徐輝章，陳軍華，李崇楠，張星臣，王 超

(北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院, 北京 100044)

列車正點(diǎn)運(yùn)行是高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)運(yùn)輸組織的核心要求之一，是鐵路企業(yè)對旅客的承諾，兌現(xiàn)與否直接決定高鐵運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量。在實(shí)際運(yùn)營中，受到人員、設(shè)備和環(huán)境等主客觀隨機(jī)因素的干擾，高速列車運(yùn)行途中不可避免地會偏離運(yùn)輸計劃，影響鐵路客運(yùn)服務(wù)可靠性和準(zhǔn)時性。文獻(xiàn)[1]規(guī)定“按圖定時分早點(diǎn)或正點(diǎn)到達(dá)時，統(tǒng)計為正點(diǎn)；否則統(tǒng)計為晚點(diǎn)”。在不失嚴(yán)謹(jǐn)性的前提下，本文將列車實(shí)際到達(dá)時刻早于圖定到達(dá)時刻記為列車到達(dá)早點(diǎn)，等于圖定到達(dá)時刻記為列車到達(dá)正點(diǎn)，晚于圖定到達(dá)時刻作記為列車到達(dá)晚點(diǎn)，正晚點(diǎn)研究在下文記為早晚點(diǎn)研究。掌握不同列車到達(dá)早晚點(diǎn)時長下對應(yīng)的分布規(guī)律，并將之考慮在運(yùn)行圖編制過程中，是提升高鐵運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量的必要前提。列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)表明，在高鐵實(shí)際運(yùn)輸生產(chǎn)過程中，列車早點(diǎn)到達(dá)的現(xiàn)象絕非偶然，甚至普遍多于正點(diǎn)和晚點(diǎn)，早點(diǎn)時長分布的研究應(yīng)得到重視。實(shí)際上，某時段(或某列車)早點(diǎn)現(xiàn)象發(fā)生，表明該時段(或該列車)所對應(yīng)的運(yùn)輸計劃有足夠的儲備能力，在遇到特殊擾動時，可合理利用儲備能力調(diào)整列車運(yùn)行。一般情況下，可將列車早點(diǎn)狀態(tài)視為儲備能力未合理利用的表征[4]。早晚點(diǎn)研究有利于開展鐵路站場運(yùn)營管理和能力利用研究，有利于分析處理鐵路運(yùn)輸管理模型中的延誤信息，同時有利于設(shè)置車站仿真模型的輸入輸出。

在理論研究方面，文獻(xiàn)[5]分析列車運(yùn)行圖結(jié)構(gòu)，通過理論分析推導(dǎo)出運(yùn)行圖任意一點(diǎn)處晚點(diǎn)概率的計算公式，并給出運(yùn)行圖緩沖時間的合理分配方法。文獻(xiàn)[6]通過理論推導(dǎo)，建立一個多項式函數(shù)來刻畫鐵路線路的累計晚點(diǎn)時長。在復(fù)雜運(yùn)輸場景方面，學(xué)者也利用仿真技術(shù)對早晚點(diǎn)時長分布進(jìn)行了探索。文獻(xiàn)[7]通過建立技術(shù)站仿真模型，根據(jù)預(yù)定義的列車到達(dá)晚點(diǎn)分布模型，隨機(jī)產(chǎn)生晚點(diǎn)時間加載至列車圖定到達(dá)時刻，得到復(fù)雜場景的晚點(diǎn)分布影響。文獻(xiàn)[8]模擬日本鐵路高密度開行情況下的連帶晚點(diǎn)，提出一種加快恢復(fù)正點(diǎn)的方法。在數(shù)據(jù)驅(qū)動研究方面，學(xué)界應(yīng)用鐵路運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)進(jìn)行了一系列研究。1996年文獻(xiàn)[2]就已基于列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)，建立β分布模型刻畫列車區(qū)間運(yùn)行偏離的分布情況。文獻(xiàn)[9-10]采集列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)，建立q-指數(shù)模型描述列車晚點(diǎn)分布，并應(yīng)用超統(tǒng)計理論解釋模型機(jī)理。文獻(xiàn)[11]研究京滬高鐵列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)，給出列車實(shí)際區(qū)間運(yùn)行時長和停站時長的分布模型。文獻(xiàn)[12]收集中國東北地區(qū)高鐵的列車實(shí)績數(shù)據(jù)，研究列車運(yùn)行擾動源和列車晚點(diǎn)的統(tǒng)計特性，建立零截斷負(fù)二項分布模型來刻畫擾動源與晚點(diǎn)列車數(shù)量的關(guān)系。文獻(xiàn)[13]以廣州鐵路局集團(tuán)有限公司列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析7種致因下列車初始晚點(diǎn)的分布模型，發(fā)現(xiàn)對數(shù)高斯分布效果最優(yōu)。文獻(xiàn)[3]收集瑞典兩個貨車調(diào)車場的發(fā)車實(shí)績數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)對數(shù)高斯分布模型可以合理描述貨物列車發(fā)車時刻偏離的規(guī)律。既有研究多著眼于研究鐵路晚點(diǎn)的時長分布，對列車偏離計劃的兩種狀態(tài)(早點(diǎn)和晚點(diǎn))同時進(jìn)行的研究較少。

