[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模思想的培育可以促使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題. 文章以“相似三角形的應(yīng)用”一節(jié)為例，借助數(shù)學(xué)史料使學(xué)生經(jīng)歷相似三角形模型的構(gòu)造、總結(jié)、應(yīng)用、反思過程，逐步培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模思想，提高知識應(yīng)用能力.

[關(guān)鍵詞] HPM;相似三角形;數(shù)學(xué)建模思想

“相似三角形的應(yīng)用”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何建模學(xué)習(xí)的重要一節(jié)，該節(jié)內(nèi)容是對相似三角形知識的應(yīng)用、拓展與延伸，也是將較為抽象的相似三角形知識與生活實際相結(jié)合的過程. “相似三角形的應(yīng)用”主要解決不能直接測量的物體的長、寬、高、深等問題，其相似模型大體分為平行相似型、對頂角相似型和反射相似型三類. 為了使學(xué)生更加深入地了解相似三角形應(yīng)用的發(fā)展歷程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)形結(jié)合的能力，筆者基于相似三角形應(yīng)用的發(fā)展歷史，對應(yīng)三類應(yīng)用模型進行教學(xué)設(shè)計.

史料的選取與利用

早在約公元前1600年，巴比倫的泥板文獻中就已經(jīng)開始了對相似三角形的應(yīng)用，公元前6世紀(jì)，泰勒斯利用陽光下物體與影子的關(guān)系測量金字塔的高度. 我國西漢末期的《周髀算經(jīng)》中詳細記載了相似測量術(shù)，漢代《九章算術(shù)》中的“勾股”章對于勾股測量的問題也應(yīng)用了相似三角形. 雖然數(shù)學(xué)史上關(guān)于相似三角形應(yīng)用的文獻浩如煙海，但是中學(xué)教師所掌握的可直接用于課堂的材料卻極為缺乏[1]. 對此筆者根據(jù)現(xiàn)有的相似三角形的應(yīng)用史料，依據(jù)汪曉勤教授對于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)方式的分類，采取附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式與重構(gòu)式進行教學(xué)問題設(shè)計，具體的數(shù)學(xué)史料與融入方式如下表所示.

數(shù)學(xué)史料與融入方式

教學(xué)分析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.進一步鞏固應(yīng)用相似三角形的知識，掌握常見的相似三角形模型.

2.能在具體情境中運用相似三角形模型. 利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)實際問題構(gòu)建相似三角形模型，反思模型的應(yīng)用.

3.感受相似三角形的發(fā)展應(yīng)用過程，增強抽象數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系感，體會數(shù)學(xué)是建構(gòu)現(xiàn)實世界的有效模型，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模思想與模型應(yīng)用意識.

（二）教學(xué)重、難點

重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的相似三角形模型.

難點：靈活運用相似三角形知識構(gòu)建、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，并反思模型.

教學(xué)設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出相似測量

引入：我國第一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》最早提出了相似測量術(shù)，其中記載了這樣一個故事：一次周公問商高，古時作天文測量和訂立歷法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數(shù)是怎樣得來的？商高回答說，數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來. 矩是根據(jù)乘、除計算出來的. 周公曰，大哉言數(shù)！請問用矩之道. 商高曰，平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方. （“矩”原是指包含直角的作圖工具）

問題1：聽完這個故事你是否明白了商高的相似測量術(shù)呢？

設(shè)計意圖 用我國測量術(shù)的數(shù)學(xué)史故事引入，牽出相似三角形的應(yīng)用，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受到抽象數(shù)學(xué)知識的實用價值. 但是在具體應(yīng)用方法上，并未解釋清楚，從而引發(fā)學(xué)生的好奇心，激起學(xué)生“要學(xué)習(xí)”的強烈欲望.

（二）分類研討，構(gòu)造相似模型

1. 平行相似型

例1 其實早在2700多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯僅用竹竿就測量出金字塔的高度，圖1是泰勒斯利用相似三角形測量金字塔的原理，圖2是測量的數(shù)學(xué)模型，其中四邊形ABCD為正方形，OE=201 m，HF=2 m，F(xiàn)G=3 m. 請你思考一下金字塔的高度PO怎樣計算呢？

問題2：從圖1中你發(fā)現(xiàn)泰勒斯用了什么樣的物理原理，對應(yīng)圖2的模型中你得到了哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？

學(xué)生根據(jù)光沿直線傳播得到PE∥HG，又因為PO∥HF，所以∠OPE=∠FHG.

問題3：你尋找到了哪兩個三角形相似，其相似的條件是什么？

師生共同探尋其中的相似三角形，標(biāo)出對應(yīng)量列出比例關(guān)系求解.

