盧德天

【摘 ?要】本文從數(shù)感結(jié)構(gòu)的數(shù)、運(yùn)算、估計(jì)、情境四方面入手，結(jié)合實(shí)例，提出了從數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算與估算以及數(shù)感在解決問題中的應(yīng)用這三個(gè)角度，在課堂中滲透數(shù)感思維的數(shù)感培養(yǎng)方法。

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo);數(shù)感;運(yùn)算;估計(jì)

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力，即在一定程度上能主動(dòng)地、自覺地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，亦即學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中指出，在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、 量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)。

數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。從認(rèn)識(shí)自然數(shù)，到有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，我們學(xué)習(xí)的數(shù)越來越復(fù)雜、抽象。但是數(shù)字的學(xué)習(xí)逃不開對(duì)于數(shù)的意義、數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)。認(rèn)識(shí)數(shù)、理解數(shù)是良好運(yùn)用數(shù)字的基礎(chǔ)，也是數(shù)感建立的基礎(chǔ)。

一、數(shù)的認(rèn)識(shí)

在小學(xué)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了基本的自然數(shù)、小數(shù)。學(xué)生通常是在豐富的實(shí)際生活背景中抽象出數(shù)字的概念。進(jìn)入初中后，人教版初中數(shù)學(xué)第一課是正數(shù)與負(fù)數(shù)。在學(xué)習(xí)新知識(shí)“負(fù)數(shù)”時(shí)，我們也應(yīng)利用學(xué)生熟悉的情境，讓學(xué)生覺得負(fù)數(shù)的出現(xiàn)是有必要的。

例1：（1）北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃?！?3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？（2）某年，我國(guó)花生產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)1.8%，油菜籽產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)-2.7%，“增長(zhǎng)-2.7%”表達(dá)什么意思？

本章引言中給出兩個(gè)具體的生活實(shí)例。溫度是學(xué)生熟悉的，產(chǎn)量增長(zhǎng)是生產(chǎn)實(shí)踐中常用的數(shù)據(jù)，都是具體生動(dòng)的例子。由于生活和生產(chǎn)的需要，產(chǎn)生了新的數(shù)——負(fù)數(shù)。其中，-3℃表示零下3攝氏度、增長(zhǎng)-2.7%表示減少2.7%。在給出更多的具體例子后，我們能引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：如果一個(gè)問題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示它們。

上述的案例中，學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的觀察，理解負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景和產(chǎn)生的必要性，也能感受到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。

認(rèn)識(shí)數(shù)字后，學(xué)生要意識(shí)到數(shù)字不是孤立的，學(xué)生要懂得尋找數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)。進(jìn)入初中后，數(shù)的范圍擴(kuò)大到了實(shí)數(shù)。因此，每個(gè)數(shù)字都有所屬的集合。

例2：屬于下列哪個(gè)集合（ ? ）。

A.分?jǐn)?shù)集合 ? ?B.無理數(shù)集合 ? ? C.正數(shù)集合

經(jīng)過測(cè)試，50名初三學(xué)生中有32名學(xué)生選擇B、C，6名學(xué)生選擇A、C，10名學(xué)生選擇B，2名學(xué)生選擇C。對(duì)于單獨(dú)選B的學(xué)生，可以認(rèn)為是沒想到題目多選，審題時(shí)只看了B就選了。問題是6名選擇A、C的學(xué)生，經(jīng)過提問了解到，學(xué)生認(rèn)為的分母為3，分子為，因此很疑惑為什么不為分?jǐn)?shù)。這體現(xiàn)學(xué)生對(duì)于數(shù)字的概念理解不扎實(shí)或遺忘。課堂上應(yīng)回顧概念：既約分?jǐn)?shù)的分子與分母應(yīng)都是整數(shù)，分?jǐn)?shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此兩個(gè)概念之間是互斥的。而是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它不為分?jǐn)?shù)，是無理數(shù)。數(shù)的分類是數(shù)的概念的理解與應(yīng)用，也是數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的第一部分。

再者，兩個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系有：①相等與不等關(guān)系;②相反數(shù)、倒數(shù)等關(guān)系;③平方與算術(shù)平方根等關(guān)系。數(shù)的相等關(guān)系也體現(xiàn)了同一個(gè)數(shù)的不同表示法，例如0.5==50%;數(shù)的不等關(guān)系就是比大小，在初中學(xué)習(xí)了正負(fù)數(shù)后，我們引入數(shù)軸這一工具。在實(shí)數(shù)章節(jié)，我們認(rèn)識(shí)到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。因此不僅可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示所有的實(shí)數(shù)，還能借助數(shù)軸比大小、學(xué)習(xí)數(shù)的加減法、理解數(shù)的絕對(duì)值相反數(shù)等概念。數(shù)軸將抽象的實(shí)數(shù)具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前。