本文采集京滬高鐵列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)，建立以鄰域搜索算法獲取帶寬的核密度估計(KDE)模型探究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，發(fā)現(xiàn)不同車站的早晚點(diǎn)時長分布規(guī)律。為全面評價模型的擬合效果，將建立的鄰域KDE模型與其他常見參數(shù)化模型及兩種常見帶寬選取方式下KDE模型進(jìn)行擬合效果比較，獲得車站列車到達(dá)早晚點(diǎn)分布的適宜模型。本文鄰域KDE模型效果優(yōu)于參數(shù)化模型分布效果，同時優(yōu)于其他常用KDE模型。

1 模型與算法

基于實(shí)績數(shù)據(jù)的既有研究大多需要一些較強(qiáng)的假設(shè)，即假定樣本數(shù)據(jù)服從某一先驗的參數(shù)化模型，缺乏足夠的理論分析去證明這一假定的合理性，實(shí)績早晚點(diǎn)數(shù)據(jù)往往數(shù)量龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、涵蓋豐富的信息，難以找到一個能夠?qū)?shí)績數(shù)據(jù)進(jìn)行合理刻畫的參數(shù)化分布模型。此外，調(diào)整和標(biāo)定模型的參數(shù)也是一個極有挑戰(zhàn)性的難題。而核密度估計(KDE)作為非參數(shù)估計模型，并不需要有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗基礎(chǔ)知識，從數(shù)據(jù)本身特征出發(fā)建立模型，擅長對復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)時間偏離等物理量的數(shù)據(jù)分布描述，在多個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如能耗評價、列車牽引力概率分布、交通流速度分布等[14-16]。

然而，KDE模型的帶寬取值往往基于經(jīng)驗公式，擬合的準(zhǔn)確性難以保證，故本文在傳統(tǒng)KDE模型的基礎(chǔ)上提出一種鄰域搜索算法，能夠獲得比傳統(tǒng)經(jīng)驗公式更佳的帶寬。本文構(gòu)建的KDE-ND可用于描述高鐵列車早晚點(diǎn)分布。

1.1 KDE

與傳統(tǒng)的參數(shù)化模型不同，KDE模型不需要數(shù)據(jù)分布的先驗知識，充分利用樣本數(shù)據(jù)自身信息，采用平滑的核函數(shù)來擬合觀測到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，具有更優(yōu)的擬合效果。因此，為真實(shí)反映高鐵列車早晚點(diǎn)時長的概率分布，采用非參數(shù)估計方法中的KDE。它有兩個要素：核函數(shù)K(·)與帶寬h，在給定樣本數(shù)據(jù)時，確定核函數(shù)與帶寬就確定了KDE模型。KDE的表達(dá)式為

(1)

KDE有多種核函數(shù)供選擇，高斯核函數(shù)因為數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良、形式簡單、使用方便的特點(diǎn)，為學(xué)界最為廣泛使用，故采用高斯核函數(shù)建立模型。高斯核函數(shù)為

(2)

將式(2)代入式(1)，得到高斯核函數(shù)的KDE模型為

(3)

