王義全，陳 笑，吳泓元，鄒 斌，蔡園園

(中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081 )

干涉、衍射和偏振是波動的基本特征.光的干涉、衍射和偏振現(xiàn)象是光具有波動性的有力證據(jù)，是波動光學(xué)研究的主要內(nèi)容，也是光學(xué)這個古老學(xué)科在信息技術(shù)領(lǐng)域中煥發(fā)創(chuàng)新活力的物理基礎(chǔ).光的干涉現(xiàn)象是指兩個或者多個光波在某區(qū)域疊加時，在疊加區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的強(qiáng)度穩(wěn)定的強(qiáng)弱分布現(xiàn)象[1-3].

目前，在光波干涉和衍射理論教學(xué)中(如楊氏雙縫干涉、薄膜干涉等)，以及相關(guān)光學(xué)實驗教學(xué)中(如菲涅耳雙棱鏡干涉、牛頓環(huán)、邁克耳孫干涉、馬赫-曾德干涉和F-P干涉等)，多數(shù)都是通過計算兩束光到達(dá)觀測點的光程差來判定光波疊加區(qū)域的光場分布.若光程差為波長整數(shù)倍，則空間該處為亮點(明紋)；若光程差為半波長奇數(shù)倍，則對應(yīng)點為暗點(暗紋).

兩列波的干涉比較簡單，因為兩列波通過分析光束傳輸?shù)膶嶋H幾何路徑，從而得到兩列波的光程差，由光程差確定光場的分布，簡單直觀.但在教學(xué)中教師和學(xué)生的注意力都集中在光程差的計算，往往容易淡化光的波動特性，在學(xué)生的腦海中較難構(gòu)建出波動的物理圖像.另外，光程法雖然能比較容易確定空間亮點和暗點，但是即使在入射場完全確定的情況下，干涉場中每一點的光強(qiáng)大小也無法提供可參考的量化關(guān)系，不能為利用測量干涉條紋進(jìn)行線度或角度的分析應(yīng)用提供數(shù)值判斷依據(jù).其次，在討論多光束干涉時，任意兩束光的光程差可以確定，但干涉場的分布是由這些光的光程差的分布決定，而光程差的分布比較復(fù)雜，利用光程差的分布確定光場分布比較困難.第四，薄膜干涉中，干涉場的分布是由與觀察屏上點對應(yīng)的薄膜位置的兩反射點之間的光程差確定，分析中關(guān)注的是薄膜表面點上的反射，容易讓學(xué)生造成干涉是薄膜表面與觀察屏上點對點的行為，更不利于學(xué)生波動思維的建立.作為光程法在光的干涉和衍射教學(xué)中的有益補(bǔ)充，我們嘗試在大學(xué)物理課程中利用波前函數(shù)法分析光波的干涉現(xiàn)象，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的波動概念和物理圖像，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)信息光學(xué)等相關(guān)課程奠定扎實的物理基礎(chǔ).

1 波前函數(shù)法

平面簡諧波

(1)

球面簡諧波

(2)

柱面簡諧波

(3)

為方便起見，我們只討論其空間分布，則3種波對應(yīng)的復(fù)振幅表示分別為：

平面簡諧波

(4)

球面簡諧波

(5)

柱面簡諧波

(6)

這3種波在傳播過程中的等相面分別為平面、球面和柱面.

雖然不同形式的電磁波傳輸過程各不相同，但在實際應(yīng)用中，我們并不直接關(guān)注它們在傳播過程中波陣面的形狀，而是關(guān)注在光信號接收區(qū)里光的振幅和相位的分布，這個區(qū)域一般是一定大小的曲面或平面.在干涉或衍射實驗中，這個區(qū)域就是我們觀察干涉條紋或衍射圖樣的觀察屏.在大多情況下，這個特定曲面或平面和波陣面是不重合的，因此找到相互疊加的兩列波在這個特定面上的振幅和相位分布是研究光束干涉結(jié)果的關(guān)鍵.光在該面上的振幅和相位分布函數(shù)，稱為該波在這一特定面上的波前函數(shù).

