郭芬香

一、數(shù)學(xué)游戲課

“數(shù)學(xué)游戲”在《英國(guó)簡(jiǎn)明百科全書(shū)》中，條目是

“mathematical recreations”，定義為“利用數(shù)學(xué)知識(shí)的流行的娛樂(lè)活動(dòng)”。我們把一些包含數(shù)學(xué)原理并使用數(shù)學(xué)知識(shí)或方法的游戲歸類(lèi)為數(shù)學(xué)游戲。這不僅是一場(chǎng)游戲，游戲中還包含著數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此玩游戲的人可以獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并在不知不覺(jué)中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法。

數(shù)學(xué)游戲課是借助益智玩具，以數(shù)學(xué)游戲?yàn)榛净顒?dòng)的學(xué)習(xí)過(guò)程。通過(guò)直觀(guān)操作和數(shù)學(xué)推理，在學(xué)具的幫助下邊玩邊想，在動(dòng)手實(shí)踐中豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，玩中學(xué)、做中思，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;在游戲中進(jìn)行深層次的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，啟迪智慧，開(kāi)發(fā)潛能。

二、問(wèn)題提出

對(duì)于數(shù)學(xué)教育中的問(wèn)題提出，蔡金發(fā)教授認(rèn)為，應(yīng)該是支持教師和學(xué)生的具體活動(dòng)，使他們能夠根據(jù)特定的情境（即問(wèn)題背景或情境）形成或重新形成數(shù)學(xué)問(wèn)題或任務(wù)。在這個(gè)定義中，蔡教授對(duì)“問(wèn)題”或“任務(wù)”進(jìn)行了更廣泛的分析，包括任何可以提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及根據(jù)問(wèn)題可以提出的任何數(shù)學(xué)任務(wù)。

三、基于問(wèn)題提出的數(shù)學(xué)游戲課的基本結(jié)構(gòu)

“基于問(wèn)題提出的數(shù)學(xué)游戲課”指將問(wèn)題提出理念運(yùn)用于數(shù)學(xué)游戲課的教學(xué)中，通過(guò)提出問(wèn)題，大膽猜想，實(shí)踐操作驗(yàn)證或推理論證，解決問(wèn)題，發(fā)展問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力。

四、“漢諾塔”游戲

教學(xué)目標(biāo)：

第一，以“漢諾塔”游戲?yàn)檩d體，培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)材料從不同角度提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

第二，孩子們?cè)诓孪?、?yàn)證（操作、推理、規(guī)律）過(guò)程中解決問(wèn)題，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，發(fā)展創(chuàng)新思維。

第三，借助數(shù)學(xué)游戲，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)設(shè)計(jì)：

（一）利用傳說(shuō)，提出問(wèn)題

“漢諾塔”游戲源于印度傳說(shuō)，卻是法國(guó)數(shù)學(xué)家最先改編成數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)行研究。對(duì)于傳說(shuō)本身，就包含著許多的問(wèn)題因素。

1.閱讀材料，形成問(wèn)題

課始，教師出示文字材料：法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·盧卡斯編寫(xiě)過(guò)一個(gè)印度的古老傳說(shuō)：在印度北部的圣殿里，三根寶石針被插入一個(gè)銅盤(pán)中。印度教的主神梵天創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根針從下到上穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)和尚在按照下面的法則移動(dòng)這些金片：一次只能移動(dòng)一片，無(wú)論在哪根針的上面，小片必須在大片上面。

學(xué)生看文字材料，獨(dú)立思考寫(xiě)下自己認(rèn)為和數(shù)學(xué)有關(guān)的1～2個(gè)問(wèn)題。在自主提問(wèn)階段，經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考之后，學(xué)生將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化，以達(dá)到個(gè)性化的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

【設(shè)計(jì)意圖：以古老的印度傳說(shuō)引入，更能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增加好奇心，對(duì)課堂學(xué)習(xí)充滿(mǎn)期待。根據(jù)傳說(shuō)提出問(wèn)題，需要學(xué)生先仔細(xì)閱讀，提高學(xué)習(xí)的

效率?！?/p>

2.篩選問(wèn)題，達(dá)成共識(shí)

在獨(dú)立提問(wèn)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)小組討論，整理出最想討論解決的3個(gè)問(wèn)題。之后各小組派代表講2個(gè)問(wèn)題，層層篩選，共形成了以下9個(gè)問(wèn)題：