式(3)中的帶寬仍為未知參數(shù)，它反映了KDE曲線整體的幾何形態(tài)，以及控制KDE密度函數(shù)的平滑程度。帶寬越大，KDE曲線會更“矮胖”，函數(shù)峰值會更小，曲線也會更光滑；帶寬越小，KDE曲線會更“高瘦”，函數(shù)峰值會更大，但曲線可能不太光滑。所以如果帶寬過小，核函數(shù)疊加后的KDE曲線會過于陡峭；如果帶寬過大，那么KDE曲線會過于平緩，掩蓋了很多樣本數(shù)據(jù)的信息。同時，帶寬對KDE模型擬合的準(zhǔn)確性有很大的影響，直接決定了KDE的擬合質(zhì)量。因此，為KDE模型選擇合適的帶寬至關(guān)重要。

作為核密度估計的核心，眾多學(xué)者相繼提出了最優(yōu)帶寬的確定方法，如Silverman帶寬選取法與最小二乘交叉驗證(LSCV)帶寬選取法。這些方法將帶寬選擇視為一個優(yōu)化問題，得到的帶寬值多為局部最優(yōu)解，通常需要進(jìn)行多次對比實(shí)驗才能確定合適的值，故本文提出一種新的帶寬選取方法，即基于鄰域搜索算法(Neighborhood Descent，ND)來確定更優(yōu)的帶寬。這3類方法會得到3種不同的核密度估計模型，為方便分析，將這3種帶寬選擇方式下的分布模型簡記為KDE-Silverman、KDE-LSCV和KDE-ND。

(1)Silverman帶寬選取

Silverman帶寬hS為[17]

(4)

(2)LSCV帶寬選取

LCSV帶寬hLSCV為[18]

(5)

(6)

式中：j=1,2,…,n。

(3)ND帶寬選取

Silverman方法根據(jù)固定公式選取帶寬，可以快速得到較好的帶寬值，但該帶寬不是描述數(shù)據(jù)的最優(yōu)帶寬；LSCV方法通過計算交叉預(yù)測值的平均值求最優(yōu)帶寬，但該方法隨樣本量增大求解難度也逐漸增大。本文基于ND提出一種改進(jìn)的帶寬搜索算法——KDE-ND，通過巧妙地構(gòu)建鄰域集合實(shí)現(xiàn)快速尋優(yōu)效果。該算法將LSCV方法求解的帶寬作為初始解，基于LSCV方法求得的帶寬hLSCV按不同的精度范圍生成不同的鄰域，算法偽代碼如下：

輸入: 基于LSCV方法求得的帶寬hLSCV

輸出: 基于鄰域搜索方法求得的帶寬hnd

1: 定義局部鄰域集合N={h1,h2,…,hn},n=50

hi=hLSCV+random(-0.1,0.1),?hi∈N

2: 初始解hb=hLSCV

3: repeat

4: Forl=1 tonDo

5://尋找鄰域集中最優(yōu)解h″ ofh′ inN

6: Ifg(h″)

7: Otherwisel=l+1

8: 輸出hnd=h′

其中，目標(biāo)函數(shù)g(h)是平均積分平方誤差，即

(7)

1.2 參數(shù)化分布模型

為與KDE模型擬合效果進(jìn)行比較，采用如下幾類常見的參數(shù)化分布模型，包括Logistic分布、高斯分布、對數(shù)高斯分布、t分布和對數(shù)伽馬分布。采用極大似然估計方法來標(biāo)定各分布模型的參數(shù)。各分布的概率密度函數(shù)見表1。由于此類分布模型大多要求定義域為正數(shù)，為貼合早晚點(diǎn)數(shù)據(jù)所需描述的正負(fù)數(shù)均存在的情況，本文增加了分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)進(jìn)行修正。

1.3 綜合評價指標(biāo)

對于模型的擬合效果進(jìn)行評價可以采用MAE、RMSE等指標(biāo)，不同的指標(biāo)在量綱、數(shù)量級以及取值傾向(即有的指標(biāo)是取值越小，擬合效果越好，有些指標(biāo)則是越大越好)存在差異，對于同一模型可能會得到不同甚至相反的評價結(jié)果。為解決上述問題，基于幾類單一指標(biāo)，建立出一種綜合評價指標(biāo)，以全面評價不同模型的擬合效果。本文考慮的單一指標(biāo)包括：

表1 參數(shù)化模型介紹

(1)Kolmogorov-Smirnov檢驗

Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗可確定是否接受分布假設(shè)。在K-S檢驗中，虛無假設(shè)(H0)是指兩個樣本數(shù)據(jù)服從同一分布，或一個樣本數(shù)據(jù)服從某一理論分布。為確定是否接受虛無假設(shè)，設(shè)檢驗統(tǒng)計量D，表示樣本的經(jīng)驗累計分布函數(shù)(ECDF)和理論分布的累積分布函數(shù)(CDF)之間的最大差值，即

