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        注重整體設(shè)計(jì) 凸顯數(shù)與運(yùn)算的一致性

        2022-05-30 10:48:04陳惠芳
        遼寧教育·管理版 2022年10期
        關(guān)鍵詞:整體設(shè)計(jì)一致性

        陳惠芳

        摘要:《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo),強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容組織“重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”,強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì):“體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)。”教學(xué)中,教師要從課堂實(shí)踐出發(fā),選擇典型案例,重點(diǎn)凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì);要突出結(jié)構(gòu)化、整體化,力求體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。

        關(guān)鍵詞:整體設(shè)計(jì);數(shù)與運(yùn)算;一致性

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”)確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo),強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容組織“重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑,強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)“體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)”。由此可見,素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,尤其是小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué),教師要突出結(jié)構(gòu)化、整體化,要體現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算的一致性。

        一、打通關(guān)聯(lián),凸顯理法相融

        新課標(biāo)在課程目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),具體要達(dá)到“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”這一要求。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性。

        例如,在教學(xué) “小數(shù)加法和減法”時(shí),教師不妨可以從整數(shù)加、減法切入,使學(xué)生從“計(jì)算單位”角度重新認(rèn)識(shí)數(shù),理解小數(shù)加減法的算理和算法,凸顯整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的理法相融。

        新課伊始,教師可先讓學(xué)生回憶低、中年級(jí)時(shí)學(xué)過(guò)的“整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)30+20、一位小數(shù)加一位小數(shù)0.5+0.7,同分母分?jǐn)?shù)加減法[28]+[58]”,提出問(wèn)題:它們的算法和算理是怎樣的?以喚醒學(xué)生的已有知識(shí)和解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)。

        接著,教師可出示教材例題,根據(jù)其中文具店里筆記本、講義夾、水彩筆等商品的單價(jià),讓學(xué)生嘗試提出不同的問(wèn)題。教師出示兩個(gè)問(wèn)題和相應(yīng)算式:一個(gè)講義夾和一本筆記本一共多少元?一個(gè)講義夾比一本筆記本多多少元?(4.75+3.4,4.75-3.4)

        在學(xué)生嘗試探究時(shí),教師指名兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板演:(如圖1)

        在講評(píng)算理和算法時(shí),教師可以讓學(xué)生說(shuō)明理由,提問(wèn):第二種方法為什么是錯(cuò)的呢?你能用自己的方法進(jìn)行驗(yàn)證嗎?

        生:我利用原有元、角、分的知識(shí)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。4.75元,就是4元7角5分,3.4元就是3元4角,加起來(lái),應(yīng)該是8元1角5分。

        生:我利用圖形來(lái)擺一擺,先用正方形分別表示出4.75和3.4,然后相加。利用幾何直觀可以發(fā)現(xiàn),百分位上是5,十分位上是7個(gè)十分之一加4個(gè)十分之一,就是11個(gè)十分之一。因此,向個(gè)位進(jìn)“1”,個(gè)位上“4和3合起來(lái)是7”,再加1就是8,結(jié)果也是8.15。

        生:我要抓住“計(jì)數(shù)單位”來(lái)說(shuō)明算理。4.75=4×1+7×0.1+5×0.01(就是4個(gè)1、7個(gè)0.1和5個(gè)0.01),3.4=3×1+4×0.1(就是3個(gè)1、4個(gè)0.1)。從這里可以看到,5個(gè)0.01就是0.05,7個(gè)0.1加4個(gè)0.1就是11個(gè)0.1(滿十進(jìn)一),就是1個(gè)1和1個(gè)0.1。整數(shù)部分,4個(gè)1加3個(gè)1,就是7個(gè)1,合起來(lái)一共是8個(gè)1,1個(gè)0.1,5個(gè)0.01。

        此時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察這3種不同的解題方法與之前學(xué)過(guò)的整數(shù)加減法有什么相同的地方,同時(shí)追問(wèn):計(jì)算小數(shù)加減法要注意些什么?通過(guò)觀察、比較,學(xué)生清晰地看到,小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的算理算法是一致的:小數(shù)加減法要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊,這樣才能做到數(shù)位對(duì)齊。然后,教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)從計(jì)數(shù)單位來(lái)分析、觀察,4.75和3.4分別表示什么意義?我們?cè)谟?jì)算時(shí)是如何相加的?這樣的分析與比較,一方面打通了“數(shù)域”之間的關(guān)聯(lián),凸顯了算理算法的融通;另一方面,通過(guò)前面的復(fù)習(xí)導(dǎo)入到新課學(xué)習(xí)過(guò)程,學(xué)生經(jīng)過(guò)嘗試練習(xí)、觀察比較,對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算一致性有了深刻體悟。

