包學成

用分類討論的思想解題，廣泛地存在于中學數(shù)學的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一.在數(shù)學學習過程中，哪些可能需要進行分類討論呢？這主要包括因概念而分類，如絕對值的概念、直線斜率的定義；因定理、公式而分類，如等比數(shù)列的求和公式、指（對）數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的根等；因參數(shù)的不同取值范圍討論，如含參函數(shù)在給定區(qū)間上最值的求解等.要在解題時需要分類的時候想到分類，那么在平時的學習過程中應該加強對各種分類因素的深化理解，形成一種內(nèi)在的解決問題的素質(zhì).

因此，數(shù)學解題中如何進行分類，分類標準的制定是關鍵：總體而言，進行分類要遵循的基本原則是因需而分、對象確定、標準統(tǒng)一、不重不漏.忌生搬硬套，機械模仿.因此一般來講，分類標準的確定通常有三種：

一、根據(jù)數(shù)學概念來確定分類標準

例1 已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x=2的距離為n，且m+n=4

（1）求點M的軌跡方程.

（2）過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡曲線交于P，Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應的傾斜角α.

解 （1）設點M的坐標為（x，y），依題意可得：x2+y2+x-2=4

根據(jù)絕對值的概念，軌跡方程取決于x>2還是x≤2，所以以2為標準進行分類討論可

得軌跡方程為：

y2=4（x+1）（-1≤x<2）-12（x-3）（2≤x<3）

解 （2）如圖，由于P，Q的位置變化，弦長|PQ|的表達式不同，故必須分

點P，Q都在曲線y2=4（x+1）上以及一點

在曲線y2=4（x+1）上，而另一點在曲線y2=-12（x-3）上.

可求得： PQ=4sin2απ3≤α≤2π381+cosα0≤α<π381-cosα2π3<α<π

從而知當α=π3或α=2π3時，PQmax=163.

二、根據(jù)數(shù)學中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標準

數(shù)學中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件.

例2 已知：數(shù)列{an}，an=an 且a∈R，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

分析 當a≠0 時，{an}是等比數(shù)列（公比為a）可利用等比數(shù)列公式求和，此時要分a=1 和a≠1 兩種情況，若a=0 可直接求和，故此題需分3種情況分別求和.

解（1）當a=0 時，an=0，Sn=0，

（2）當a=1 時，an=1，Sn=n.

（3）當a≠1 時，Sn=a（1-an）1-a.（*）

由于，當a=0 時，（*）中的Sn=0，于是（1）和（3）可合并.綜上所述：sn=n（a=1），a（1-an）1-a （a≠1）.

三、根據(jù)運算時參數(shù)的范圍，按需要確定分類標準

例3 解關于x的不等式組loga2x<2logax（a-1）x20且a≠1）.

解 由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a>1還是a<1，所以以參數(shù)的范圍為標準進行分類，

（Ⅰ）當0