D=maxx|F(x)-G(x)|

(8)

式中：F(x)為樣本數(shù)據(jù)的ECDF；G(x)為理論分布的CDF。D的值越小，說明理論分布的擬合效果越好。

(2)均方根誤差

均方根誤差(RMSE)值PRMSE為

(9)

(3)平均絕對誤差

平均絕對誤差(MAE)值PMAE為

(10)

MAE的值越小，說明分布模型擬合效果越好。

(4)決定系數(shù)

決定系數(shù)R2為

(11)

(5)綜合評價指標(biāo)

基于式(8)～式(11)的4項單一指標(biāo)，建立一種綜合指標(biāo)。由于指標(biāo)的量綱、數(shù)量級不一致，應(yīng)當(dāng)對單一指標(biāo)進(jìn)行預(yù)處理，本文采用歸一化處理

(12)

式中：Mk′為歸一化后的指標(biāo)；Mk為原始指標(biāo)；Mkmax、Mkmin分別為原始指標(biāo)的最大、最小值。歸一化后的指標(biāo)的取值都介于0和1之間，且取值越高說明模型擬合效果越好。將歸一化指標(biāo)相加，定義綜合指標(biāo)M′。對于本文研究，該值越接近4，說明模型的擬合效果越好。

2 數(shù)據(jù)采集與整理

本文高鐵列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)源自中國鐵路客戶服務(wù)中心12306網(wǎng)站。數(shù)據(jù)空間范圍為京滬高鐵沿線各站，時間范圍為2020年某月1日至30日。實(shí)績數(shù)據(jù)包含列車車次、列車到達(dá)車站、圖定到達(dá)時刻、實(shí)際到達(dá)時刻等信息，數(shù)據(jù)以整分鐘為單位。為進(jìn)一步分析，獲取的原始實(shí)績數(shù)據(jù)需要進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，包含篩選出在京滬高鐵線路運(yùn)行列車的數(shù)據(jù)(京滬本線車與跨線車數(shù)據(jù))，刪除與實(shí)際情況相悖的錯誤數(shù)據(jù)等。

實(shí)績數(shù)據(jù)以整分鐘作為單位，原始數(shù)據(jù)條目總數(shù)為213 327，預(yù)處理結(jié)束后107 168。其中，由于3個車站信息不完全，不納入樣本集合，對京滬高鐵其余20個車站進(jìn)行描述和分析。

早晚點(diǎn)數(shù)據(jù)可通過實(shí)績數(shù)據(jù)計算得到：由列車實(shí)際到達(dá)時刻與圖定到達(dá)時刻作差計算出到達(dá)偏差量。當(dāng)偏差量大于0時，表示列車到達(dá)晚點(diǎn)；當(dāng)偏差量為0時，表示列車到達(dá)正點(diǎn)；當(dāng)偏差量小于0時，表示列車到達(dá)早點(diǎn)。偏差量的絕對值可以反映各狀態(tài)持續(xù)時長。

為研究實(shí)績數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，繪制描述性統(tǒng)計圖，見圖1。圖1(a)為早晚點(diǎn)時長散點(diǎn)圖，可以看到大部分觀測點(diǎn)的時長值落入0的附近，說明高鐵面臨的早晚點(diǎn)大部分為小時長。部分分散較遠(yuǎn)的觀測值晚點(diǎn)比例較大，分布較為松散，早點(diǎn)觀測值分布密集，多集中在早點(diǎn)1～8 min。圖1(b)將圖1(a)中的早晚點(diǎn)散點(diǎn)圖轉(zhuǎn)換為頻數(shù)分布直方圖，由直方圖的輪廓形態(tài)可以直觀看出，京滬高鐵全線整體的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布，但通過對各車站分布描述發(fā)現(xiàn)，不同車站分布存在明顯差異，直接刻畫京滬高鐵全線數(shù)據(jù)分布難以描述所有車站的分布效果。