如圖1所示，xOy平面是接收平面，平面波或球面波傳播到該平面上的振幅和相位分布就稱為該光波在xOy面上的波前函數(shù).

(a)平面波及其共軛波前 (b)球面波及其共軛波前

如圖1(a)所示，波矢在xOz平面，沿與水平方向夾角為θ方向傳播的平面波，在空間任一點r處的復(fù)振幅為

Aeik(x sin θ+z cos θ)

(7)

其中kx=ksinθ,ky=0,kz=kcosθ.當(dāng)z=0時，該平面波在xOy平面上的波前函數(shù)為

(8)

其對應(yīng)共軛平面波的波前函數(shù)表示為

(9)

同理，若入射的是發(fā)散球面波:

(10)

(11)

發(fā)散球面波的共軛球面波為會聚球面波，會聚中心為Q(0,0,R)，它在xOy平面上的波前函數(shù)為

(12)

2 雙孔干涉的波前函數(shù)分析法

我們所討論的干涉實驗裝置如圖2所示，是由位于左側(cè)的單孔屏、位于右側(cè)的觀察屏xOy，以及位于單孔屏和觀察屏之間的雙孔屏組成，三屏彼此平行，雙孔屏上兩小孔的間距為d，雙孔屏與觀察屏之間的距離為D. 單孔屏的孔位于光軸上，雙孔屏上的兩孔S1、S2對稱分布于光軸上下兩側(cè).

圖2 楊氏雙縫干涉實驗示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系，從S1、S2兩小孔發(fā)出的光到觀察屏上P點的光程差為

(13)

因此對應(yīng)亮條紋的位置為

(14)

暗條紋的位置為

(15)

條紋間隔為

(16)

在上述明暗條紋分析中，雖然用到了光程差和波長概念，但我們是通過討論兩條幾何路徑中距離的差來確定光場的分布，并沒有體現(xiàn)從S1、S2發(fā)出的球面波在觀察屏上的疊加，學(xué)生認(rèn)為觀察屏上不同點的差別就是由距離的不同造成的，沒有形成兩列波疊加的概念.下面我們采用波前函數(shù)法分析屏上干涉場分布，這一過程可以幫助學(xué)生在求解過程中建立起光波的傳輸圖像，而且很自然的形成兩列波疊加產(chǎn)生干涉的思想.

下面我們利用波前函數(shù)法討論雙孔干涉.由雙孔對于位于光軸上的單孔是對稱的，從觀察屏xOy平面上看，位于雙孔屏上的兩個孔，相當(dāng)于兩個初相相同、振幅A相同的點光源，它們分別發(fā)出球面波向xOy平面?zhèn)鞑?，兩點光源的坐標(biāo)分別記為(2/d，0，-D)和(-2/d,0,-D).根據(jù)波前函數(shù)的定義，在傍軸條件下，兩球面波在xOy平面上的波前函數(shù)為

(17)

(18)

(19)

因此，在xOy平面的光強(qiáng)分布I(x,y)為

(20)

由此可見，由波前函數(shù)法所求得的條紋分布與利用光程法求得的條紋分布相同，但利用波前函數(shù)法求條紋的分布過程中，一方面刻畫出了光束波動傳播的物理圖像，同時凸顯了光的干涉是兩列波疊加的概念，在波的干涉教學(xué)中更好地體現(xiàn)出波動的思想.另外，當(dāng)入射光確定的情況下，波前函數(shù)法還能精確給出干涉場中任何一點的光強(qiáng)，更為重要的是，通過波前函數(shù)法求兩束光的干涉，給學(xué)生提供了討論多光束干涉思路和方法，因此，波前函數(shù)法可以更為全面地描繪出干涉場分布.

