勝發(fā)等同學(xué)參與制圖和討論.