（1）為何是3根針？

（2）為何是64片？

（3）為何一次只能移一片？

（4）為何小的要在大的上面？

（5）為什么法國(guó)的數(shù)學(xué)家要編寫(xiě)印度的傳說(shuō)？

（6）不按法則移動(dòng)會(huì)產(chǎn)生怎樣的后果？

（7）要移幾次（多久）？

（8）為何叫漢諾塔？

（9）漢諾塔是誰(shuí)發(fā)明的？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)組內(nèi)篩選，小組成員達(dá)成共識(shí)，剔除部分與本課學(xué)習(xí)關(guān)系不大的問(wèn)題，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更集中指向本課學(xué)習(xí)，使問(wèn)題更好地為本課教學(xué)服務(wù)。】

3.根據(jù)問(wèn)題，分類(lèi)整理

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分類(lèi)，抽象出問(wèn)題的共性特點(diǎn)，從解決一個(gè)問(wèn)題到一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行延伸。

師：同學(xué)們有9個(gè)問(wèn)題要解決，我們?cè)撛趺醋霾拍芟到y(tǒng)地解決這么多的問(wèn)題？

生：分類(lèi)。

師：你認(rèn)為這些問(wèn)題可以分成幾類(lèi)？以小組為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。

反饋后統(tǒng)一結(jié)果：計(jì)算類(lèi)（7）;規(guī)則類(lèi)（1、2、3、4、6）;其他類(lèi)（5、8、9）。

【設(shè)計(jì)意圖：在分類(lèi)過(guò)程中探尋標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷，在討論、交流中不斷修正思維，層層推進(jìn)，發(fā)展了合作交流和語(yǔ)言表達(dá)能力?！?/p>

（二）依托問(wèn)題，大膽猜想

在分類(lèi)基礎(chǔ)上思考計(jì)算類(lèi)問(wèn)題，體會(huì)不易。

師：第7個(gè)問(wèn)題能解決嗎？請(qǐng)你猜一猜到底要移

多久？

生1：應(yīng)該要很長(zhǎng)的時(shí)間。

生2：幾億次吧？反正很久很久……

【設(shè)計(jì)意圖：在分類(lèi)基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想，讓學(xué)生體會(huì)解決數(shù)據(jù)較大問(wèn)題之不容易，從而用化繁為簡(jiǎn)進(jìn)行解決?！?/p>

（三）合作探究，驗(yàn)證猜想

將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法。運(yùn)用規(guī)則操作驗(yàn)證，理解算理，在推理中尋找規(guī)律，最終解決問(wèn)題。

1.實(shí)踐體驗(yàn)，操作驗(yàn)證

根據(jù)移動(dòng)規(guī)則，運(yùn)用學(xué)具探索，增加活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)思考相關(guān)聯(lián)步數(shù)，感悟規(guī)律。

師：想要解決這么復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以怎么辦？

生：化繁為簡(jiǎn)，移一移漢諾塔，動(dòng)手操作一下。

師：傳說(shuō)中是64片，老師提供的是5片，請(qǐng)你思考，該從幾片開(kāi)始研究？為什么？

生：從3片開(kāi)始研究，2片很簡(jiǎn)單，只要3步（生移）;3片要移7步，要復(fù)雜些。

師：3片都會(huì)移嗎？那4片要移幾次？（生說(shuō)15次）

師：同桌合作，1人移，1人記錄，并仔細(xì)觀(guān)察思考有沒(méi)有移錯(cuò)。先移動(dòng)3片，學(xué)生都會(huì)移了，再研究移動(dòng)4片，請(qǐng)關(guān)注移動(dòng)的次數(shù)，并思考移動(dòng)3片和移動(dòng)4片有什么關(guān)聯(lián)？（2人合作操作）

師：誰(shuí)能概括性地來(lái)說(shuō)一說(shuō)移動(dòng)3片和4片之間有什么關(guān)聯(lián)？

生：從移動(dòng)3片到4片是3片的步數(shù)乘2再加1，師板書(shū)：7×2+1=15。

師：在移動(dòng)過(guò)程中如何看出7×2+1？請(qǐng)?jiān)跐h諾塔上演示。

生：先讓3片移到中間桿要用7步，最大地移到目標(biāo)桿加1步，最后把中間的3片移到目標(biāo)桿又是7步（7+1+7），同時(shí)演示7+1+7的過(guò)程。

【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)規(guī)則運(yùn)用學(xué)具進(jìn)行操作體驗(yàn)，在體驗(yàn)中感悟移動(dòng)3片和4片之間的聯(lián)系，突破難點(diǎn)，為尋找規(guī)律打下伏筆?！?/p>

2.回顧反思，推理驗(yàn)證

回顧課堂，在操作過(guò)程中積累了經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)推理，尋找漢諾塔的移動(dòng)規(guī)律。

