馬 榮，李 斌，王 璐

(1. 南京信息工程大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，江蘇 南京 210044；2. 南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

固體物理是一門研究固體的微觀結(jié)構(gòu)及其組成粒子之間的相互作用與運動規(guī)律的學(xué)科，它緊密結(jié)合了當(dāng)今最活躍的凝聚態(tài)物理中的半導(dǎo)體物理、超導(dǎo)電性、磁學(xué)、表面與低維物理等分支學(xué)科的研究前沿. 本課程的教學(xué)內(nèi)容主要包括晶格理論、能帶理論、電子在電場和磁場中運動、金屬電子論及所涉及學(xué)科的發(fā)展前沿和應(yīng)用[1,2]. 由于教學(xué)內(nèi)容涉及大量的三維晶體結(jié)構(gòu)、圖形和嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，需要學(xué)生具有豐富的空間想象能力、扎實的理論知識基礎(chǔ)和較強的物理思想，這使得固體物理的教學(xué)面臨很大的挑戰(zhàn). 首先，學(xué)生在大腦中建立空間立體模型比較困難，教師往往花費很大精力在黑板上板書講解，卻達不到理想的效果. 其次，教學(xué)中繁雜的物理公式和數(shù)學(xué)推導(dǎo)會讓學(xué)生不勝其煩，忽略對物理圖像和物理問題本質(zhì)的把握. 因此，如何引導(dǎo)學(xué)生對固體物理知識點進行記憶和理解，掌握學(xué)習(xí)該課程的方法，是一項有意義和值得深入研究的課題[3-8]. 在教學(xué)中，教師需要改進教學(xué)理念，課堂上應(yīng)注重融入多元化的新元素，豐富教學(xué)內(nèi)容. 對于復(fù)雜、抽象的知識點，教師不但要仔細研究國內(nèi)外不同教材和文獻中的講授方法，而且要緊密結(jié)合學(xué)科前沿發(fā)展，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，設(shè)計由淺入深的講授邏輯，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

本文從固體物理教學(xué)實際出發(fā)，以晶格結(jié)構(gòu)、電子能帶結(jié)構(gòu)、電子態(tài)密度、晶格振動和聲子色散關(guān)系這些概念抽象、理論推導(dǎo)繁瑣但又非常重要的基礎(chǔ)知識為切入點，引入和穿插簡單金屬化合物二硼化鎂材料(MgB2)的科研進展為具體教學(xué)案例，把原來課堂上抽象的概念、原理用直觀、形象的物理圖像展現(xiàn)出來，使學(xué)生獲得感性認識，進而深刻理解固體物理的知識點，了解當(dāng)前跟物理材料相關(guān)的前沿科學(xué)問題，以此充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性和創(chuàng)造性. 這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)改善了傳統(tǒng)教學(xué)形式單一，只注重知識點的灌輸，而忽略對學(xué)生學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的問題，有利于提高教與學(xué)的效率.

1 輔助講解三維晶格結(jié)構(gòu)特點

晶格結(jié)構(gòu)及其周期性是學(xué)好固體物理學(xué)的基礎(chǔ)，但是對于初學(xué)者來說，這部分內(nèi)容是不容易掌握的，主要原因是晶體格子都是三維立體結(jié)構(gòu)，書本上只能展示平面示意圖，學(xué)生很難理解晶格結(jié)構(gòu)的特點，尤其是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的六角晶胞、復(fù)式晶格，需要學(xué)生具有很好的空間想象能力. 這時教師只采用單純的板書講解或者課件演示平面圖片的教學(xué)方式，對幫助學(xué)生理解晶格結(jié)構(gòu)的特點意義不大. 因此，三維晶體建模及多角度立體演示在晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中顯得尤為重要.

通過科研計算軟件Materials Studio建立各種類型的三維立體晶格模型，可以實現(xiàn)對晶體結(jié)構(gòu)進行三維空間全方位360°旋轉(zhuǎn)展示，從不同空間角度去演示晶格結(jié)構(gòu)特點，通過調(diào)整原子的大小、顏色、晶格常數(shù)等，使得學(xué)生對立體晶格的結(jié)構(gòu)特點有直觀、深刻的印象. 這樣不僅幫助學(xué)生準確地理解晶體的空間結(jié)構(gòu)，還有助于學(xué)生對原胞、晶胞和基矢等基本概念的理解. 下面以六角密排結(jié)構(gòu)的復(fù)式晶格MgB2為具體實例，說明構(gòu)建三維晶體模型及多方位演示在處理晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中的優(yōu)勢.

