摘 要：高中物理競賽常涉及非慣性系，達(dá)朗貝爾原理提供了動力學(xué)問題的靜力學(xué)處理方法，本文就質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動、剛體定軸轉(zhuǎn)動和剛體平面運(yùn)動幾種情況分析達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：達(dá)朗貝爾原理;慣性力;簡化中心

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0119-03

在動力學(xué)問題中，涉及非慣性參考系常引入慣性力，這樣非慣性系的問題可以用牛頓運(yùn)動定律來解決，這種思想源于達(dá)朗貝爾原理.高中物理競賽研究較多的是質(zhì)點(diǎn)慣性力問題，對于質(zhì)點(diǎn)系的慣性力很少涉及，本文借助于幾個常見模型分析剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運(yùn)動中的達(dá)朗貝爾原理.

1 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，寫成方程：F+FN+FI=0，F(xiàn)I=-ma稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力.引入慣性力的概念可以使動力學(xué)問題借用靜力學(xué)的理論和方法求解，具有很多優(yōu)越性，下面舉一例說明.

例1 均勻半圓形金屬拱架ABC的圓心在O點(diǎn)，質(zhì)量M=1000kg.A端用鉸鏈連接，B端放在滾珠上，有一質(zhì)量m=500kg的小物塊從最高點(diǎn)C無摩擦滑下，如圖1所示，求當(dāng)物體滑到D點(diǎn)時（∠COD=30°），求A、B兩支點(diǎn)對拱架的約束力.

小物塊做圓周運(yùn)動，可看作質(zhì)點(diǎn)，具有切向加速度at和法向加速度an，分別引入慣性力FIt和FIn.取整體為研究對象，列出力和力矩平衡方程：

點(diǎn)評 引入慣性力后，小物塊的受力在形式上達(dá)到平衡，可以與拱架整體分析建立平衡方程，避免了對內(nèi)力的分析.

2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理表述為：質(zhì)點(diǎn)系中每個質(zhì)點(diǎn)i上的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系，寫成方程Fi+FNi+FIi=0，F(xiàn)Ii=-miai是質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)的慣性力.

空間任意力系平衡的充要條件是力系的主矢和對任一點(diǎn)O的主矩等于零，由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，且等大、反向、共線，內(nèi)力產(chǎn)生合力和合力矩為零，即∑Fi內(nèi)=0，∑MOFi內(nèi)=0，質(zhì)點(diǎn)系平衡方程寫成：∑Fi外+∑FIi=0，∑MOFi外+∑MOFIi=0.

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)都有各自的慣性力，受力復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中，對于慣性力系通常做簡化處理.

剛體慣性力系向任一點(diǎn)O的簡化，一般得到一個主矢和主矩，主矢的情況較為簡單，不論剛體做何種平面運(yùn)動，慣性力系的主矢都可以寫成FIR=∑-miai=∑-mir¨i=-mac，與簡化點(diǎn)無關(guān).

主矩MIO=-∑M0Fi外，一般與簡化中心O有關(guān)，分析起來較為復(fù)雜.但是在O點(diǎn)是定點(diǎn)或者質(zhì)心時，利用動量矩定理有MIO=-dLOdt，應(yīng)用方便.所以剛體做定軸轉(zhuǎn)動時簡化中心一般選在軸上一點(diǎn)，剛體做平面運(yùn)動時簡化中心則選在質(zhì)心位置.

剛體做平移運(yùn)動時，對質(zhì)心的動量矩LC=rc×mvc≡0，若選質(zhì)心為簡化中心，主矩為零，因與質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)用相似，不做詳細(xì)分析.下面以剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運(yùn)動為例分析慣性力系的簡化.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性力系的簡化

若剛體有垂直于z軸的質(zhì)量對稱面，把簡化中心O取在該平面與z軸的交點(diǎn)，則∑mixizi=0，∑miyizi=0.慣性力系對O點(diǎn)的主矩為：MIO=MIz=-Jzα，這種情況下慣性力系處理起來簡單了很多.

例2 如圖4所示，均質(zhì)桿OA長2l，質(zhì)量m，繞著通過O端的水平軸在鉛錘面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)到與水平線成θ角時，角速度為ω.求此時O端的約束力和角加速度α.

點(diǎn)評由此題可見，對垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對稱面的定軸轉(zhuǎn)動剛體，選擇質(zhì)量對稱面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為簡化中心，利用達(dá)朗貝爾原理分析是比較簡單的.

我們還可以利用定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系的簡化分析一些生活中常見的現(xiàn)象，比如：爆破工業(yè)煙囪時，煙囪落地前會在底部約23的位置斷裂;木棍打釘子時，離手約23的地方最容易打進(jìn)去;均質(zhì)桿的打擊中心在距離質(zhì)點(diǎn)23的位置.

2.2 剛體平面運(yùn)動慣性力系的簡化

平面運(yùn)動的剛體（平行于質(zhì)量對稱面），運(yùn)動可分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，若簡化中心取在質(zhì)心，此時慣性力系向質(zhì)心的簡化得到的主矩與定軸轉(zhuǎn)動中相似：MIC=-JCα.

例3 如圖7所示，長l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿AB，BD用鉸鏈B連接，并用鉸鏈A固定，位于圖示平衡位置.今在D端作用一水平力F，求此瞬間兩桿的角加速度.

點(diǎn)評本題中既有定軸轉(zhuǎn)動的桿AB，又有平面運(yùn)動的桿BD，在計(jì)算慣性力系向簡化點(diǎn)的主矩時，一定要注意簡化中心的區(qū)別，AB桿的簡化中心應(yīng)該取在轉(zhuǎn)軸位置的A點(diǎn)，BD桿的簡化中心應(yīng)取在質(zhì)心，在計(jì)算兩桿的轉(zhuǎn)動慣量時會體現(xiàn)出區(qū)別.

慣性力的引入，對我們處理非慣性條件下動力學(xué)問題是很方便的，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，選擇與質(zhì)點(diǎn)無相對運(yùn)動的坐標(biāo)系，只要加上慣性力系，任何動力學(xué)問題都可以用靜力學(xué)的方法來解決.剛體的慣性力系一般比較復(fù)雜，但對剛體做平移、定軸轉(zhuǎn)動或平面運(yùn)動，且垂直于轉(zhuǎn)軸有質(zhì)量對稱面的情況，選擇合適的簡化中心，可以使慣性力系簡化，一般建立主矢和主矩的三個平衡方程就可以解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]盧圣治.理論力學(xué)基本教程[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014（7）.

[2] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012（12）.

[3] 范小輝.高中物理奧賽實(shí)用題典[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2012（11）.

[4] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2016（9）.

[5] 李海斌.生活中的慣性力現(xiàn)象[J].物理教師，2011，32（06）：47-48.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：徐仁杰（1989.10-），男，江蘇省南通人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中物理教學(xué)研究.