例3：在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)。

表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)對(duì)學(xué)生來說是相對(duì)簡(jiǎn)單的，而表示如的二次根式，學(xué)生需要利用勾股定理，構(gòu)造直角邊為2，3的直角三角形，得到斜邊為，從而用圓規(guī)在數(shù)軸上截出。這一結(jié)果也讓學(xué)生直觀感受到，是真實(shí)存在的數(shù)，是可以在數(shù)軸上表示出來的，它就在3，4之間，因此3<<4，甚至可以用二分法逼近得到3.5<<4，進(jìn)而逐步求它的近似值。這些過程都可以加深學(xué)生對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

數(shù)的意義與關(guān)系是學(xué)習(xí)數(shù)的重點(diǎn)，認(rèn)識(shí)數(shù)的概念，理解實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，是發(fā)展數(shù)感的關(guān)鍵，也是靈活運(yùn)用數(shù)的基礎(chǔ)。

二、數(shù)的運(yùn)算與估算

數(shù)感的應(yīng)用首先是運(yùn)算，所有復(fù)雜的運(yùn)算都是由基本的運(yùn)算復(fù)合而成的。學(xué)生依次學(xué)習(xí)了加減乘除、乘方、開方等運(yùn)算，對(duì)于運(yùn)算的靈活運(yùn)用建立在對(duì)于運(yùn)算符號(hào)的理解上。如果沒法理解根號(hào)的意義，那么就沒法求出的值。因此，對(duì)于每一個(gè)運(yùn)算，學(xué)生都要掌握：這個(gè)運(yùn)算的目的是什么;為什么這個(gè)情境下要使用這個(gè)運(yùn)算;這個(gè)算式表達(dá)的意思是什么;這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果會(huì)是怎樣，即預(yù)測(cè)運(yùn)算結(jié)果的范圍以及判斷結(jié)果的合理性。

例4：|-2|+2sin30°-（？仔-1）0

初三學(xué)生在面對(duì)本題時(shí)，50名學(xué)生中41名學(xué)生得到正確答案，其余9名學(xué)生的錯(cuò)因體現(xiàn)在：①7人對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的理解有誤;②2人絕對(duì)值運(yùn)算出錯(cuò)。在與7名學(xué)生詢問錯(cuò)因時(shí)，得到一個(gè)啼笑皆非的說法：當(dāng)天sin30°的符號(hào)在打印時(shí)，打印成sin300。學(xué)生在同一個(gè)題目中看到sin300與（？仔-1）0，反復(fù)對(duì)比打印的結(jié)果，認(rèn)為sin30°表達(dá)的是sin30的0次方。一個(gè)打印的失誤暴露了學(xué)生對(duì)符號(hào)理解得不深刻。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，學(xué)生有學(xué)習(xí)sin230°的記號(hào)，當(dāng)時(shí)已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這個(gè)記號(hào)表達(dá)的是sin30°這個(gè)數(shù)的平方，等于。聯(lián)想學(xué)習(xí)下，sin30°的0次方應(yīng)該寫作sin030°。若老師們從更高的視角來看，高中學(xué)習(xí)了弧度制和角度制后，sin30°與sin30的含義是截然不同的。

上述案例告訴我們，數(shù)學(xué)運(yùn)算許多時(shí)候以數(shù)學(xué)符號(hào)為載體，因此正確計(jì)算的前提，是對(duì)運(yùn)算符號(hào)、運(yùn)算法則、運(yùn)算律的正確理解。

一直以來，我們習(xí)慣于教導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，匹配相應(yīng)解題思路，套用公式，得到唯一而準(zhǔn)確的答案。然而估算思想?yún)s是數(shù)感概念中不可或缺的一部分。估算，或叫作計(jì)算的感覺能力，是指?jìng)€(gè)體懂得什么情況宜于估計(jì)而不必作精確計(jì)算，并會(huì)加以應(yīng)用，特別適用于解決日常實(shí)際問題和判斷一些計(jì)算結(jié)果的合理性。在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中指出：“在實(shí)際情境中，運(yùn)用數(shù)和數(shù)的運(yùn)算解決問題;在解決實(shí)際問題的過程中，能結(jié)合具體情境，選擇合適的單位進(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”。估算的思想，在過去的數(shù)學(xué)課程中并沒有得到太多的重視，然而，估算思想在許多時(shí)候能幫助人們快速解決問題。人教版七年級(jí)下第六章實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)2中，給出數(shù)學(xué)家華羅庚的故事。

例5：據(jù)說，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到鄰座閱讀的雜志上的智力題：一個(gè)數(shù)是59319，求它的立方根。華羅庚脫口而出：39，乘客很驚奇，問計(jì)算技巧。

作為一個(gè)智力題，大多時(shí)候我們是不能硬算的，得借助一些技巧，例如估算。由103<59319<1003，可得10<<100，故是兩位數(shù);由59319的個(gè)位數(shù)字上是9，將0到9的所有數(shù)的立方都計(jì)算后可知，只有9的立方個(gè)位數(shù)字是9，因此的個(gè)位上的數(shù)是9;忽略59319中的后三位，考慮到由27000<59000<64000，可得30<<40，能估算出的十位上的數(shù)是3，因此在默認(rèn)59319為完全立方數(shù)的前提下，能確認(rèn)=39。