體相結(jié)構(gòu)和基矢 俯視圖 原胞結(jié)構(gòu)圖

這樣，教師通過課堂上多角度、多方位地演示搭建的三維晶格模型，能夠清晰講解六角密排晶格的結(jié)構(gòu)特征，把原來課堂上抽象的概念、原理轉(zhuǎn)變成直觀的形式展現(xiàn)出來. 展示的物理圖像不但形象、立體，可多角度旋轉(zhuǎn)，又可直接看出原子之間價鍵的連接情況，使學(xué)生深度掌握六角密排晶格的空間立體性特點，強化記憶，提高學(xué)習(xí)效率. 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生自己在計算機上建立晶格模型，這對知識點的深入理解有很大幫助.

2 輔助理解電子能帶結(jié)構(gòu)

能帶理論是固體物理教學(xué)中最重要的內(nèi)容之一. 能帶是電子的結(jié)構(gòu)圖，描述了電子態(tài)的能量分布. 固體中由于存在大量的電子，每個電子運動都要受到其它電子運動的影響，因此人們不可能嚴格求解多電子系統(tǒng)，必須做一些近似和簡化處理. 教材中將各個電子的運動近似看成是相互獨立的，即“單電子理論”，每個電子是在一個具有周期性的勢場中運動，然后通過求解含周期性勢場的薛定諤方程來得到能量本征值. 在求解過程中，要將哈密頓量的動能、電子-電子相互作用勢能以及原子核與電子間的相互勢能做近似和特殊處理. 這部分教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)要求很高，需要應(yīng)用量子力學(xué)中的微擾理論結(jié)合晶體結(jié)構(gòu)進行計算. 如果教師依然采取單一的教學(xué)模式，過多地注重繁瑣復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)和理論計算過程，而忽略了學(xué)生對電子能帶物理圖像本身的理解，不但會使課堂變得枯燥、乏味，而且教學(xué)效果也會大打折扣.

雖然教材中展示了基于一維原子鏈模型推導(dǎo)的電子能帶表達式及能帶結(jié)構(gòu)示意圖，但是這對學(xué)生深入理解實際材料中能帶的形成、能帶結(jié)構(gòu)的特點是遠遠不夠的. 我們可以結(jié)合現(xiàn)有的科研成果，展示不同晶體的電子能帶結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更直觀地理解導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的區(qū)別，有助于掌握固體中價帶、導(dǎo)帶和帶隙的概念. 不但可以讓枯燥的理論教學(xué)變得生動有趣，還可以豐富優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生更清楚地了解能帶的內(nèi)涵，完成對能帶的初步分析. 以金屬化合物材料MgB2的能帶圖[10,11]為例，引導(dǎo)學(xué)生分析理解該材料的能帶結(jié)構(gòu)特點，并做進一步討論.

在固體中，能帶圖實際上是電子的能量E與波矢k的關(guān)系，能量大小與k的方向有密切關(guān)系，這比自由電子的拋物線關(guān)系要復(fù)雜得多，也不同于束縛電子的量子化能級關(guān)系,需要通過數(shù)值模擬反復(fù)迭代求解晶體的薛定諤方程才能得到.把計算的電子能量E與波矢k的關(guān)系，沿著布里淵區(qū)的各個方向表示出來，就得到電子能帶結(jié)構(gòu).圖2是MgB2的能帶結(jié)構(gòu)圖.人們通常把絕對零度時電子填充的最高能級定義為費米能級EF.這里設(shè)定EF=0.在半導(dǎo)體中，費米能級以下為價帶，費米能級以上為導(dǎo)帶.通過三維晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖，可以更為直觀地解釋價帶、導(dǎo)帶的概念，以及展示價帶頂和導(dǎo)帶底的位置，更清楚的講解直接半導(dǎo)體和間接半導(dǎo)體的區(qū)別.結(jié)合MgB2的能帶圖，學(xué)生清楚地看到，電子能帶穿過費米能級EF，系統(tǒng)具有金屬性特征. 來自于B原子2p態(tài)的σ和π帶都出現(xiàn)在費米能級EF附近. σ?guī)荁原子平面通過sp2雜化后形成的，沿Γ-A方向，σ?guī)Ь哂袃芍睾啿⑿?，且色散關(guān)系較弱，反映了σ?guī)Ь哂忻黠@的二維特征. π帶由B原子的pz態(tài)形成，穿過費米能級EF，沿Γ-A方向色散較強，具有明顯的三維特性. 穿過費米能級的電子態(tài)具有電子與空穴共存的特征，π成鍵帶(空穴型)與費米能級在K和M點附近相交. π反成鍵帶(電子型)與費米能級在L點附近相交. 通過這一系列能帶結(jié)構(gòu)分析，學(xué)生能準確判斷MgB2是一種具有金屬性導(dǎo)電特征的化合物.

