王琪

一、選擇題

A.3B.4C.7D.8

A.-1B.1C.3D.-3

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

4.已知數列{a_n}為等差數列，S_n為其前n項和，a₆+a₃-a₅=3，則S₇=（）.

A. 42B. 21C.7D.3

5.某調查機構對全國互聯網行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖（圖1）和90后從事互聯網行業(yè)者崗位分布圖（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生，圖2），則下列結論中不一定正確的氏（）.

A.互聯網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯網行業(yè)中從事技術崗位的人數90后比80 后多

C.互聯網行業(yè)中從事設計崗位的人數90后比80 前多

D.互聯網行業(yè)中從事市場崗位的90后人數不足總人數的10%

7.已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=2x，那么f（log₂3）的值為（）.

8.如圖3，我國古代珠算算具算盤每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為（）.

10.已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，FB，BE，點H為BF的中點，有下述四個結論：

①DE⊥BF;

②EF與CH所成角為60°;

③EC⊥平面DBF;

④BF與平面ACFE所成角為45°.

其中所有正確結論的編號是（）.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

12.已知球O是正四面體A-BCD的外接球，BC=2，點E在線段BD上，且BD=3BE，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是（）.

二、填空題

16.若有且僅有一個正方形，其中心位于原點，且其四個頂點在曲線y=x³+ax上，則實數a=________.

三、解答題

17.等差數列{a_n}的公差為2，a₂，a₄，a₈分別為等比數列{b_n}的第2項，第3項，第4項.

（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式;

18.如圖6，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC-c=2b.

（1）求角A的大小;

（1）若點P是SD的中點，求證：平面SCD⊥平面PAC;

20.東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市民都會開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場，然后進站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場帶來很大的壓力.某輕軌站停車場為了解決這個問題，決定對機動車停車施行收費制度，收費標準如下：4小時內（含4小時）每輛每次收費5元;超過4小時不超過6小時，每增加一小時收費增加3元;超過6小時不超過8小時，每增加一小時收費增加4元，超過8小時至24小時內（含24小時）收費30元;超過24小時，按前述標準重新計費.上述標準不足一小時的按一小時計費.為了調查該停車場一天的收費情況，現統(tǒng)計1000輛車的停留時間（假設每輛車一天內在該停車場僅停車一次），得到下面的頻數分布表：

以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率.

（1）現在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進行進一步深入調研，記錄并統(tǒng)計了停車時長與司機性別的2×2列聯表：

完成上述列聯表，并判斷能否有90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關？

（2）（i）X表示某輛車一天之內（含一天）在該停車場停車一次所交費用，求X的概率分布列及期望E（X）;

（ii）現隨機抽取該停車場內停放的3輛車，ξ表示3輛車中停車費用大于E（X）的車輛數，求P（ξ≥2）的概率.

四、選考題

（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程;

（1）解不等式f（x）≤1;

參考答案與解析

一、選擇題

1-12DDABBDDACBCA

二、填空題

三、解答題

17.【解析】（1）依題意得：b₃²=b₂b₄，

所以（a₁+6）²=（a₁+2）（a₁+14），

所以a₁²+12a₁+36=a₁²+16a₁+28，解得a₁=2.

則a_n=2n.

設等比數列{b_n}的公比為q，

又b₂=a₂=4，所以b_n=4×2^n-2=2ⁿ.

（2）由（1）知，a_n=2n，b_n=2ⁿ.

又當n=1時，c₁=a₁b₂=2³不滿足上式，

數列{c_n}的前2020項的和S₂₀₂₀=8+2×2³+3×2⁴+…+2020×2²⁰²¹，

設T₂₀₂₀=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+2019×2²⁰²⁰+2020×2²⁰²¹③，

則2T₂₀₂₀=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+2019×2²⁰²¹+2020×2²⁰²²④，

③-④得：-T₂₀₂₀=2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹-2020×2²⁰²²

所以T₂₀₂₀=2019×2²⁰²²+4

所以S₂₀₂₀=T₂₀₂₀+4=2019×2²⁰²²+8.

18.【解析】（1）因為2acosC-c=2b，

根據正弦定理，得2sinAcosC-sinC=2sinB，

即2sinAcosC-sinC=2sin（A+C），

所以2sinAcosC-sinC=2sinAcosC+2sinCcosA，

整理得-sinC=2sinCcosA，

因為D是AC中點，設AD=x，則AB=2x，

在△ABD中，根據余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB·ADcosA，

19.【解析】（1）∵點S在底面ABCD上的射影為點O，∴SO⊥平面ABCD，

∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD，

∴SD⊥平面PAC，

∵點P在棱SD上，∴0≤λ≤1，

∴P（-λ，0，1-λ），

令z=λ，可得x=1-λ，

∴存在點P符合題意，點P為棱SD靠近端點S的三等分點.

根據上表數據代入公式可得

所以沒有超過90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關.

所以X的分布列為：

四、選考題

21.【解析】（1）對于曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，可得ρ²=4ρcosθ，

所以曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4.

①當x≤-1時，-3≤1恒成立，所以x≤-1;

②當-1

所以-1

③當x≥2時，3≤1顯然不成立，所以不合題意：

綜上所述，不等式的解集為（-∞，1]