問題4：現(xiàn)實情境中一定要保證線段OE與FG在一條直線上嗎？如果不能直接進入金字塔測量OE，你能想到什么辦法求出其長度呢？

學(xué)生相互討論，再次利用三角形相似判定定理、中位線定理等解決兩問題. 師生共同梳理相似三角形模型構(gòu)建的步驟與要點：

（1）梳理題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型.

（2）尋找模型中證明三角形相似的條件，列出相似比求解.

（3）圖形與幾何的計算問題，需要先經(jīng)過證明，再進行計算.

（4）將解決的數(shù)學(xué)問題還原為實際問題，還原中注意反思模型實踐時可能存在的問題與解決辦法.

設(shè)計意圖 該問題跨學(xué)科融合了物理知識，把問題建立在學(xué)生已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)上探尋模型規(guī)律，貼近學(xué)生的生活實際. 問題解決時讓學(xué)生先觀察實際情境圖進行思考，再展示數(shù)學(xué)模型圖，可以使學(xué)生充分感知幾何模型的構(gòu)造對于解決問題的重要性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型思想. 并且該問題中筆者充分考慮了模型的實踐性，針對可能存在疑惑或困難的操作進行設(shè)問，增強模型的現(xiàn)實意義，并且為下一個平行問題做鋪墊. 通過該問題總結(jié)一般相似應(yīng)用模型的規(guī)律與要點，使學(xué)生掌握解決問題的方法與步驟.

例2 有一塊形狀為直角三角形的木板，其直角邊長分別為5 m和12 m，如果木匠師傅要在其中裁截出一塊面積最大的正方形木板，請你幫木匠師傅計算出正方形木板的邊長. （改編自《九章算術(shù)》中的“勾股容方”問題）

合作探究：該問題源自我國歷史上著名的“勾股容方”問題，先自己思考，再小組成員間相互交流討論，看看你能幫木匠師傅構(gòu)造出幾種容方模型（如圖3所示，其中的兩種）.

問題5：如何計算兩種情況中正方形的邊長呢？

學(xué)生根據(jù)上述歸納的步驟，從構(gòu)造的容方模型中尋找相似三角形，并列出比例關(guān)系求解. 對于第二種容方模型，學(xué)生在尋找求解相似比例時可能存在困難.

追問：兩個三角形相似，除了邊對應(yīng)成比例外，還有哪些性質(zhì)呢？

學(xué)生回憶三角形相似的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高對應(yīng)成比例（如圖4所示），列出能求解的相似比例式，再比較面積的大小關(guān)系.

問題6：（推廣）該問題中利用的是直角三角形，如果將△ABC換成一般三角形，該相似模型還適用嗎？

小組再次討論結(jié)論的一般性，師生共同得出第二種模型對于所有三角形均成立，但前提是對應(yīng)邊上的高已知或能計算出來.

設(shè)計意圖 “勾股容方”是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)問題，但《九章算術(shù)》中的問題情境過于單一，通過對問題的改編使其更具有實際應(yīng)用感. 該問題的學(xué)習(xí)采用小組合作探究的活動方式，在合作探究中使學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)實際問題建立模型的過程，培養(yǎng)模型構(gòu)建能力. 容方模型有兩種構(gòu)造方式，教學(xué)設(shè)計時要預(yù)設(shè)到學(xué)生對于第二種容方模型求解存在困難，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用相似三角形的其他性質(zhì). 最后對該模型的推廣做出設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考結(jié)論是否能一般化，增強學(xué)生對模型的總結(jié)與反思能力.

2. 對頂角相似型

例3 今有井徑五尺，不知其深. 立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸. 問井深幾何？[2]（1尺=10寸）

問題7：根據(jù)題意對照圖5模型，你理解出了怎樣的題意？

學(xué)生解釋題意，根據(jù)∠EAB=∠B，∠EFA=∠BFG證明出△AFE∽△BFG，列出比例關(guān)系代入已知的各邊長度求解.

問題8：你認(rèn)為在測量時，測量者應(yīng)該注意什么？

學(xué)生自我模擬測量過程，根據(jù)數(shù)學(xué)模型反思實際問題中的注意點，教師引導(dǎo)得出EA⊥AB，E，F(xiàn)，G三點在同一條直線上的關(guān)鍵點.

問題9：對頂角相似模型除了可以測井深還可以測河寬，與小組同學(xué)商討一下，怎樣利用對頂角相似模型測量一個河的寬呢？

學(xué)生小組討論，師生共同利用該類相似模型設(shè)計測量河寬方案.