（1）在回顧交流中探尋規(guī)律

教師出示表格，根據(jù)表格，說(shuō)一說(shuō)移動(dòng)5片要幾次。（見(jiàn)表1）

如果教師把挪移規(guī)律稍微改動(dòng)一下，你看得懂嗎？5個(gè)圓盤(pán)該怎么表示？（見(jiàn)表2）

根據(jù)表1、表2，完成表3：

【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)移動(dòng)3個(gè)、4個(gè)圓盤(pán)的操作，在經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上尋找搬移次數(shù)的規(guī)律。在規(guī)律探究中發(fā)現(xiàn)移動(dòng)5個(gè)、6個(gè)，甚至更多個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)規(guī)律?！?/p>

（2）在猜想估算中探尋規(guī)律

猜一猜移完20片要幾次？學(xué)生猜后教師說(shuō)，移完20片要100萬(wàn)次，同時(shí)出示表格（略）。

10個(gè)圓盤(pán)超過(guò)1000次，20個(gè)圓盤(pán)超過(guò)100萬(wàn)次，再猜，30個(gè)幾次？

生：超過(guò)1億。

師：對(duì)，100萬(wàn)后面大概還要加幾個(gè)0？（學(xué)生說(shuō)3個(gè)0）是的，30個(gè)圓片最少挪移1073741823次，超過(guò)10億次，太不可思議了。PPT出示表格（略）

師：如果一天工作8小時(shí)，一秒挪移一次，30個(gè)圓盤(pán)要多久才能完成挪移？

師：先除以60變成分鐘，再除以60變成小時(shí)，再除以24變成天，再除以365變成年，這些事情計(jì)算機(jī)已經(jīng)算好。

一天工作8小時(shí)=28800秒

1073741823÷28800≈37283（天）

37283÷365≈102（年）

師：如果僧侶不休息地去做這件事，大概需要幾年？（34年）

【設(shè)計(jì)意圖：從移動(dòng)10個(gè)到30個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)次數(shù)，孩子們?cè)诓孪腧?yàn)證推算活動(dòng)中體驗(yàn)30個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)次數(shù)，進(jìn)而體會(huì)完成這件事需要的時(shí)間有多漫長(zhǎng)?！?/p>

3.依據(jù)材料，尋理論證

64個(gè)圓盤(pán)的移動(dòng)規(guī)律，在學(xué)生現(xiàn)階段還難以根據(jù)推理計(jì)算。在文字材料中尋求證據(jù)，進(jìn)行論證。

師：再看一段文字材料。

斗轉(zhuǎn)星移，梵天寺的僧侶們換了一代又一代，可是到現(xiàn)在那64個(gè)金盤(pán)子好像從來(lái)沒(méi)移動(dòng)過(guò)似的。為了那個(gè)神圣的誓言，僧侶們確實(shí)從來(lái)沒(méi)有停止過(guò)工作，世界也依然很美好……時(shí)間一下到了20世紀(jì)40年代末的一天，大洋彼岸的一幫人搞出了電腦這個(gè)玩意兒，用電腦計(jì)算了移動(dòng)64個(gè)金盤(pán)子所需要的時(shí)間：假如每次移動(dòng)耗時(shí)1秒，移動(dòng)64個(gè)盤(pán)子到第三根柱子需要的時(shí)間是264-1=18446744073709551615秒，換算成時(shí)間是5845.54億年;看來(lái)僧侶們的任務(wù)任重道遠(yuǎn)，因?yàn)榈厍虻侥壳盀橹共?6億年。

【設(shè)計(jì)意圖：與前面的傳說(shuō)相呼應(yīng)，更好地體現(xiàn)了漢諾塔傳說(shuō)的研究?jī)r(jià)值，使孩子們感受到編寫(xiě)神話(huà)者的

智慧?！?/p>

（四）課堂總結(jié)，明確目的

出示文字材料：提出一個(gè)問(wèn)題通常比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題可能只是一種教學(xué)或?qū)嶒?yàn)技能而已。而提出新問(wèn)題、新可能性并從新的角度看待舊問(wèn)題需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，這標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。

——愛(ài)因斯坦

【設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題比解決問(wèn)題尤為重要，從而激勵(lì)孩子們提出更多的好問(wèn)題?！?/p>