圖1 早晚點(diǎn)時長描述性統(tǒng)計圖

圖2為車站早晚點(diǎn)比例分布圖。由圖2可知，京滬高鐵兩端的終到時刻早點(diǎn)到達(dá)頻率普遍高于晚點(diǎn)，整個運(yùn)輸過程存在較好的趕點(diǎn)能力。不同車站正點(diǎn)頻率基本持平，運(yùn)輸秩序較為穩(wěn)定。晚點(diǎn)比例方面，不同車站差異不同，線路中間的車站具有更大的晚點(diǎn)比例。

圖2 各車站早晚點(diǎn)比例分布

圖3為京滬高鐵各車站早晚點(diǎn)分布示意圖，由圖3可知，車站的早晚點(diǎn)分布情況存在較為明顯的差異。從分布圖形的峰值來看，大部分車站呈現(xiàn)單峰分布(如北京南站、滄州西站、德州東站等)，但也有部分車站呈現(xiàn)雙峰分布(如廊坊站、滁州站等)。單峰分布的峰值都是在橫坐標(biāo)為0即正點(diǎn)處取得，與高鐵列車大部分準(zhǔn)時正點(diǎn)到達(dá)的事實(shí)相符，而雙峰分布中，除去正常的原點(diǎn)處取得峰值外，還可能在晚點(diǎn)狀態(tài)下存在一個峰值，說明該類車站的列車會于某晚點(diǎn)時長下集中到達(dá)，應(yīng)當(dāng)采取適宜的晚點(diǎn)管理手段消解該峰值。從分布圖形的尾部特征來看，靠近線路端點(diǎn)的始發(fā)終到站具有厚尾分布效應(yīng)，而分布于線路中間的其他車站具有截斷分布特征，分布圖形的尾部不明顯。圖3中各個車站實(shí)績分布情況的差異性說明，全線數(shù)據(jù)分布模型還不足以描述列車在各車站實(shí)績到達(dá)情況，無法捕捉各個車站分布特點(diǎn)的差異性。因此需要對每一車站單獨(dú)進(jìn)行研究。另一方面，常規(guī)的參數(shù)化分布模型可能無法準(zhǔn)確描述全線每一車站的情況，需要使用一種只依賴數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，無需先驗知識的非參數(shù)化分布模型進(jìn)行早晚點(diǎn)分布情況刻畫。KDE作為一類應(yīng)用廣泛、理論完備的非參數(shù)化模型，尚未應(yīng)用于鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域的早晚點(diǎn)分布刻畫。因此，本文基于核密度估計模型，針對京滬高鐵不同車站分別構(gòu)建早晚點(diǎn)時長分布模型，并利用綜合擬合優(yōu)度指標(biāo)評價各車站模型的擬合效果并與全線整體擬合效果作對比。

圖3 各車站早晚點(diǎn)分布

3 數(shù)值實(shí)驗與分析

將提出的模型算法應(yīng)用于京滬高鐵的實(shí)績數(shù)據(jù)，并利用綜合評價指標(biāo)用以全面評價和比選模型。

3.1 擬合結(jié)果

京滬高鐵部分車站在不同分布模型下的擬合結(jié)果見圖4、圖5。圖4(a)和圖4(b)是以蚌埠南站和昆山南站為例的單峰型分布，類似的車站還有北京南站、滄州西站、德州東站等，數(shù)據(jù)均服從正偏態(tài)分布。根據(jù)圖4可以直觀看出，KDE模型能夠準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的分布，且在三類KDE模型中，KDE-ND的擬合效果更加突出。

圖4 典型車站擬合結(jié)果分布圖(單峰型分布)

圖5(a)和圖5(b)分別是以廊坊站和上海虹橋站為例的雙峰型分布，類似的車站還有廊坊站、滁州站、定遠(yuǎn)站等。KDE-ND模型直接利用平滑的高斯核核函數(shù)擬合樣本數(shù)據(jù)，可貼合雙峰型分布的數(shù)據(jù)形態(tài)。而t分布等參數(shù)化模型在雙峰型分布中難以匹配多個曲線的峰值。對比圖5(a)和圖5(b)，也可看到數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)在不同車站有所不同，對于精細(xì)化客運(yùn)需求的運(yùn)營組織優(yōu)化彰顯必要。

圖5 典型車站擬合結(jié)果分布圖(雙峰型分布)

