DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2111-5042-4418

摘? 要：環(huán)論是代數(shù)學的重要組成部分，導子理論是算子代數(shù)的重要研究內(nèi)容。通過環(huán)上的導子的性質(zhì)探索不同環(huán)的結(jié)構(gòu)一直是熱門研究課題。隨著環(huán)理論的不斷發(fā)展，環(huán)上的導子也被不斷豐富和擴展，并且相繼出現(xiàn)了許多衍生導子，如廣義導子、左導子、廣義（θ-θ）-導子及左（θ-θ）-導子等。該文以左-導子的定義為切入點，采用代數(shù)學中的常用方法替換法討論了2-扭自由素環(huán)的Lie理想上左（θ-θ）-導子的性質(zhì).得到如下結(jié)論：設(shè)是2-扭自由素環(huán)，是的中心，是的Lie理想，且，是上的左（θ-θ）-導子，則。

關(guān)鍵詞：2-扭自由素環(huán)? Lie理想? 導子? 左（θ-θ）-導子

中圖分類號： O153.3? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1672-3791（2022）04（b）-0000-00

Left - Derivations of 2-torsion Free Prime Ring

LU Chunxue

（Graduate School of Jilin Normal University，Changchun，Jilin Province，130000? China）

Abstract： Ring theory is an important part of algebra.Derivation theory is an important research content of operator algebra.It has always been a hot research topic to explore the structure of different rings through the properties of derivation on rings.With the continuous development of ring theory，the derivations on rings have been enriched and expanded，and many derived derivation have appeared successively，such as generalized derivation，left derivation， generalized -derivation，left -derivation and so on.This paper takes the definition of left -derivation? as the breakthrough point， the properties of the left -derivation on? Lie ideal of 2- torsion free prime ring are discussed by the substitution method.The conclusion is as follows：Let? be a torsion free prime ring with center ， a Lie Ideal of? and? ，where? is the left -derivation on .Then.

Key Words： torsion free prime ring; Lie ideals; Derivation; Left -derivation

1957年P(guān)osner[1] 提出了著名的Posner定理，為后續(xù)環(huán)上導子的研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。1989年，Bell和Kappe[2]證明了：設(shè)為素環(huán)，為上的右理想，為上的導子。若在上作為同態(tài)或者反同態(tài)，則。1999年，M.Ashraf， N.Rehman和M.A.Quadri[3]證得若為素環(huán)，為上的右理想，為上的-導子。若在上作為同態(tài)或者反同態(tài)，則。2003年，A.Asma，N.Rehman和A.Shakir[4]將結(jié)論推廣到了2-扭自由素環(huán)的Lie理想上的（θ-θ）-導子，研究了作為同態(tài)或者反同態(tài)的相關(guān)結(jié)論。2004年，Rehman[5]進一步研究了素環(huán)的非零理想上的廣義導子的性質(zhì)。近年來環(huán)上導子之間的關(guān)系[6]及導子的種類[7]不斷擴展。2019年，鐘佩伶證明了有關(guān)素環(huán)上左-導子[8]以及廣義-導子[9]的性質(zhì)。2021年，許瑩提出了有關(guān)2-扭自由素環(huán)的非零Lie理想上的廣義（θ-θ）-導子的性質(zhì)[10]。受到李思曄[11]的啟發(fā)，該文中將研究2-扭自由素環(huán)的Lie理想上左（θ-θ）-導子的性質(zhì)。

1 預備知識

2 主要結(jié)果

3 結(jié)語

該文討論了兩方面內(nèi)容，包括素環(huán)上的左-導子的性質(zhì)以及2-扭自由素環(huán)的Lie理想上的左（θ-θ）-導子的性質(zhì)。得到結(jié)論如下：若素環(huán)上的左-導子作為同態(tài)或反同態(tài)，則為0。由此結(jié)論受到啟發(fā)，通過在2-扭自由素環(huán)上弱化了同態(tài)或反同態(tài)的條件進一步得到結(jié)論如下：2-扭自由素環(huán)的不在中心的Lie理想上左（θ-θ）-導子為0。以上兩個結(jié)論對進一步研究左（θ-θ）-導子有一定幫助。

參考文獻

[1] POSNER E C. Derivations in Prime Rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1957，8（6）：1093-1100.

[2] Bell H E，Kappe L C.Rings in which derivations satisfy certain algebraic conditions [J].Acta Mathematica Hungarica，1989，53（3-4）：339-346.

[3] Ashraf M，Rehman N，Quadri M A.On -derivations in Certain Classes of Rings[J].RadMat，1999，9（2）：187-192.

[4] Ali S，Rehman N，Shakir A.On Lie Ideas with Devations as Homomorphisms and Anti-homom-orphisms[J].Acta Math.Hungar，2003，101（1）：79-82.

[5] Rehman M.On Generalized Derivation as Homomorphisms and Anti -homomorphisms[J].Glasnic Mat，2004，39（59）：27-30.

[6] 馮偉.環(huán)上廣義Jordan*-導子的結(jié)構(gòu)研究[D].長春：長春理工大學，2021.

[7] 常洪亮.李代數(shù)的一種新的廣義導子[D].長春：東北師范大學，2020.

[8] 鐘佩伶.素環(huán)上的左-導子[J].洛陽師范學院學報，2019，38（2）：9-10.

[9] 鐘佩伶.素環(huán)上的廣義-導子[J].商丘師范學院學報，2019，35（3）：15-17.

[10] 許瑩.素環(huán)上的廣義-導子[J].洛陽師范學院學報，2021，40（5）：5-6.

[11] 李思曄，杜弈秋.2-扭自由*素環(huán)的一個交換性條件[J].寧夏師范學院學報，2020，41（1）：9-12.

[12] Smiley M F.Remarks on the commutativity of rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1959，10（3）：466-470.

[13] Bergen J，Herstein I N，Kerr J W.Lie ideals and derivations of prime rings[J].Journal of Algebra， 1981，71（1）：259-267.

作者簡介：路春雪（1998—），女，碩士在讀，研究方向為環(huán)論。