教后反思：

漢諾塔問(wèn)題具有很高的研究?jī)r(jià)值，也是一種益智游戲。一般課堂都讓學(xué)生根據(jù)游戲規(guī)則，尋找規(guī)律，解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)會(huì)有條理地思考，獲得成功體驗(yàn)這一路徑開(kāi)展教學(xué)。本課打破了教師原有的教學(xué)模式，在問(wèn)題提出理念引領(lǐng)下，讓學(xué)生經(jīng)歷提問(wèn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。真正在課堂教學(xué)中落實(shí)了動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流這一課程理念。

（一）在問(wèn)題引領(lǐng)中學(xué)習(xí)

拓展性數(shù)學(xué)游戲課程的教學(xué)目標(biāo)不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和發(fā)展思維，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。發(fā)現(xiàn)和提問(wèn)是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的課堂提問(wèn)能力也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑。在“漢諾塔”的教學(xué)中，利用傳說(shuō)這個(gè)載體，鼓勵(lì)每個(gè)孩子提出問(wèn)題。盡管一開(kāi)始有的孩子提的問(wèn)題對(duì)于本課的學(xué)習(xí)沒(méi)有價(jià)值，但在提問(wèn)的過(guò)程中孩子們積極思考，參與其中，真正體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到不同的發(fā)展”這一課標(biāo)理念。之后，教師篩選小組中的所有問(wèn)題，并選擇有價(jià)值的問(wèn)題進(jìn)行討論和研究解決。在小組合作過(guò)程中培養(yǎng)合作意識(shí)，發(fā)展了批判性思維。在用漢諾塔操作活動(dòng)時(shí)，又圍繞核心問(wèn)題“誰(shuí)能概括性的來(lái)說(shuō)一說(shuō)移動(dòng)3片和4片之間有什么關(guān)聯(lián)？”引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考，從而發(fā)現(xiàn)移動(dòng)規(guī)律。

（二）在互動(dòng)交流中體現(xiàn)學(xué)生立場(chǎng)

促進(jìn)學(xué)生有效提問(wèn)的前提是堅(jiān)持學(xué)生的地位，相信學(xué)生能夠?qū)W習(xí)，構(gòu)建寬容、尊重、和諧的師生關(guān)系和安全、溫暖的課堂氛圍。因?yàn)楫?dāng)你安全時(shí)，你會(huì)平靜，當(dāng)你平靜時(shí)，你會(huì)明智。這是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立提問(wèn)的生態(tài)基礎(chǔ)。課始，教師讓學(xué)生自主提問(wèn)后，在組內(nèi)進(jìn)行互動(dòng)交流，篩選有價(jià)值的問(wèn)題，教師沒(méi)有參與其中，這是建立在充分信任基礎(chǔ)上的自主學(xué)習(xí)。實(shí)踐證明，學(xué)生有能力對(duì)自己所提的問(wèn)題進(jìn)行甄選，及時(shí)放手調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀(guān)能動(dòng)性，發(fā)展了高階思維能力。

（三）提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要

學(xué)貴有疑，小貴則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)?！皯岩伞笔侨祟?lèi)打開(kāi)宇宙之門(mén)的金鑰匙，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要。從課中可以看出學(xué)生的問(wèn)題非常多，篩選后還剩下一部分，一節(jié)課中沒(méi)有辦法全部完成。教師在和學(xué)生交流的過(guò)程中挑選了部分問(wèn)題進(jìn)行解決。正如課終所言“今天這節(jié)課我們提出了很多問(wèn)題，也解決了很多問(wèn)題，如果你能在解決問(wèn)題后發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，當(dāng)你解決的問(wèn)題越多，那你提問(wèn)題就會(huì)越來(lái)越難，每次想出新的問(wèn)題，那新的可能性又要發(fā)生了。就像剛才有同學(xué)提到的第5個(gè)問(wèn)題，印度人還只是當(dāng)成一個(gè)傳說(shuō)的時(shí)候，法國(guó)人已經(jīng)提出數(shù)學(xué)問(wèn)題了?！边@樣的課堂培養(yǎng)的是學(xué)生創(chuàng)新思維能力，也是我們應(yīng)該追求的目標(biāo)。

五、啟示

“漢諾塔”這一拓展性游戲內(nèi)容，研究?jī)r(jià)值不僅限于益智，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。整堂課以問(wèn)題引領(lǐng)著課堂方向和節(jié)奏，通過(guò)猜想驗(yàn)證，逐步邁向深入。因此，在數(shù)學(xué)游戲課中，運(yùn)用問(wèn)題提出理念進(jìn)行教學(xué)，不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最大化。

參考文獻(xiàn)：

蔡金法，姚一玲.數(shù)學(xué)“問(wèn)題提出”教學(xué)的理論基礎(chǔ)和實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（4）.