圖2 MgB2的電子能帶結(jié)構(gòu)，設(shè)定費米能級EF=0 eV

實踐證明，將MgB2的電子能帶結(jié)構(gòu)的科研成果融入到課堂教學(xué)中，不但可以加深學(xué)生對價帶、導(dǎo)帶、金屬、半導(dǎo)體等能帶理論部分知識基本概念和理論的理解，還可以幫助學(xué)生將書本上的理論知識聯(lián)系實際，提高學(xué)習(xí)熱情和積極探索知識的能力，為今后從事科研打下良好的基礎(chǔ).

3 輔助理解電子態(tài)密度

電子的態(tài)密度(Density of States)是與電子能帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的物理量. 在晶體中，能級呈準連續(xù)分布，從而形成能帶. 各個電子能級的排列非常密集，這個密集程度能夠直接反映在某一能量范圍內(nèi)存在多少電子. 那么如何來表征這種電子能級的密集程度呢？于是人們就引入了電子態(tài)密度的概念. 電子態(tài)密度表示的是單位能量范圍內(nèi)的電子數(shù)目，即能量介于E～E+ΔE間的量子態(tài)的數(shù)目與能量差之比，是能帶結(jié)構(gòu)圖中數(shù)據(jù)可視化的結(jié)果. 從電子態(tài)密度圖上很容易得到晶格中不同原子或電子軌道對總態(tài)密度的貢獻. 在這部分知識的教學(xué)中，除了要講授清楚態(tài)密度的計算數(shù)學(xué)公式以外，也可以結(jié)合實際材料的電子態(tài)密度圖，幫助學(xué)生建立起電子能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度一一對應(yīng)關(guān)系的物理圖像，這樣不但加深對前面能帶部分知識的理解，而且也將理論聯(lián)系實際，極大的豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，有助于深入理解態(tài)密度的基本概念.

還是以MgB2為例進行分析. 圖3是MgB2的總態(tài)密度[10,11]和各個原子態(tài)密度圖. 結(jié)合前面第二部分的電子能帶結(jié)構(gòu)圖來幫助學(xué)生分析電子態(tài)密度的特征. 首先，電子能帶是動量空間上電子能量本征值的分布，而態(tài)密度則代表電子態(tài)在單位能量區(qū)間內(nèi)的分布. 因此能帶沒有出現(xiàn)的地方，態(tài)密度的值相應(yīng)地就是零. 其次，電子能帶越平坦的地方，態(tài)密度的峰值就越大，相反地，電子能帶越陡峭的地方，態(tài)密度的峰值就越小. 由此，學(xué)生不難理解，為什么電子態(tài)密度圖上的曲線會出現(xiàn)高高低低的峰值了. 最后，簡單介紹局域態(tài)密度和分波態(tài)密度的概念. 局域態(tài)密度是指晶格中所有原子的電子態(tài)對總態(tài)密度的貢獻，是分解到每個原子位置的態(tài)密度以及原子間隙的態(tài)密度之和. 如果相鄰原子的局域態(tài)密度在同一個能量位置出現(xiàn)尖峰，說明這兩個原子間存在著雜化作用，那么這個峰值就稱為雜化峰. 分波態(tài)密度是指確定總態(tài)密度主要由s、p、d等具體電子態(tài)構(gòu)成，根據(jù)角動量的球諧函數(shù)求解相應(yīng)軌道對態(tài)密度的貢獻. 在MgB2中，EF附近總態(tài)密度為0.72 states/eV) . 從圖上明顯看出，B原子對總態(tài)密度的貢獻要比Mg原子大得多，這說明了MgB2的態(tài)密度主要是由B原子的態(tài)密度所決定的. 這與圖2所示的具有準二維特性的B原子的σ?guī)У慕Y(jié)果一致. 也正是B原子表現(xiàn)出的金屬性，從而導(dǎo)致了MgB2導(dǎo)電性的出現(xiàn). 這些結(jié)果，學(xué)生都能很容易地通過態(tài)密度圖得到. 因此，結(jié)合科學(xué)前沿進展講解分析金屬材料的電子態(tài)密度特征，有助于學(xué)生加深對能帶、電子態(tài)密度概念的深入理解.

