遲童心

【摘要】新時代課程改革背景下，初高中教學銜接的意義愈發(fā)凸顯.函數(shù)內(nèi)容在初中教材和高中教材中均有涉及，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確說明將函數(shù)納入預備知識中.本文以函數(shù)內(nèi)容為例，進行初高中教學銜接的研究，旨在幫助學生適應初中數(shù)學到高中數(shù)學的轉(zhuǎn)變.

【關鍵詞】函數(shù);初高中;教學銜接

一、引言

新時代教育背景下，由于初中數(shù)學與高中數(shù)學的層次不同、跨度較大、側(cè)重點不一致、抽象性差異等原因?qū)е聦W生在高中數(shù)學學習階段數(shù)學思維很難轉(zhuǎn)變，對于新的知識內(nèi)容無法準確理解.很多高中教師也反映學生的基礎知識不夠扎實，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成不夠完善.這對于教師的教學工作來說無疑是嚴峻的挑戰(zhàn).因此，初高中的銜接問題也成為教育界乃至社會各界廣泛關注的重點.

函數(shù)通過構(gòu)建模型來刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)量關系，進而通過對數(shù)量關系的探索解釋現(xiàn)實世界，這體現(xiàn)在數(shù)學、物理等多個學科以及各個領域中.函數(shù)內(nèi)容作為數(shù)學學習的主線之一貫串學生的整個初中、高中、大學以及研究生的學習階段.函數(shù)與初高中數(shù)學中的方程、不等式有著十分密切的聯(lián)系.因此，函數(shù)內(nèi)容對于中學階段數(shù)學學習的關鍵是不言而喻的，而函數(shù)概念作為函數(shù)知識內(nèi)容的基礎也是函數(shù)內(nèi)容的核心，它的關鍵作用更加突出.

函數(shù)已經(jīng)成為初高中數(shù)學的重要紐帶之一.從初中到高中的學習階段，函數(shù)部分由淺入深、層層遞進，高中階段的部分函數(shù)相關知識內(nèi)容建立在初中階段的基礎上，做好初高中教學的銜接對函數(shù)部分的學習有著至關重要的作用.

二、初高中教學不易銜接的原因

（一）初高中學生認知發(fā)展不同

初中學生和高中學生相比無論是信息加工處理、空間想象能力，還是思維整體結(jié)構(gòu)發(fā)展都具有不同的階段性發(fā)展特征.因此，高中階段的數(shù)學學習更加抽象化、復雜化，比較脫離生活實際.而高中函數(shù)的學習是在高一階段，這個時候?qū)W生處于由一個階段向另一個階段發(fā)展的過程中，但各種認知水平還沒有完全達到標準.初中學生處于具體運算階段，思維的進行很難脫離具體事物的支持，邏輯結(jié)構(gòu)比較單一.高中學生已經(jīng)進入了形式運算階段，思維水平相對進入了新的階段，而這一階段學生的表現(xiàn)就是邏輯思維進入高級階段，抽象能力得到提升.此外，每個人的認知發(fā)展具有差異性，若學生的認知發(fā)展水平較差，或者是抽象能力不足、想象力不夠等，都會影響初高中課程銜接的連貫性，尤其函數(shù)這一部分知識很難借助具體事物或者生活實例幫助學生理解.