        二、聚焦本質(zhì),實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移

        新課標(biāo)在第三學(xué)段的教學(xué)提示中指出:通過(guò)整數(shù)的運(yùn)算,感悟整數(shù)的性質(zhì);通過(guò)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算,進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)范圍在運(yùn)算中的作用,感悟運(yùn)算的一致性。小學(xué)階段的數(shù)與運(yùn)算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)及其四則運(yùn)算,從橫向(數(shù)的認(rèn)識(shí)發(fā)展)與縱向(不同運(yùn)算發(fā)展)的聯(lián)系看,在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)中,教師可以幫助學(xué)生聚焦本質(zhì),從整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)乘法入手,理解分?jǐn)?shù)除法的意義和計(jì)算方法,實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的有效遷移。

        例如,教師在出示例題后,可以引導(dǎo)學(xué)生列出算式:[45]÷2 ,這個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的題目,如何計(jì)算呢?教師請(qǐng)學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)先嘗試解決。接著,教師選擇了三份不同的作品進(jìn)行展示,讓三位“小老師”進(jìn)行講解。

        生:如圖2,我把[45]升果汁化成800毫升,800÷2=400(毫升),400毫升=[25]升。

        教師指名兩名學(xué)生上臺(tái)板演。

        師:為什么想到把[45]化成[1215]呢?

        生:因?yàn)?÷3除不盡,所以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),把[45]先化成[1215],12個(gè)[115],平均分成3份,每份就是4個(gè)[115]。

        教師對(duì)后一名學(xué)生的想法進(jìn)行了肯定,隨即呈現(xiàn)了“小數(shù)除法”中的例題,當(dāng)12除以5,第一次商是2余2的情況下,我們?cè)谟嘞碌?后面添0 ,表示20個(gè)十分之一,繼續(xù)除下去, 20個(gè)十分之一除以5就是4個(gè)十分之一。所以,最后的商是2.4。

        由此學(xué)生可得出,把整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法,同樣是適用的(如圖6)。教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較中探究算法,進(jìn)一步聚焦計(jì)算的本質(zhì),感悟從計(jì)算單位入手,就能很好地理解一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù),為什么等于它乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

        縱觀小學(xué)階段的計(jì)算學(xué)習(xí),新知一般是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行建構(gòu)的。通過(guò)整數(shù)除法、小數(shù)除法的回憶,可以喚醒學(xué)生對(duì)已有除法的認(rèn)識(shí)。當(dāng)學(xué)生在計(jì)算[45]÷2和[45]÷3時(shí),自然會(huì)產(chǎn)生方法上的遷移。通過(guò)計(jì)算單位的細(xì)分,學(xué)生可以借助幾何直觀來(lái)探索和理解其算理,主動(dòng)生成算法,完成對(duì)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的意義建構(gòu),并感受到“基于計(jì)算單位的視角,整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法在計(jì)算方法上具有一致性”的道理。

        三、注重勾連,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

        運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的重要內(nèi)容,利用運(yùn)算律可以幫助學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算,提高運(yùn)算能力。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)集中安排了加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律、結(jié)合律、分配律。學(xué)生在初學(xué)這些內(nèi)容時(shí),往往掌握得不錯(cuò),但到期末復(fù)習(xí)階段或者小學(xué)六年級(jí)再來(lái)梳理運(yùn)算律時(shí),在作業(yè)練習(xí)中往往出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。通過(guò)調(diào)研,我發(fā)現(xiàn)造成這個(gè)問(wèn)題的主要原因是在教學(xué)運(yùn)算律時(shí),教師往往忽略了知識(shí)之間的勾連,學(xué)生獲得的是碎片化的理解,導(dǎo)致其對(duì)運(yùn)算律的理解不是很到位。如果站在一致性的角度,我們可以嘗試這樣來(lái)設(shè)計(jì)運(yùn)算律的教學(xué)。

        例如,在教學(xué)“乘法分配律”時(shí),教師可將其分為六個(gè)板塊有序推進(jìn)。

        1.復(fù)習(xí)舊知。最近,老師帶領(lǐng)大家一起學(xué)習(xí)了加法、乘法的運(yùn)算律。你能用字母表示嗎?

        加法交換律,加法結(jié)合律:。主要適用于加法運(yùn)算。

        乘法交換律,乘法結(jié)合律。主要適用于乘法運(yùn)算。

        請(qǐng)同學(xué)們猜想一下:加法和乘法之間是否也存在一種運(yùn)算律呢?你打算怎樣學(xué)?

        2.創(chuàng)設(shè)情境。(情境一)慶祝“六一”節(jié),學(xué)校給鼓號(hào)隊(duì)表演的33位同學(xué),每人買了一套運(yùn)動(dòng)服,每件上衣75元,每件褲子45元。一共用了多少錢?

        (情境二)學(xué)校擴(kuò)建一個(gè)長(zhǎng)方形的花壇。原來(lái)花壇長(zhǎng)6米,寬2米,擴(kuò)建后的長(zhǎng)增加了3米,求現(xiàn)在花壇的面積是多少平方米?

