趙云平，謝祥云，李春燕

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言與預(yù)備知識

1991 年，Lajos[6]引入了外交換半群的概念，稱一個半群是外交換的，如果該半群滿足一置換恒等式，即對任意x, y ,z ∈ S，有xyz =zyx. 1992 年，M. Yamada[7]給出了外交換半群的構(gòu)造. 2006 年，Stevanovic 和Protic 引入了弱外交換半群的概念[8]，并于2009 年指出弱外交換半群是a-連接半群的半格分解[2].

1934 年，F(xiàn). Marty 在第八屆Scandinavian 數(shù)學(xué)家大會上首次提出了超代數(shù)系統(tǒng)理論，作為經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的泛化，在超結(jié)構(gòu)中兩個元素的運算是一個集合. 印度數(shù)學(xué)家M. K. Sen 真正地將半群代數(shù)理論和超結(jié)構(gòu)完美結(jié)合，他研究了模糊超半群的相關(guān)理論[9]. 從1999 年起，各國學(xué)者們在超半群的基本理論的基礎(chǔ)上，在如超半群上的正則二元關(guān)系、超半群的超理想[9]、超半群上的同余[11-15]等方面做了一些基礎(chǔ)工作. 本文介紹a-連接超半群、弱外交換超半群和中間超半群的概念，給出了它們的相關(guān)性質(zhì)，并證明弱外交換超半群是a-連接超半群的半格分解，以及中間超半群是a-連接超半群的帶分解

2 弱交換超半群

定理1設(shè)S 是超半群，，在S 上定義一個新運算“*”滿足：對于任意，有x * y=x ° a ° y，則是超半群.

證明對于任意

顯然有

推論1超半群S 是交換的，則（ S ,a ）是交換超半群.

因為

基于上述事實，本文引入以下概念

定義6設(shè)S 是超半群，，對于任意，使半群.

下面的例子說明弱外交換超半群是存在的.

° 1 2 3 4 1 {1} {1} {1} {1}2 {1} {1,2} {1,2} {1,2}3 {1} {1,2} {1,2} {1,2}4 {1} {1,2} {1,2} {1,2,3,4}

情形一：KKK. 根據(jù)定義，因為K 是超半群，滿足結(jié)合律，故在KKK 這種情況滿足結(jié)合律的.

情形二：

情形三：

情形四：

情形五：

情形六：

情形八：. 設(shè)，我們有以下兩種情形：

定理2S 是弱外交換超半群，，則S 是連接的超半群的半格分解.

證明在S 上定義一個關(guān)系ρ 如下：

根據(jù)注2，

因此，

從而

推論1設(shè)S 是外交換超半群，對任意則S 是a-連接的超半群的半格分解.

證明設(shè)S 是外交換超半群，則S 是弱外交換超半群，且由定理2，得證.

° 1 2 3 1 {2} {2} {2}2 {2} {2} {2}3 {2,3} {2,3} {2,3}

定理3中間超半群是a-連接的超半群的帶分解，

證明對，類似定理2 的證明，在( S , ° )上定義一個等價關(guān)系 ρa如下：

令z S∈ ，根據(jù)中間超半群的定義，則有

進一步地，令x S∈ ，則有

因此，ρa是帶同余關(guān)系. 且由ρa的定義，知ρa-類是a-連接的超半群，得證.

定義8設(shè)S 是超半群，，對于任意，有則 x，y 稱為弱a-連接的. 如果對于任意都是弱a-連接的，則稱S 是弱a-連接的.

例4設(shè)是超半群，若S 是超群，則a °S = S °a =S. 因此對于任意，對于任

例5設(shè)，在S 上定義超運算“ °”如下：

° 1 2 3 1 {1} {1} {1,3}2 {1} {1} {1,3}3 {1} {1} {1,3}

容易驗證( S , ° )超半群且S 是弱1-連接的，事實上，對于任意，都有. S 也是弱2-連接和弱3-連接的.

我們通過例1 知道， S 不是弱2-連接的.

注3通過上面定理2 及其證明可以看出，如果S 是任意一個超半群，，在S 上定義一個關(guān)系ρ 如下：

很容易看出ρ 是S 上左超同余，如果S 是交換的超半群，那么在S 上定義一個超半格同余關(guān)系ρ ，且每個同余類是弱a-連接的，則可知S 是弱a-連接超半群的半格.