老師在平時(shí)就要?jiǎng)?chuàng)造讓學(xué)生估算的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生把握好使用估算的場(chǎng)合，優(yōu)化估算的技巧。在掌握了基本解題思路的基礎(chǔ)上，要有意識(shí)乃至無意識(shí)地去找尋條件及結(jié)論中關(guān)于數(shù)字的特征、規(guī)律，并進(jìn)行總結(jié)、實(shí)證，培養(yǎng)自己面對(duì)數(shù)字的感覺。并通過多次練習(xí)、反復(fù)驗(yàn)證，磨練、強(qiáng)化這種直覺及信心。

三、數(shù)感在解決問題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，最終要高于生活。數(shù)感從情境中來，并最終運(yùn)用于情境的分析和構(gòu)建上。情境綜合了數(shù)、運(yùn)算、估計(jì)三個(gè)方面的學(xué)習(xí)。在解決一個(gè)實(shí)際情境的問題時(shí)，既包括了對(duì)情境中數(shù)量關(guān)系的理解和表述，也包括了運(yùn)算及對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)。

例6.小明到學(xué)校旁的文具店買自動(dòng)筆和圓珠筆。圓珠筆295元一支，自動(dòng)筆1.50元一支。小明帶了12元錢，他想買3支圓珠筆和1支自動(dòng)筆，能買成么？

還沒看完題目，學(xué)生就會(huì)嚷嚷著說題目打印錯(cuò)誤了！普通的圓珠筆不可能295元一支。老師可以追問，那同學(xué)們認(rèn)為應(yīng)該是多少錢一支呢？學(xué)生回答應(yīng)該是2.95元一支。這就是數(shù)感良好的反應(yīng)，學(xué)生能判斷情境中數(shù)據(jù)的合理性。題目更改數(shù)據(jù)后，學(xué)生可以從兩個(gè)角度解決問題：①直接計(jì)算購(gòu)買3支圓珠筆和1支自動(dòng)筆需要的錢數(shù)為10.35元，比較發(fā)現(xiàn)10.35<12，所以能買成。該方法是直接計(jì)算，會(huì)遇到2.95×3+1.5的運(yùn)算，有一點(diǎn)運(yùn)算量，但能接受。②一些學(xué)生會(huì)說：“一支圓珠筆不到3元，三支就是9元不到，加上一支2元不到的自動(dòng)筆，不到12元，可以買成?！痹搶W(xué)生的回答用到了估計(jì)的策略，等價(jià)于設(shè)圓珠筆的價(jià)格為x元/支，自動(dòng)筆的價(jià)格為y元/支，由x<3y<2得到3x+y<12，從而避開較復(fù)雜的計(jì)算，解決問題。在此，估算的思想方法一定程度上有簡(jiǎn)便的效果。

當(dāng)然，估算也有其局限性，不一定適用于所有

情況。

例如，老師將題目更改：“圓珠筆2.85元一支，自動(dòng)筆1.45元一支，小明帶了10元錢在身上，他想買3支圓珠筆和1支自動(dòng)筆，能買成么？”

實(shí)際上，由于2.85×3+1.45=10，此時(shí)小明剛剛好能夠用10元錢買下3支圓珠筆和1支自動(dòng)筆，不過，此時(shí)上述的估算思路就不適用了：3支圓珠筆9元不到，加上1.45的自動(dòng)筆，總價(jià)不到10.45元，但是不代表此時(shí)的總價(jià)格就會(huì)超過10元，因此本題不適合用估算，只能踏踏實(shí)實(shí)地硬算。

在情境中討論問題能讓學(xué)生綜合調(diào)動(dòng)閱讀能力、分析能力、建模意識(shí)，一些開放性較強(qiáng)的題目也能讓學(xué)生發(fā)散思維，用多種辦法解決問題。在上述問題的解決和變式過程中，學(xué)生能體驗(yàn)到良好的數(shù)感能尋找更快捷更合適的問題解決路徑，也能逐漸學(xué)會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，并將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活中。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)感作為數(shù)學(xué)抽象能力中最基礎(chǔ)的一環(huán)，是解決代數(shù)問題以及實(shí)際問題的基礎(chǔ)。數(shù)感的培養(yǎng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)初步地用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，掌握運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力。因此，需要教師從認(rèn)識(shí)數(shù)的定義，到數(shù)的運(yùn)算估算，最后實(shí)際應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)給學(xué)生以幫助。在平時(shí)的課堂教學(xué)、課后作業(yè)設(shè)置，甚至于在日常生活的點(diǎn)滴細(xì)節(jié)上，都應(yīng)該多給學(xué)生機(jī)會(huì)感知數(shù)與數(shù)量關(guān)系的存在并用以解決問題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-9.