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        例談兩類圓錐曲線問題的解法

        2022-05-31 13:20:03孫磊
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式動點雙曲線

        孫磊

        圓錐曲線問題對同學們的思維能力和運算能力有較高的要求,常見的圓錐曲線問題有:求動點的軌跡方程、求圓錐曲線的方程、求直線的斜率、求參數(shù)的取值范圍、中點弦問題等.本文主要探討下列兩類圓錐曲線問題的解法.

        一、求動點的軌跡方程

        求動點的軌跡方程問題側(cè)重于考查圓錐曲線的方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.求動點的軌跡方程的重要方法之一是直接法,即先設(shè)出動點的坐標(x,y),必要時可多設(shè)幾個變量,找出與動點有關(guān)的幾何關(guān)系,根據(jù)題意建立關(guān)于動點的關(guān)系式,通過化簡、消元得到x與y的關(guān)系式,即可得到動點的軌跡方程.

        例1.已知直線l:ax-y-(a+5)=0與拋物線y=(x+1)2相交于A、B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程.

        解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x,y),

        可知x1+x2=2x,

        ∵l:a(x-1)-(y+5)=0,

        ∵y1=(x1+1)2,y2=(x2+1)2,

        ∴y1-y2=(x1+1)2-(x2+1)2=(x1-x2)(x1+x2+2),

        ∴弦中點的軌跡方程為y=2x2-7.

        解答本題主要采用的是直接法,首先設(shè)出點M的坐標,便可根據(jù)中點公式建立A、B與M的坐標的關(guān)系式,再將A、B的坐標代入拋物線的方程中,通過作差,建立關(guān)于A、B與M的坐標的關(guān)系式,消去參數(shù)A、B的坐標,即可求得動點的軌跡方程.

        求動點的軌跡方程的常用方法還有定義法,即根據(jù)圓錐曲線的定義來求得動點的軌跡方程的方法.若動點與定點、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)其定義確定動點的軌跡的類型,再寫出其方程.

        ∴Q為線段PN的中點且GQ⊥PN

        運用定義法求動點的軌跡方程,關(guān)鍵在于理解解析幾何中圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,根據(jù)其定義建立關(guān)系式.在運用定義法求得動點的軌跡方程后,還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制.

        二、求圓錐曲線的方程

        求圓錐曲的方程問題側(cè)重于考查圓錐曲線的標準方程.解答此類問題,需首先根據(jù)圓錐曲線的類型,引入?yún)?shù),設(shè)出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程,再根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)a、b、c的方程組,解方程組即可求得圓錐曲線的方程.

        圓錐曲線問題的難度一般較大,且運算量較大.同學們在日常學習中,要熟悉并掌握一些圓錐曲線問題中的常見題型及其解法,加深對圓錐曲線問題的認識,以達到提升解題效率的目的.

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