圖3 MgB2的總態(tài)密度及各原子的態(tài)密度

4 輔助講解晶格振動理論和聲子色散關(guān)系

聲子是固體物理中提出的重要概念，用來描述晶格的簡諧振動，在處理物質(zhì)熱學(xué)性質(zhì)、晶格-電聲子相互作用以及晶格-光子相互作用中發(fā)揮重要的作用. 究竟什么是聲子呢？這本身就是個很抽象的概念. 我們知道，晶格中的格點表示的是各個原子所處的平衡位置，這些原子在其平衡位置附近作振動. 由于晶體內(nèi)部各原子間有相互作用，因此各原子的振動必然是相互關(guān)聯(lián)的，于是晶體中就形成了格波. 在振動很微弱的情況下，原子間的相互作用力可近似看作是簡諧的. 這樣在簡諧近似的情況下，振動模式可以認為是獨立存在的. 由于晶體具有平移對稱性特點，振動模式所取的一系列能量值不是連續(xù)分布的，而是分立的值. 通常用一系列獨立的諧振子來描述這些獨立的振動模式，它們的能量量子就稱為聲子. 聲子的能量與動量的關(guān)系，就是通常說的聲子色散關(guān)系或者聲子譜.

在這部分教學(xué)中，最突出的問題就是數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)過多，例如，在引入聲子的概念時需要應(yīng)用量子力學(xué)知識，將哈密頓量用簡正坐標來表示；而且涉及傅立葉坐標變換等復(fù)雜、嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，學(xué)習(xí)難度比較大. 這時教師絕不能按部就班的把所有的理論推導(dǎo)和證明過程都放到多媒體課件中，然后照本宣科地講一遍. 這難免會讓學(xué)生覺得理論知識枯燥乏味，深奧難懂，很難調(diào)動課堂的學(xué)習(xí)積極性. 因此，教師要從教學(xué)內(nèi)容的整體上進行有效把握，注重講解基本概念、建立物理圖像和分析問題的方法. 接下來，以分析MgB2的聲子譜為教學(xué)案列，穿插到聲子相關(guān)章節(jié)的教學(xué)中，形象生動地講解聲子的概念，提高教學(xué)效率.

如果晶格整體作平移振動，其內(nèi)部各個原子的相對位置保持不變，則對應(yīng)的聲子稱為聲學(xué)聲子(或聲學(xué)波). 如果晶格內(nèi)部各原子間發(fā)生相對運動，則對應(yīng)的聲子稱為光學(xué)聲子(或光學(xué)波). 對于包含N個原子的原胞來說，由于每個原子的自由度為3，那么總的自由度為3N，而晶格整體平移的自由度為3，因此共有3N個聲子.這其中包含3個聲學(xué)波和3N-3個光學(xué)波.對于化合物MgB2，原胞含有3個原子，因此在布里淵區(qū)中心Γ點共有9種聲子振動模式，其中3種是聲學(xué)模，6種是光學(xué)模，如圖4所示. 3種聲學(xué)模的振動形式分別是：A2u(晶格整體沿豎直方向做剛性位移)、E1u(晶格整體在水平面內(nèi)做剛性位移，具有兩重簡并性). 此外，6種光學(xué)模的振動形式分別是：B1g(B原子層內(nèi)近鄰的兩個B原子沿豎直方向反向運動)、A2u(Mg與B平面沿豎直方向反向運動)、E2g(B原子層內(nèi)相鄰原子在水平面內(nèi)相向運動，具有兩重簡并性)以及E1u(Mg與B平面在水平面內(nèi)反向運動，具有兩重簡并性).

圖4 MgB2在Γ點的聲子位移模式：左邊兩列是光學(xué)模，右邊一列是聲學(xué)模. (a)、(b)對應(yīng)著簡并E模的兩種不同的位移模式

傳統(tǒng)超導(dǎo)體是BCS超導(dǎo)機制，在BCS超導(dǎo)機制中，費米能級EF附近動量相反的兩個電子結(jié)合成超導(dǎo)庫珀對，人們通過求解Eliashberg譜函數(shù)和電子-聲子耦合常數(shù)就可以計算出超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度. 這部分內(nèi)容為學(xué)有余力的學(xué)生拓寬知識面，幫助他們更深入地理解超導(dǎo)物理機制.