（二）高中教師對初中教材了解程度不夠

由于各種原因，不少高中數(shù)學教師并沒有承擔過初中數(shù)學課程講解的任務，而且，許多高中數(shù)學教師并沒有系統(tǒng)研究過初中數(shù)學的教材，從而使得這部分教師對于剛剛升入高中的學生的數(shù)學基礎非常陌生，不了解學生在初中形成的數(shù)學思想方法以及學生思維發(fā)展程度.將原本為整體狀態(tài)的數(shù)學知識內(nèi)容分裂成兩個部分對學生進行教學，會讓學生在進入新的學習階段后很難利用初中的數(shù)學知識作基礎.數(shù)學知識不連貫，就無法形成整體的數(shù)學知識系統(tǒng).甚至，初中數(shù)學沒有學習的知識點有的老師也一筆帶過，變成了學生的知識盲區(qū).這部分老師將初中數(shù)學階段和高中數(shù)學階段完全分散，進入了一個只要將高中數(shù)學知識完全傳授給學生就可以提高學生數(shù)學成績的誤區(qū).事實上，這樣的高中教師忽略了數(shù)學學科的整體性、思想上的一致性，更不符合高中數(shù)學課程標準中強調(diào)的基本理念之一——聚焦學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成，這對于初高中教學的銜接是非常不利的.只有高中教師熟悉學生初中的數(shù)學知識內(nèi)容、整體框架結(jié)構(gòu)、具體思想方法，再換位到學生的立場和知識積累狀態(tài)去向?qū)W生傳授高中數(shù)學知識內(nèi)容，才能夠達到初高中教學有效銜接的目標.

（三）初高中數(shù)學教學方法不同

和高中數(shù)學學習階段相比，初中學習階段的數(shù)學學習任務較少，教學進度較慢，教師有充分的時間和精力帶領學生進行學習.細摳難點，重復重點，習題鞏固，再加上初中階段的習題類型一致，思想方法比較單一，學生經(jīng)過大量的練習后很容易掌握數(shù)學知識內(nèi)容.而高中階段教學進度很快，教師重點在知識的引入、思想方法的形成、核心素養(yǎng)的建立，如果學生想要通過大量的練習來提升成績是不現(xiàn)實的，這就對學生建立數(shù)學思想體系提出了新的要求.

（四）函數(shù)概念的發(fā)展歷史

函數(shù)一詞最早是由“function”一詞轉(zhuǎn)譯而來，最早出現(xiàn)于數(shù)學家李善蘭的《代數(shù)學》中.李善蘭認為“函”可以表達出“包含”的意思，書中的函數(shù)指的是變量的意思.在17世紀時伽利略在他的著作《兩門新科學》中突出了函數(shù)和變量的思想.17世紀時牛頓也抽離出了函數(shù)的思想，這里他用“流量”來表示變量關系.18世紀時約翰·伯努利將函數(shù)進行定義，他認為只要是變量x和常量所構(gòu)成的等式都可以稱之為函數(shù)，并對函數(shù)的表示方法進行了突出強調(diào).在18世紀時歐拉也在其著作中將函數(shù)進行重新定義，他對函數(shù)的定義強調(diào)的是前面的量隨著后面的量的變化而變化的依賴關系.到了19世紀的1821年，柯西對于函數(shù)概念部分進行了進一步的探究，他不僅在前人的基礎上對函數(shù)的概念進行了更嚴密的定義，而且給出了自變量的定義.歷史上首次提出自變量的定義的就是柯西.就在第二年，傅里葉提出了有關函數(shù)問題的新思路，他發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以用曲線來表示，可以用某個單一式子來表示，也可以用多個復合式子來表示.這一發(fā)現(xiàn)使函數(shù)概念的研究又進一步深入.1837年狄利克雷提出了經(jīng)典的函數(shù)概念，他對函數(shù)的依賴關系進行淡化，指出：“對于在某個區(qū)間上任一確定的x值，都有一個確定的y值和它對應，那么y叫作x的函數(shù).”這個函數(shù)的全新定義用更清晰的語言去描述函數(shù)，也更容易被大眾所接受.1921年庫拉托夫斯基用集合的概念來定義函數(shù)，使得函數(shù)概念更加嚴密、嚴謹.1930年是這樣對函數(shù)進行重新定義的：“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變量，元素y稱為因變量.”這是函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，這與今天我們在課本上學習的函數(shù)概念內(nèi)容基本類似.D2357F07-1EC1-47E7-916D-2212900B0125

函數(shù)概念歷經(jīng)三個世紀的發(fā)展才逐漸完備，貫串古今，曠日持久.研究表明，中學生對于函數(shù)概念的定義方式與歷史上對函數(shù)的定義具有很強的相似性.學生對于函數(shù)的認識過程與科學家們在歷史上對于函數(shù)的認識過程十分貼近.這就說明在學習函數(shù)概念時，了解函數(shù)概念的歷史發(fā)展會幫助學生掌握函數(shù)概念的本質(zhì).