        學(xué)生嘗試練習(xí)、交流,教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形表征,分析每個(gè)算式的意義,并用文字表征的方法,初步歸納得到:75×33+45×33=(75+45)×33 ,(6+3)×2=6×2+3×2。有的學(xué)生嘗試用文字語(yǔ)言來(lái)描述:75×33加上45×33,等于75與45的和與33相乘;6與3的和與2相乘,等于6×2的積加上3×2的積。

        此時(shí),教師追問(wèn):“為什么每一個(gè)題目中左右兩個(gè)式子是相等的呢?(學(xué)生小組合作,嘗試進(jìn)行驗(yàn)證)”有的學(xué)生從實(shí)際意義來(lái)說(shuō)明:33件上衣的價(jià)錢加上33件褲子的加錢,就等于33套運(yùn)動(dòng)服的總價(jià);而右邊花壇的面積,我們既可以看作兩個(gè)小長(zhǎng)方形的和(用左邊原來(lái)長(zhǎng)方形的面積加上增加部分的面積),也可以從整體看(用現(xiàn)在的長(zhǎng)乘原來(lái)的寬)。有的學(xué)生從計(jì)算結(jié)果來(lái)驗(yàn)證,有的采用數(shù)形結(jié)合來(lái)驗(yàn)證……其中,一位學(xué)生進(jìn)行了這樣的推理:(6+3)×2=(6+3)+(6+3)=(6+6)+(3+3)=6×2+3×2。

        基于這樣的分析,學(xué)生同樣可以根據(jù)(75+45)×33,得到33個(gè)75相乘加上33個(gè)34相乘……聯(lián)系乘法的意義去理解等式兩邊相等的道理。至此,無(wú)論從情境中的實(shí)際意義,還是從聯(lián)系圖形的幾何意及算理推導(dǎo),到最后的乘法意義說(shuō)明,學(xué)生都對(duì)兩個(gè)算式為什么左右相等,進(jìn)行了解釋和驗(yàn)證。

        3.抽象概括。通過(guò)上面創(chuàng)設(shè)的情境,教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生把第一題、第二題的具體數(shù)字用字母來(lái)表示,再讓他們嘗試進(jìn)行總結(jié),借助幾何直觀,用字母表征。這樣可幫助學(xué)生從更為一般的層面來(lái)完整理解乘法對(duì)于加法的分配律的意義。

        4.回顧梳理。課始的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié),教師引導(dǎo)學(xué)生得到的猜想,已經(jīng)得到驗(yàn)證。那么,我們剛才是怎么學(xué)習(xí)的呢?師生一起總結(jié)方法,進(jìn)行鞏固練習(xí)。

        5.縱橫勾連。教師啟發(fā)學(xué)生思考:在已往的學(xué)習(xí)中,哪些地方已經(jīng)運(yùn)用了乘法分配律?經(jīng)過(guò)討論交流,師生一起回憶:原來(lái)在三年級(jí)學(xué)習(xí)計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)、兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法等內(nèi)容時(shí),我們都已經(jīng)運(yùn)用了乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

        6.拓展聯(lián)想。既然乘法對(duì)加法有運(yùn)算律,那么,乘法對(duì)減法有運(yùn)算律嗎?基于上面的學(xué)習(xí)和思考,學(xué)生也不難自主進(jìn)行遷移。教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察得到乘法對(duì)于減法的分配律,并從乘法意義的角度,再次進(jìn)行驗(yàn)證……

        新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”第二學(xué)段的教學(xué)提示中明確指出:通過(guò)實(shí)際問(wèn)題和具體計(jì)算,引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運(yùn)算律,用字母表示運(yùn)算律、感知運(yùn)算律是確定算理和算法的重要依據(jù),形成初步的代數(shù)思維。上面的教學(xué)設(shè)計(jì),教師在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,縱向勾連,橫向生長(zhǎng),激活了新知與舊知之間的聯(lián)系;運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,采用多元表征的方式,讓學(xué)生充分理解了乘法分配律的意義,凸顯了乘法分配律與乘法其他運(yùn)算律實(shí)質(zhì)性的區(qū)別;發(fā)展了推理能力,建構(gòu)了模型思想,促進(jìn)了學(xué)生的主動(dòng)參與和深度學(xué)習(xí)。

        參考文獻(xiàn):

        [1]王玉彬,姚穎.探索運(yùn)算本質(zhì) 構(gòu)建運(yùn)算聯(lián)系——數(shù)的運(yùn)算“一致性”的探索實(shí)踐與研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2022(9).

        [2]鞏子坤,史寧中,張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角:數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性[J].課程.教材.教法,2022(7).

        (責(zé)任編輯:楊強(qiáng))

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