設(shè)計意圖 該問題情境設(shè)置相較于前兩個例題增加了難度，考查學(xué)生結(jié)合模型對題意的理解與分析，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 數(shù)學(xué)是一門實用性學(xué)科，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時要將其與現(xiàn)實情境相連通，考慮現(xiàn)實中的影響因素與注意點，對頂角相似模型的關(guān)鍵在于找到對頂角，因此要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注構(gòu)造對頂角時的必要條件——使得E，F(xiàn)，G在一條直線上. 同一個數(shù)學(xué)模型可以適用于多樣的問題情境，設(shè)計測量河寬的方案可以使學(xué)生感受到對頂角相似模型不僅可以用來測量深度，還可以用來測量寬度. ？搖？搖

3. 反射相似型

問題10：假如你現(xiàn)在有一面鏡子，你能利用鏡子想到什么樣的方案測量樓高呢？

學(xué)生自己思考討論方案，并畫出方案圖.

例4 如圖6所示，在《數(shù)學(xué)入門》中記載了古人利用鏡面反射原理測量樓高的方法，如果人高2 m，測得人距離鏡面3 m，鏡面距離樓15 m，請問樓高多少？（忽略鏡子的大?。?/p>

問題11：根據(jù)實物圖，再修改你設(shè)計的模型圖. 根據(jù)反射原理你得到了哪一組角對應(yīng)相等？

學(xué)生自己構(gòu)造并完善模型，尋找三角形相似條件，列出相似比，求樓高.

設(shè)計意圖 在該類相似模型學(xué)習(xí)前，根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗給出相應(yīng)的工具，使學(xué)生自我思考設(shè)計測量方案，展現(xiàn)自我能動性，再根據(jù)實物圖完善自己構(gòu)建的相似模型，進一步培養(yǎng)解決實際問題的能力與建模思想，感受數(shù)學(xué)是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型.

（三）應(yīng)用模型，拓展深化思維

練習(xí)一：今有邑方不知大小，各中開門. 出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木. 問邑方幾何？[2]（如圖7所示）

練習(xí)二：在班級測量實踐活動時，某一小組要測量的大樹周圍都是建筑物，無法利用竹竿測量樹高. 如圖8所示，現(xiàn)在知道建筑物EC與這棵樹AB之間的距離BC=4 m，其落在建筑物墻面上的影子CD=2 m，此時竹竿GF=1.2 m，它落在地面上的影子GH=2 m，想想如何用不同的辦法幫他們計算一下樹的高度（至少兩種）.

設(shè)計意圖 以上兩個鞏固練習(xí)的設(shè)置基于學(xué)生對本節(jié)課基礎(chǔ)知識的掌握，深化三角形相似模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想與能力. 第一個練習(xí)是“勾股容方”模型的變式，該變式打破了學(xué)生對模型的固化思想，使其感受模型的靈活與變換魅力. 第二個是基于實踐的相似三角形測量問題，模擬真實測量中可能產(chǎn)生的問題，使學(xué)生采用多種方式解決該問題，發(fā)展學(xué)生的問題解決能力，同時感受數(shù)學(xué)模型的建立給解決真實問題帶來的多樣化策略.

（四）總結(jié)收獲，回顧反思模型

問題12：學(xué)習(xí)完相似三角形的應(yīng)用你是否明白了商高的測量術(shù)呢？

問題13：這節(jié)課學(xué)習(xí)的三類模型有哪些特點？用三類模型解決問題的步驟是什么？現(xiàn)實中操作模型時應(yīng)該注意些什么？

問題14：你在解決問題中學(xué)習(xí)到哪些數(shù)學(xué)思想方法？對于模型建構(gòu)你有什么樣的感悟？

學(xué)生暢所欲言講述自己的收獲與感悟，教師針對這些問題做出補充與強調(diào).

設(shè)計意圖 學(xué)生與教師共同歸納總結(jié)知識，解決課堂開始的疑問，反思課堂中模型特點與思想方法. 幫助學(xué)生梳理知識，養(yǎng)成自我總結(jié)反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣. ？搖

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計立足學(xué)生的知識與生活經(jīng)驗基礎(chǔ)，以相似三角形的應(yīng)用史料為載體，包容相似三角形的應(yīng)用知識. 使學(xué)生通過觀察、分析、歸納、轉(zhuǎn)化、構(gòu)建、解答、反思等一系列過程，感受抽象數(shù)學(xué)知識與生活的相互聯(lián)系，體會到數(shù)學(xué)建模對于解決實際問題的便利之處，進而培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力.

參考文獻：

[1] 王娟，汪曉勤. 16世紀(jì)的測量工具與相似三角形的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（03）：47-51.

[2] 白尚恕. 《九章算術(shù)》注釋[M]. 北京：科學(xué)出版社，1983.

基金項目：湖州師范學(xué)院研究生科研項目資助“HPM視角下的初中代數(shù)教學(xué)案例開發(fā)研究”（項目編號：YJGX20011）.

作者簡介：李新菊（1997—），碩士研究生，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.？搖