京滬高鐵全線實(shí)績數(shù)據(jù)分布及擬合情況見圖6。全線的分布呈現(xiàn)單峰右偏厚尾分布特征，對比圖5與圖3可知，無法保證全線分布能夠與任一車站的分布完全匹配，甚至存在較為明顯的差異。例如，滁州站呈雙峰分布，與圖5存在明顯差異。另外，KDE系列模型和t分布描述全線分布效果較好(R2取值均在0.97以上)，其余模型無法準(zhǔn)確擬合峰值或尾部等特征，與實(shí)績數(shù)據(jù)的情況差距較大。

圖6 京滬高鐵全線實(shí)績數(shù)據(jù)分布及擬合

3.2 檢驗結(jié)果

京滬高鐵車站的KDE與參數(shù)化模型擬合優(yōu)度的箱線圖見圖7。由圖7可見，KDE-ND模型在PRMSE、R2和PMAE指標(biāo)下均為最優(yōu)，說明KDE-ND的擬合效果最優(yōu)。除去KS外，t分布在3項指標(biāo)下表現(xiàn)僅次于KDE-ND，說明參數(shù)化模型中t分布也具有較好的擬合效果。另外，針對不同的指標(biāo)，模型之間的排序結(jié)果也有所不同，證明建立綜合指標(biāo)來全面評價模型擬合優(yōu)度是有必要的。

圖7 分布模型擬合優(yōu)度箱線圖

不同模型的擬合優(yōu)度指標(biāo)見表2，指標(biāo)進(jìn)行了歸一化處理并依車站計算平均值后列入表中。從左開始第2到5列為單項擬合優(yōu)度指標(biāo)的取值，第6列為綜合擬合優(yōu)度指標(biāo)的取值。KDE-ND具有最優(yōu)的擬合效果，且優(yōu)于另外兩類KDE模型。其中，KDE-ND的綜合指標(biāo)取值為3.599(滿分為4)，而KDE-LSCV和KDE-Silverman的綜合指標(biāo)取值分別為3.167和3.047，均低于KDE-ND。另外兩類KDE模型的綜合指標(biāo)優(yōu)于t分布以外的分布模型，證明KDE模型普遍優(yōu)于其他參數(shù)化模型。Log-Gamma和Gaussian分布的擬合優(yōu)度取值情況很差，應(yīng)當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用中舍棄。

表2 分布模型歸一化擬合優(yōu)度指標(biāo)和綜合擬合優(yōu)度指標(biāo)

京滬高鐵沿線各站的最優(yōu)分布模型見圖8。由圖示可知，沿線大部分車站都適宜使用KDE-ND模型進(jìn)行列車運(yùn)行情況擬合，其次是少量車站適用于t分布模型進(jìn)行早晚點(diǎn)分布描述。實(shí)績數(shù)據(jù)呈近似對稱單峰分布的車站適用于t分布刻畫，而實(shí)績數(shù)據(jù)呈雙峰、厚尾、或者非對稱復(fù)雜分布的車站則適用于KDE-ND模型。觀察兩類最優(yōu)模型的車站在線路上的分布情況，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)模型為t分布的少量車站集中分布于線路的中間部分。

圖8 京滬高鐵沿線各站的最優(yōu)分布模型

圖9為京滬高鐵沿線各站早晚點(diǎn)分布擬合與關(guān)鍵參數(shù)取值。根據(jù)圖9，KDE-ND模型僅采用帶寬bnd即可實(shí)現(xiàn)分布的描述，而t分布需要v、loc和scale 3個參數(shù)才能完全確定。說明KDE-ND模型更易于標(biāo)定，在實(shí)際應(yīng)用中的可擴(kuò)展性更強(qiáng)。另一方面，t分布無法刻畫廊坊站等帶有雙峰分布的實(shí)績數(shù)據(jù)，并且很難捕捉線路端點(diǎn)車站厚尾效應(yīng)的數(shù)據(jù)特性。此外，由于t分布為嚴(yán)格對稱分布，所以不適用于早點(diǎn)晚點(diǎn)比例不均、分布不對稱的情況。而KDE-ND模型因其強(qiáng)大的擬合能力可以很好地彌補(bǔ)t分布應(yīng)用的局限性，刻畫更加廣泛和復(fù)雜的早晚點(diǎn)分布特征。在KDE-ND模型描述的車站中，帶寬bnd取值范圍為0.392～1.177，帶寬變化范圍較大。相鄰車站的帶寬取值可能比較接近，如定遠(yuǎn)站(0.436)和滁州站(0.430)，也可能取值差距很大，如常州北站(1.211)和無錫東站(0.492)。除丹陽北站、滄州西站、棗莊站、常州北站與蘇州北站帶寬取值高于1，其余車站帶寬取值均在0.5附近。觀察發(fā)現(xiàn)，丹陽北站、滄州西站、棗莊站、常州北站與蘇州北站列車到達(dá)早晚點(diǎn)分布形態(tài)均較為對稱，核密度估計選取帶寬時, 0.3～1.2附近帶寬取值差別不夠明顯，但這類車站的列車到達(dá)早晚點(diǎn)數(shù)據(jù)可以通過t分布很好地擬合。對于其他存在單峰、多峰等情況的車站，t分布擬合效果則略顯不足。