三、初高中函數(shù)內(nèi)容的區(qū)別和聯(lián)系

（一）初高中函數(shù)概念的區(qū)別

初中和高中階段的函數(shù)概念具有不同的表示方法.初中階段函數(shù)概念屬于描述性定義，強調(diào)變量之間的相互聯(lián)系，以運動的觀點進行探究，以自變量x和因變量y來定義函數(shù)概念，生動，立體，形象，貼近生活實際，使初中階段的學生容易理解.高中階段函數(shù)的概念是建立在集合知識基礎之上的，強調(diào)定義域、值域，以及對應法則，通過設定兩個特殊的集合，再根據(jù)函數(shù)的對應關系進行定義.集合的知識內(nèi)容較為抽象，代表性不強，學生不易理解.

上表對于函數(shù)知識在初高中的不同進行了對比，可以明顯地看出初中階段的函數(shù)內(nèi)容更加簡單，所研究的函數(shù)類型比較單一，函數(shù)性質(zhì)的涉獵也比較少.高中階段的函數(shù)內(nèi)容無論是函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)類型還是函數(shù)與其他知識內(nèi)容的聯(lián)系都比較深奧復雜.

（二）初高中函數(shù)教學目標的區(qū)別

無論是從初高中學生的思維發(fā)展階段不同來說，還是從初高中知識的考查側(cè)重方向不同來說，初中和高中階段函數(shù)內(nèi)容的教學目標都不一致，這一點從課程標準上可以充分體現(xiàn).《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中對函數(shù)內(nèi)容的要求側(cè)重對常量以及變量的情況分析.《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》中對函數(shù)內(nèi)容的要求是以提升數(shù)學核心素養(yǎng)為背景，重視變量的對應關系，同時，對函數(shù)性質(zhì)的掌握也做出了要求.

（三）初高中函數(shù)教材呈現(xiàn)方式的區(qū)別

初高中教材中函數(shù)內(nèi)容為便于學生的理解都是從具體生活實例中進行歸納，但呈現(xiàn)的方式具有不同的特征.比如，初中教材中函數(shù)部分更多的是以文字介紹，而高中教材中函數(shù)部分主要使用符號語言.再如，初中教材中函數(shù)部分知識內(nèi)容較少，而高中階段在了解函數(shù)概念后對于函數(shù)的幾個重要性質(zhì)進行了深入研究.

（四）初高中函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系

初中與高中函數(shù)內(nèi)容的學習是螺旋式上升的過程，雖然側(cè)重點不同，但是實質(zhì)是相同的，并且它們在應用過程中經(jīng)常將數(shù)與圖形的對應關系相聯(lián)系，也就是經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的方法，這是研究探討函數(shù)性質(zhì)過程中最為清晰直觀的方法.在函數(shù)性質(zhì)中，函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)是在高中教材中給出的，但是函數(shù)變化增減的思想早在初中階段的學習過程中就有涉獵，初中階段用y隨著x的增大而增大這樣的語言去描述函數(shù)變化特征.函數(shù)內(nèi)容其實是一個整體的數(shù)學知識內(nèi)容，只是在初中和高中的不同階段，我們根據(jù)學生的不同思想發(fā)展水平用不同的數(shù)學語言去描述和形容，但究其本質(zhì)其實是相同的.初中函數(shù)內(nèi)容和高中函數(shù)內(nèi)容是相互滲透、相互作用的關系.

四、初高中函數(shù)部分教學銜接具體實例

（一）有關函數(shù)概念引入的銜接

在高中引入函數(shù)概念之前，學生已經(jīng)在初中就掌握了從運動變化的角度所歸納的函數(shù)概念.因此，教師可以通過提問復習的方式幫助學生喚醒初中階段的較為直觀的函數(shù)概念，以加強初高中函數(shù)概念的聯(lián)系.接著，教師可以通過實例創(chuàng)設問題情境，舉例如下：

例1 小明到某文具店去采購筆記本，每本的價格為3元，設小明買了x本，購買筆記本共花費了y元.

