摘 要：文章通過(guò)對(duì)2021年安徽省冬季聯(lián)賽第22題的解法探究，得到了相關(guān)研究對(duì)象在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持的規(guī)律性及其變式推廣，并由試題的解答與變式得出了關(guān)于圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論，從而揭示了問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律.

關(guān)鍵詞：冬季聯(lián)賽;解法探究;共軛弦性質(zhì);圓錐曲線

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0057-04

1 試題呈現(xiàn)

題目 （安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2021年冬季聯(lián)賽（高二）第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42，離心率為32.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）已知斜率為12的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，1，設(shè)直線PA與PB的傾斜角分別為α，β，證明：tanα+tanβ=0.

試題第（1）問(wèn)考查了橢圓的長(zhǎng)軸、離心率等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性;第（2）問(wèn)以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景設(shè)置了與動(dòng)直線有關(guān)的定值問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)有較高要求，值得深入探究.

2 解法探究

點(diǎn)評(píng) 證法1把待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證兩直線PA，PB斜率之和為0，從而幾何問(wèn)題通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，既展示了坐標(biāo)法的魅力，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.繼續(xù)探究，如圖1，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δ=0時(shí)，t=-2或t=2，此時(shí)直線l與橢圓C相切，點(diǎn)P坐標(biāo)為-2，1或2，-1，直線l的斜率與橢圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率互為相反數(shù)，這一發(fā)現(xiàn)為進(jìn)一步探究試題本質(zhì)提供了思路.圖1

點(diǎn)評(píng) 證法2從直線PA與PB的傾斜角入手，自然聯(lián)系到應(yīng)用直線的參數(shù)方程解題，亮點(diǎn)在于對(duì)坐標(biāo)的處理，借助參數(shù)的意義和三角恒等變換，整個(gè)運(yùn)算過(guò)程一氣呵成，簡(jiǎn)潔明了.

由于平移變換后點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻′0，0，故kP′A′，kP′B′是方程①的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理知kP′A′+kP′B′=04-16m=0，由于平移變換下不改變直線的斜率，所以kPA+kPB=0.

點(diǎn)評(píng) 證法3通過(guò)平移變換巧妙地把橢圓上的定點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)原點(diǎn)P′，變換后兩直線P′A′，P′B′的斜率恰好是點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)比值，從而通過(guò)齊次化處理，把兩直線斜率之和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，解答簡(jiǎn)潔明了，相比通性通法中運(yùn)算量大的特點(diǎn)，平移變換后齊次化處理很大程度上避免了繁雜的運(yùn)算，是解答過(guò)定點(diǎn)兩條動(dòng)直線斜率之積、之和問(wèn)題的利器.

點(diǎn)評(píng) 證法4“曲線系方程法”相比前面證法，站在更高的觀點(diǎn)，為我們解決這類(lèi)解析幾何問(wèn)題提供了新視角，但也有一定的局限性，在具體的解題實(shí)踐中，還需根據(jù)自身實(shí)際，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

3 推廣探究

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說(shuō)“分解和重組是思維的重要活動(dòng)”，因此我們有必要深入到試題的細(xì)節(jié)中去，通過(guò)逆向變換，亦或者改變曲線背景提出新的問(wèn)題，以探究試題內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì).

變式1 已知A，B為橢圓C：x28+y22=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P2，1，若直線PA的斜率與PB的斜率互為相反數(shù)，證明直線AB的斜率為定值.

推廣2 設(shè)點(diǎn)Px0，y0是對(duì)稱(chēng)軸平行于坐標(biāo)軸的定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）C上一定點(diǎn)，A，B是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率存在時(shí)為定值，等于曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的相反數(shù).

（1）當(dāng)曲線C是有心圓錐曲線時(shí)，設(shè)方程統(tǒng)一形式為λx2+μy2=1（λμ≠0），則kAB=λx0μy0y0≠0;

（2）當(dāng)曲線C是拋物線時(shí)，可設(shè)C：y2=2px（p≠0），則kAB=-py0或C：x2=2pyp≠0，則kAB=-x0p.

推廣2也稱(chēng)為圓錐曲線共軛弦性質(zhì)，以其為背景命制的高考試題和競(jìng)賽試題屢見(jiàn)不鮮，像這樣通過(guò)挖掘改造著名數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)命題已成為近年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題命制的新趨勢(shì)，這也啟示一線教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用這些素材，引導(dǎo)學(xué)生探究試題解法，剖析試題本質(zhì)，從而培育學(xué)生的思維品質(zhì)，落實(shí)學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞，涂泓譯.怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：欒功（1982.10-），男，甘肅省隴西人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：南寧市教育科學(xué)“強(qiáng)基計(jì)劃，拔尖人才培養(yǎng)”專(zhuān)項(xiàng)課題“強(qiáng)基計(jì)劃背景下高中數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖人才培養(yǎng)模式研究——基于問(wèn)題提出的視角（項(xiàng)目編號(hào)：2021QJ010）.