屈婷　沈丹萍

十進位值制記數法是理解數概念及其運算算理、算法的依據。如何引導學生體會“位值制”和“十進制”的簡潔性與價值性，下面，筆者談談自己的做法。

一、借“埃及象形數字”之力，感悟“值”的思想

學習《百以內數的認識》時，筆者借助古埃及象形數字，引導學生解讀其記數規(guī)則：1～9的表示采用了一一對應的方式，符號的個數與要記錄的數的大小是等值的;對于10、100、1000等較高單位的數，則需要創(chuàng)造一些新符號，通過對單個或多個符號的累加來記數。

師：如下圖，古埃及象形數字有什么特點？

生1：數字1～9都是畫豎線表示，要表示幾，就畫幾條豎線，表示10的時候畫了另外一個符號。

師：古埃及人為什么沒有畫10條豎線來表示10？

生2：一直這樣畫下去太麻煩了。

師：借助這些符號，古埃及人可能怎樣表示12？

師（展示學生作品：這兩種表示方法有什么不同？

生3：第①種是把1和2組合在一起，第②種是用10加2得到12的。

師：古埃及人采用了第②種方法來表示12。根據這樣的規(guī)則，你認為能用“”符號表示12嗎？

生4：不行，這樣就表示20了。

生5：20應該是10加10，不是2加10。

生6：埃及數字是加的，不管哪個符號在前面，都是把它們合起來，2加10還是12。

師：按照這樣的規(guī)則，21可以怎樣用古埃及象形數字表示？

師（展示學生作品：：你認為這三種方法都對嗎？

生7：第①種不對，古埃及的2就是2，不能表示20。

生8：古埃及的規(guī)則是加，按照前面的規(guī)則，第①種方法表示的數應該是3。

生9：第②種和第③種都對，都是把20與1加起來，都能表示21。

師：三千多年前，符號“”的出現是一個偉大的發(fā)明。想一想，有了這個符號，當時的古埃及可以表示的最大數是多少？怎樣表示？

生10：最大只能表示99，把表示“10”的符號畫9次，再加個“9”。

師：如果沒有這個符號，99要怎樣記錄？

生11：要畫99條豎線，太麻煩了。

師：如果要表示更大的數，可以怎么辦？

生12：可以發(fā)明“百”“千”這些更大單位的符號。

在比較中，學生逐漸體會到古埃及象形數字中符號“10”的產生蘊含著“化大為小”的思想，從而感悟到古人的智慧。

二、借“中國古代算籌”之力，凸顯“位”的價值

中國古代算籌既有“滿十進一”的思想，也有數位的概念。教學《10000以內數的認識》時，筆者出示我國古代算籌中“1～9”的符號并告訴學生：我國古人用算籌來記數，大家觀察一下，看看用算籌表示數有什么特點？學生發(fā)現：1～5都用畫橫線或豎線的方式表示，縱式的6～9中用“一橫”來表示5，橫式的6～9中用“一豎”來表示5，如下圖所示。

接著，筆者利用課件呈現“12”的擺法，引導學生觀察：算籌擺出的12與阿拉伯數字表示的12有什么相同的地方？學生提出：12是由1和2兩個符號組合而成，1放在左邊，表示十位，2放在右邊，表示個位，即“─││”。

隨后，筆者向學生介紹了算籌表示多位數的一般方法：個位用縱，十位用橫，百位用縱，千位用橫，遇零則空，并提問：根據這個規(guī)則，你認為21可以怎樣用算籌表示？有學生回答：把1和2交換一下位置就可以了。還有學生提出：要將1變成“縱式”，2變成“橫式”。筆者追問：交換位置后，數的大小發(fā)生變化了嗎？2表示的意義還一樣嗎？學生回答：交換位置后，數變大了，2擺在個位時，表示2個一，交換后，2在十位上，表示2個十。筆者追問：你能用算籌擺一個更大的數嗎？學生通過操作擺出999、9999等較大的數，并發(fā)現：用算籌可以擺出無限大的數，9所在的數位越高，表示的數就越大。

最后，筆者引導：與古埃及象形數字相比，算籌少了表示“10”的符號，為什么表示的數反而多了？學生討論后得出：古埃及象形數字中數的大小與符號擺放的位置沒有關系，9只能表示9，要表示更大的數，更要不斷發(fā)明新的符號來表示更大的單位，而算籌只要把一個數擺在不同的位置，就能表示更大的數。

三、借“其他進制”之力，挖掘“十進”的內涵

進位制是人們?yōu)榱擞嫈岛瓦\算方便而約定的記數方法。除了“十進”關系，相鄰單位之間還可以是其他倍數關系，如計算機常用的“二進制”、古人計算質量時“半斤八兩”的“16進制”，以及現今仍廣泛使用的時、分、秒之間的“60進制”。教師在教學中引入其他進制，可以讓學生在對比中對“十進制”的記數規(guī)則與原理有更深的體會和理解。

教學《十進制計數法》時，筆者引導學生思考：用計數器數數時，我們常說“滿十進一”，為什么要“滿十進一”？可以“滿九進一”嗎？大部分學生都認為“滿十進一”是規(guī)定，不能“滿九進一”。接著，筆者提問：如果規(guī)定“滿九進一”，你認為這些蘋果（利用課件呈現9個蘋果的實物圖）可以怎樣表示？在計數器上數一數，畫一畫。學生思考、操作后，有以下三種方法。

筆者引導學生討論：這三種畫法有什么不同？哪些方法你認為不對？學生都認為方法③是正確的;方法②的個位上已經有8顆珠子了，再加1顆就夠了，但這一顆不能撥在十位上;對于方法①，學生意見不一致。有的學生認為方法①不對，因為在十進制的計數器上，10只能在十位上撥1顆珠子，個位上是沒有珠子的;也有的學生認為方法①是對的，因為十進制中十位上的“1”是由個位上的“10”進位得到的，方法①表示的是“滿九”后還沒有進位的狀態(tài)。筆者順勢引導學生在計數器上撥一撥，數一數，體會從1數到9，右邊數位“滿九”向左邊數位“進一”的過程，并提問：在九進制中，這個數怎樣書寫？還能讀作“十”嗎？左邊的這顆珠子所在的數位還是十位嗎？學生討論之后，認為這個數雖然寫作“10”，但應該讀作“九”，左邊珠子所在的數位就叫“九位”。筆者繼續(xù)提問：現在增加到18個蘋果，你能在“九進制”的計數器上數一數、畫一畫嗎？這個數又該怎么讀、怎么寫？操作、思考后，學生達成共識：個位滿“九”，向“九位”進一，18里有2個九，需要向“九位”進兩次，這樣“九位”就要畫兩顆;寫數時，在“九位”寫2，“個位”寫0。讀數的過程中，學生又有不同的看法，有的學生贊同讀“二零”，有的學生認為在“十進制”中讀數要先讀“數量”再加上“計數單位”，十進制的“20”讀作“二十”，九進制的“20”要讀作“二九”。

經歷了以上活動，學生體會到：同一數量，即使都采用阿拉伯數字符號來記錄，但在不同進制中表示的方式也可能不同。十進位值制與其他進制的記數原理和規(guī)則是相通的，都是在“低位”累積到一定數量的數之后，用“高位”上的“1”來替代?！皾M幾進一”的進位過程創(chuàng)造了“位”，也使這一位上的數有了“值”。

責任編輯? 張敏