此函數(shù)的解析式為y=3x（x≥0），重點強調(diào)函數(shù)的定義域.我們進一步設疑：此函數(shù)與y=3x是相同函數(shù)嗎？這樣的做法打破初中函數(shù)學習的局限，使學生通過實際問題認識到初高中函數(shù)部分的區(qū)別和聯(lián)系.教師引導學生通過集合的表達方式，以對應關系為背景建立高中函數(shù)知識體系，對比初高中函數(shù)的不同使學生對高中函數(shù)產(chǎn)生疑問，進一步激發(fā)學生的學習興趣.

（二）有關函數(shù)性質(zhì)的銜接

高中數(shù)學中不少函數(shù)內(nèi)容的分析都采用了數(shù)形結(jié)合的方法，而在初中階段其實也有很多關于數(shù)形結(jié)合思想的滲透.比如，對于函數(shù)y=ax2+bx+c，若a>0，則開口向上;若a<0，則開口向下.這給學生在高中數(shù)學中函數(shù)內(nèi)容的學習建立了思想基礎.高中函數(shù)易引導學生思考研究未知系數(shù)a，b，c對方程的影響，尤其是在冪函數(shù)y=xa、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）、對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）中探索研究|a|對函數(shù)圖像的影響，以及研究二次函數(shù)中探索b值對函數(shù)圖像（對稱軸）的影響.教師應在初中所學內(nèi)容的基礎上進行教學，銜接初高中函數(shù)內(nèi)容知識，建立系統(tǒng)的函數(shù)知識體系.

（三）有關函數(shù)習題的銜接

在初中階段系統(tǒng)學習函數(shù)內(nèi)容時，其實對函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性已經(jīng)做了簡單的闡述：“隨著x增大，y逐漸增大”或者“隨著x增大，y逐漸減小”.雖然沒有像高中函數(shù)那樣將性質(zhì)進行抽象，運用符號語言進行描述，但是也體現(xiàn)出了單調(diào)性的核心思想.在初中學習函數(shù)內(nèi)容時，教師可以通過練習題向?qū)W生滲透高中函數(shù)的思維方式.

例2 下列函數(shù)中，自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨著x的增大而增大？自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨著x的增大而減小？

（1）y=3x2-6x+3;

（2）y=-2x-6;

（3）y=8x;

（4）如下圖所示.

在初中階段編排此類習題具有兩方面的意義：一方面，（1）（2）（3）分別是二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)，考查它們的目的是使學生鞏固函數(shù)的單調(diào)性，為高中學習函數(shù)的單調(diào)性打下堅實的基礎，幫助高中階段的學生形成全面深化的知識體系和思維體系.另一方面，（4）可以拓展學生的知識領域，與高中函數(shù)內(nèi)容進行銜接.這個特殊的分段函數(shù)需要學生針對不同的x的取值范圍進行討論，在這里高中函數(shù)思想得到滲透，從而能幫助學生的知識體系向上兼容.

五、結(jié)束語

函數(shù)內(nèi)容作為中學階段數(shù)學學習的主線之一，無論是中考還是高考都有重要占比.初高中函數(shù)教學銜接對于初中階段學生或高中階段學生的知識掌握都具有重要意義.第一，將初高中內(nèi)容進行銜接有助于學生整體把握

函數(shù)內(nèi)容，將函數(shù)內(nèi)容形成系統(tǒng)的知識體系，有助于學生建立數(shù)學思想方法.第二，將高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容涉獵的數(shù)學思想滲透進初中數(shù)學中，對學生的數(shù)學思維的立體化形成具有深刻意義.初高中函數(shù)教學銜接對初中學生來說不僅可以拓展其數(shù)學思維，還給中考的拉分題提供了思路.第三，不少初中生在進入高中后，表示很難充分掌握高中數(shù)學中比較抽象的知識內(nèi)容，對高中數(shù)學的思維方式不適應，而有效地銜接初高中數(shù)學內(nèi)容無疑能解決這部分學生的問題.

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