3 薄膜干涉的波前函數(shù)分析法

下面我們再利用波前函數(shù)法分析另一種干涉——分振幅干涉.分振幅干涉的典型代表為薄膜干涉，我們以等傾干涉為例，利用波前函數(shù)法分析薄膜干涉的光場分布. 如圖3所示為等傾干涉實驗示意圖.圖中A為置于均勻薄膜右側(cè)、距離a的點光源，薄膜厚度為d，折射率為n，光源A右側(cè)為一焦距為f的凸透鏡，薄膜和觀察屏分別置于凸透鏡的物方焦平面和像方焦平面上.位于A點的光源發(fā)出的光，經(jīng)過左側(cè)薄膜兩表面的反射，經(jīng)過透鏡后，在透鏡的焦平面上會聚而發(fā)生干涉.干涉條紋為以光軸和屏的交點為中心的一系列同心圓環(huán).根據(jù)光程法，入射光在薄膜兩表面反射造成的光程差為Δ=2ndcosγ±λ/2.當(dāng)光程差為波長整數(shù)倍是亮環(huán)，當(dāng)光程差為半波長奇數(shù)倍時為暗環(huán).

在利用光程法討論薄膜干涉時，教師和學(xué)生的注意力幾乎全部集中在利用幾何關(guān)系計算一定傾角入射的光在薄膜兩表面反射所造成的光程差，由光程差的數(shù)值決定觀察屏上對應(yīng)點的光強(qiáng)分布，并沒有體現(xiàn)兩個反射光在觀察屏上疊加而發(fā)生干涉，致使學(xué)生把薄膜作為討論干涉的主題，而忽略了干涉是兩列波的疊加.為在薄膜干涉的教學(xué)中充分體現(xiàn)波動及波的疊加，我們利用波前法構(gòu)建波的疊加的薄膜干涉圖像.在圖3中，光源A通過左側(cè)薄膜的兩表面分別成像B和C，從兩表面反射的光，可以分別看作從B點和C點發(fā)出的發(fā)散球面波，兩發(fā)散的球面波經(jīng)透鏡后，轉(zhuǎn)化為會聚點位于光軸B′、C′處的兩會聚球面波，兩球面波在焦平面上疊加形成干涉條紋.

圖3 薄膜等傾干涉裝置示意圖

設(shè)會聚中心B′、C′到觀察屏的距離分別是z1、z2. 根據(jù)幾何光學(xué)的高斯公式，可以推導(dǎo)出B、C經(jīng)過透鏡后的位置z1、z2分別為：

(21)

(22)

為使討論簡化，且不失一般性，在薄膜表面對光的反射率較低的情況下，從薄膜的兩表面反射光強(qiáng)基本相等.兩束會聚球面波在位于像方焦平面的觀察屏上的波前函數(shù)分別為：

(23)

(24)

(25)

因此觀察屏上的光強(qiáng)為

(26)

將式(23)和(24)代入式(26)，可得

(27)

將式(21)和(22)代入(27)，得

(28)

為驗證基于波前函數(shù)分析法的干涉結(jié)果，我們數(shù)值模擬了觀察屏上的光強(qiáng)分布，計算結(jié)果如圖4所示. 圖4(a)—(c)所設(shè)定的薄膜厚度分別為25 μm、50 μm和100 μm，光源A設(shè)定為He-Ne激光發(fā)出的波長632.8 nm的光束，透鏡焦距為400 mm，點光源距離透鏡200 mm，薄膜的折射率為2. 根據(jù)式(28)，仿真結(jié)果和利用光程法求得的光場分布完全相同.當(dāng)薄膜厚度減小，圓環(huán)向中心收縮并中心吞沒，當(dāng)薄膜厚度增加，條紋從中心涌出并向四周擴(kuò)散.

(a) d=25 μm (b) d=50μm (c) d=100 μm

4 結(jié)論

在教學(xué)中，為加強(qiáng)學(xué)生對光學(xué)波動圖像的理解，以及光場疊加產(chǎn)生干涉的物理思想的滲入，在加強(qiáng)光程法討論光的干涉的基礎(chǔ)上，借助于信息光學(xué)的波前函數(shù)法，提出利用波前函數(shù)疊加的方法，分析楊氏干涉和薄膜干涉的光場分布.波前函數(shù)分析法不僅能使學(xué)生正確理解光波疊加干涉的現(xiàn)象，而且也能讓學(xué)生真正從波動學(xué)的角度，動態(tài)理解波的干涉過程，對深層次理解波動圖像具有一定的意義.