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        例談兩類(lèi)圓錐曲線問(wèn)題的解法

        2022-05-31 13:20:03孫磊
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式動(dòng)點(diǎn)雙曲線

        孫磊

        圓錐曲線問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的思維能力和運(yùn)算能力有較高的要求,常見(jiàn)的圓錐曲線問(wèn)題有:求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、求圓錐曲線的方程、求直線的斜率、求參數(shù)的取值范圍、中點(diǎn)弦問(wèn)題等.本文主要探討下列兩類(lèi)圓錐曲線問(wèn)題的解法.

        一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

        求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題側(cè)重于考查圓錐曲線的方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的重要方法之一是直接法,即先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),必要時(shí)可多設(shè)幾個(gè)變量,找出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何關(guān)系,根據(jù)題意建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式,通過(guò)化簡(jiǎn)、消元得到x與y的關(guān)系式,即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

        例1.已知直線l:ax-y-(a+5)=0與拋物線y=(x+1)2相交于A、B兩點(diǎn),求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

        解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x,y),

        可知x1+x2=2x,

        ∵l:a(x-1)-(y+5)=0,

        ∵y1=(x1+1)2,y2=(x2+1)2,

        ∴y1-y2=(x1+1)2-(x2+1)2=(x1-x2)(x1+x2+2),

        ∴弦中點(diǎn)的軌跡方程為y=2x2-7.

        解答本題主要采用的是直接法,首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),便可根據(jù)中點(diǎn)公式建立A、B與M的坐標(biāo)的關(guān)系式,再將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的方程中,通過(guò)作差,建立關(guān)于A、B與M的坐標(biāo)的關(guān)系式,消去參數(shù)A、B的坐標(biāo),即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

        求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法還有定義法,即根據(jù)圓錐曲線的定義來(lái)求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法.若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿(mǎn)足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)其定義確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡的類(lèi)型,再寫(xiě)出其方程.

        ∴Q為線段PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

        運(yùn)用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,關(guān)鍵在于理解解析幾何中圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,根據(jù)其定義建立關(guān)系式.在運(yùn)用定義法求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后,還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.

        二、求圓錐曲線的方程

        求圓錐曲的方程問(wèn)題側(cè)重于考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答此類(lèi)問(wèn)題,需首先根據(jù)圓錐曲線的類(lèi)型,引入?yún)?shù),設(shè)出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)a、b、c的方程組,解方程組即可求得圓錐曲線的方程.

        圓錐曲線問(wèn)題的難度一般較大,且運(yùn)算量較大.同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中,要熟悉并掌握一些圓錐曲線問(wèn)題中的常見(jiàn)題型及其解法,加深對(duì)圓錐曲線問(wèn)題的認(rèn)識(shí),以達(dá)到提升解題效率的目的.

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