根據(jù)Migdal-Elishberg理論[12,13]，由電子-聲子相互作用引起的聲子線寬為

(1)

(2)

這里N(EF)表示費米能級附近單個自旋的總態(tài)密度,ωqυ表示第υ支聲子在波矢q處的振動頻率.電子-聲子耦合常數(shù)λqυ可以通過布里淵區(qū)的求和或者Eliashberg譜函數(shù)在頻率空間的積分而獲得[12,13]

(3)

其中第υ支聲子在波矢q處所誘導(dǎo)的電子-聲子耦合常數(shù)λqυ定義為

(4)

圖5是MgB2的聲子色散關(guān)系、Eliashberg譜函數(shù)α2F(ω)和電子-聲子耦合常數(shù)λqυ[14-16].如圖5(a)所示，黑色實線表示的是聲子色散關(guān)系，用數(shù)字1，2，…，9分別標記9種不同的聲子振動模式，其中1—3標記的是聲學(xué)波，4—9標記的是光學(xué)波. 整個聲子譜中都沒有出現(xiàn)虛頻，這表明晶格發(fā)生畸變后，MgB2依然具有動力學(xué)穩(wěn)定性. 從圖5(b)很容易看出，譜函數(shù)α2F(ω)按照頻率的高低可以大致劃分為3個區(qū)域：低頻段主要來自3個聲學(xué)波的貢獻(即以數(shù)字1—3標記的Mg原子和B原子的集體運動產(chǎn)生的振動模式)；中頻區(qū)域主要來自光學(xué)模E1u和A2u(即以數(shù)字4—6標記的Mg原子和B原子間發(fā)生相互運動產(chǎn)生的振動模式)；高頻區(qū)域主要來自光學(xué)模E2g和B1g的貢獻(即以數(shù)字7—9標記的B原子間的相對運動振動模式). 從圖5(b)還可以看出，譜函數(shù)α2F(ω)在600 cm-1附近出現(xiàn)了尖銳的峰值，這主要來源于高頻E2g聲子振動模式的貢獻. 根據(jù)公式(4)，能夠計算出第υ支聲子在任意波矢q處所誘導(dǎo)的電子-聲子耦合常數(shù)λqυ，在圖5(a)中用一系列黑點表示.這里黑點越大越粗，代表該處的電子-聲子耦合常數(shù)λqυ的值越大.因此能夠直觀地看出，高頻E2g聲子振動與平面電子的相互作用對電子-聲子耦合強度有很大貢獻，即MgB2中的電子主要和高頻聲子間有較強的耦合作用. 根據(jù)公式(3)，計算得到總的電子-聲子耦合常數(shù)約為λ=0.87，因此可以認為MgB2是一種強電子-聲子耦合的金屬化合物.

圖5 MgB2的(a)聲子色散關(guān)系和電子-聲子耦合強度,其中黑色實線表示聲子色散關(guān)系，黑點表示該處的電子-聲子耦合強度λqυ；(b)Eliashberg譜函數(shù).

通過引入MgB2聲子的位移模式示意圖，分析聲子譜的特征，能夠幫助學(xué)生對聲子概念有形象、直觀的印象，并將聲子與電子色散關(guān)系區(qū)別理解，有助于學(xué)生建立清晰的物理圖像.

5 結(jié)束語

教學(xué)一定要適應(yīng)時代的變化，本文緊跟學(xué)科前沿發(fā)展，將相關(guān)科研成果轉(zhuǎn)化為教學(xué)案例，融入到固體物理課程中輔助教學(xué). 通過構(gòu)建和展示MgB2三維立體晶格結(jié)構(gòu)圖，使用較為直觀的語言分析了MgB2的電子能帶結(jié)構(gòu)和電子態(tài)密度圖的物理含義，深入淺出地介紹了晶格振動模式及聲子譜的物理圖像. 這些直觀而深刻的教學(xué)案例，使得原本抽象枯燥的理論教學(xué)變得具體而生動，為固體物理課程學(xué)習(xí)增添了很多樂趣，更重要的是增強了學(xué)生對知識理解的深度和廣度，提高了學(xué)習(xí)效率，讓他們在學(xué)習(xí)新知識的同時，將理論聯(lián)系實際，提高了解決問題的能力.