圖9 京滬高鐵沿線各站早晚點(diǎn)分布擬合與關(guān)鍵參數(shù)取值

4 結(jié)論

針對高速鐵路列車早晚點(diǎn)時長分布擬合問題，提出一種基于KDE-ND的概率分布模型。主要研究結(jié)論如下：

(1)采用2020年某月京滬高鐵列車運(yùn)行實(shí)績數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)源，對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理和描述統(tǒng)計。統(tǒng)計結(jié)果顯示，不同車站的數(shù)據(jù)分布有所差異。因此針對不同車站分別進(jìn)行研究，考慮到既有研究鮮有對早點(diǎn)時長分布的考慮，或?qū)⒃琰c(diǎn)和晚點(diǎn)割裂開來分別研究，為全面評價列車偏離計劃運(yùn)行的不同狀態(tài)，本文構(gòu)建同時包含早點(diǎn)與晚點(diǎn)到達(dá)信息的時長分布模型，從整體性、全面性的角度分析列車偏離計劃運(yùn)行不同狀態(tài)的分布情況，可為仿真、車站到發(fā)線優(yōu)化等研究提供支撐。

(2)提出KDE-ND來表達(dá)早晚點(diǎn)分布模型，引入兩種經(jīng)典帶寬選擇方法(Silverman和LSCV方法)的KDE模型及幾種常見的參數(shù)化模型進(jìn)行對比研究，數(shù)值試驗的結(jié)果表明，3種KDE模型擬合效果優(yōu)于參數(shù)化模型，同時本文提出的KDE-ND相比于其他KDE模型及參數(shù)化模型具有更好的擬合效果，可以高效地捕捉列車運(yùn)行偏離的規(guī)律，當(dāng)帶寬取值在0.5附近時，模型可以取得較好的擬合效果。

(3)提出列車早晚點(diǎn)分析綜合評價指標(biāo)來全面考察各模型的擬合效果，該指標(biāo)解決了具有差異性的不同單項指標(biāo)下模型擬合效果排序不一致的問題，保證了評價指標(biāo)的科學(xué)性，計算的綜合評價指標(biāo)可用于描述分布函數(shù)適配程度。

本文使用的數(shù)據(jù)類型主要為早晚點(diǎn)時長，由于晚點(diǎn)致因、客運(yùn)量、天氣、司機(jī)駕駛行為、調(diào)度調(diào)整策略等其他信息稀缺，早晚點(diǎn)分布規(guī)律與影響因素之間的關(guān)系需進(jìn)一步探究。如果能夠獲取早晚點(diǎn)致因及更多高鐵線路的早晚點(diǎn)數(shù)據(jù)，則可以建立高速鐵路成網(wǎng)條件下考慮致因的早晚點(diǎn)時長分布模型，進(jìn)一步加強(qiáng)模型的適用性，支撐早晚點(diǎn)預(yù)測模型的構(gòu)建，為高鐵運(yùn)輸組織的理論研究和工程實(shí)踐提供幫助。

研究成果有助于理解高速鐵路車站列車到達(dá)分布規(guī)律，為列車延誤預(yù)測提供基礎(chǔ)，同時為高速鐵路運(yùn)輸實(shí)時管理研究提供借鑒；其次，可將研究得到的高鐵列車早晚點(diǎn)分布模型用于列車運(yùn)行仿真的參數(shù)標(biāo)定和仿真輸入輸出，提高仿真質(zhì)量，開展到發(fā)線分配優(yōu)化策略研究；最后，由于列車早晚點(diǎn)分布會影響不同時段車站能力占用情況，研究成果有助于鐵路運(yùn)輸能力利用優(yōu)化，對于精細(xì)化高鐵運(yùn)營管理有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值。