鄧柳詠　李廣凌

摘 要：在水平面做圓周運(yùn)動(dòng)的物體是常見的現(xiàn)象，比如：水平面轉(zhuǎn)彎的汽車，水平轉(zhuǎn)盤上的物體等等，同時(shí)，研究勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平盤上的物體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)也是高考中比較重要的考題設(shè)計(jì)模型，比如2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ第20題.在高考復(fù)習(xí)備考中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)水平轉(zhuǎn)盤上圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)是非常必要的.本文通過分析一道關(guān)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)水平盤上物體運(yùn)動(dòng)的臨界條件來得到一個(gè)有用的結(jié)論，并探討可以推廣的分析方法.

關(guān)鍵詞：臨界狀態(tài);水平圓盤的圓圍運(yùn)動(dòng);系統(tǒng)質(zhì)心;隔離體

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0110-03

題目 如圖1所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量分別為mA和mB的物體A 和B;它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA和RB，且RA

該題目主要是考查有約束條件下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)水平盤的臨界狀態(tài)的分析，解題的關(guān)鍵是判斷發(fā)生滑動(dòng)時(shí)作離心運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)，究竟是物體A離心運(yùn)動(dòng)，從而拉動(dòng)物體B，還是物體B離心運(yùn)動(dòng)，從而拉動(dòng)物體A.

思路分析 假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，A作離心運(yùn)動(dòng)，B作近心運(yùn)動(dòng)，列出各自的牛頓第二定律方程，聯(lián)立解出對(duì)應(yīng)的角速度，并討論對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否存在.圖2

分析過程 假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，由于繩子的作用，A作離心運(yùn)動(dòng)，B作近心運(yùn)動(dòng)， A和B受到圓盤的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，分別表示為fA=μAmAg和fB=μBmBg.對(duì)A和B受力分析，如圖2所示，應(yīng)用牛頓第二定律：

（1）mARA-mBRB>0，則假設(shè)是成立的，得到臨界角速度大小表達(dá)式為：

討論 對(duì)比③式和⑥式，可以得出下列可以直接應(yīng)用的結(jié)論：

（1）系統(tǒng)剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由mARA-mBRB的數(shù)值決定.若mARA>mBRB，則物體A離心運(yùn)動(dòng)，從而拉動(dòng)物體B;若mARA

（2）臨界角速度的大小既與系統(tǒng) “質(zhì)心”的軌道半徑有關(guān)，也與接觸面的粗糙程度、接觸面的正壓力有關(guān)，可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr.

應(yīng)用 如圖3所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上放有質(zhì)量分別為2 kg和3 kg的小物體A、B，A、B間用細(xì)線沿半徑方向相連.它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA=0.2 m、rB=0.3 m.A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍.g取10 m/s2，現(xiàn)極其緩慢地增大圓盤的角速度，當(dāng)兩物體剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度約為.

解答 由前文分析可知，先找到系統(tǒng) “質(zhì)心”的軌道半徑r，由于A、B是分布在轉(zhuǎn)軸的同側(cè)，則有系統(tǒng)“質(zhì)心”軌道半徑為r=mARA+mBRB=1.3kg·m，由③式或⑥式，可寫出系統(tǒng)的臨界角速度大小的表達(dá)式為ω=μAmAg+μBmBgr，代入數(shù)據(jù)可得ω=20013rad/s，約為ω≈4rad/s.

概而論之，對(duì)于有約束條件的水平面的圓周運(yùn)動(dòng)，通過引入系統(tǒng) “質(zhì)心”的軌道半徑r，其臨界條件可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr，其中r由mARA和mBRB的數(shù)值關(guān)系以及A、B兩個(gè)物體處于轉(zhuǎn)軸的同側(cè)或異側(cè)（相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的空間位置）共同決定.同時(shí)若A、B兩個(gè)物體處于轉(zhuǎn)軸的異側(cè)，根據(jù)mARA和mBRB的數(shù)值關(guān)系可以簡單地判斷發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

深入探討 回歸問題可以知道，上文得到的臨界角速度的表達(dá)式屬于我們常說的“二級(jí)結(jié)論”.在應(yīng)用時(shí)，“二級(jí)結(jié)論”有特定的情景要求，使得其適用性受限.為了解決適用性受限的問題，現(xiàn)在利用上文的提到的分析方法來分析水平盤上作圓周運(yùn)動(dòng)的其他種情況來來深入探討一般的分析方法.

如圖4所示，粗糙水平圓盤上，可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起繞固定轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A的質(zhì)量為mA，B的質(zhì)量為mB.已知A、B到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為r，A與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μAB，B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，（最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g）.現(xiàn)緩慢地增大圓盤的角速度，請(qǐng)分析需要什么條件才能使A與B保持相對(duì)靜止.

結(jié)合情景觀察，可能出現(xiàn)兩種不同的運(yùn)動(dòng)情景：

（1）物體A和B同時(shí)向外作離心運(yùn)動(dòng).

（2）物體A作離心運(yùn)動(dòng)，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運(yùn)動(dòng).

分析方法 隔離分析物體A和B的受力情況，假設(shè)可能存在情景（2），列出各自的牛頓第二定律方程組，并結(jié)合情景所隱含的數(shù)量條件，解出特定的數(shù)量關(guān)系，并討論對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否存在.解答過程如下：

若物體A作離心運(yùn)動(dòng)，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)力學(xué)角度可得到以下動(dòng)力學(xué)條件：fAB=μABmAg，f<μ（mA+mB）g，結(jié)合條件和聯(lián)立⑦⑧，可得到：此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)條件為：μ>μAB，對(duì)應(yīng)的臨界角速度為ω=μABgr.同理可得，若物體A和B同時(shí)向外作離心運(yùn)動(dòng)，動(dòng)力學(xué)條件和臨界角速度分別為：μ<μAB，ω=μgr.聯(lián)系單個(gè)物體在水平圓盤上做圓周運(yùn)動(dòng)的情況，上述情況的結(jié)論與單個(gè)物體的情況是一致的，但對(duì)一些學(xué)生的理解來說，“疊體型”問題由于有一定的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生很難理解其中的邏輯關(guān)系和深刻的物理含義.經(jīng)過上述處理后，我們可以知道“疊體型”物體在水平面作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界角速度條件與單個(gè)物體是一樣的，都可以用公式ω=μgr來描述，而發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的物體則由接觸面的摩擦因數(shù)來決定.

綜上所述，通過對(duì)物體在水平面上作圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件的分析，可以歸納出分析臨界條件的方法，其可以大致分為三大部分：結(jié)合觀察分析可能存在的運(yùn)動(dòng)情況，并寫出對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)條件;隔離分析在不同運(yùn)動(dòng)情況下各個(gè)物體的受力特點(diǎn)，列出對(duì)應(yīng)的牛頓第二定律方程組;聯(lián)立解出牛頓第二定律方程組，并討論數(shù)量關(guān)系的物理意義.將上述方法應(yīng)用在不同的情景，如“疊體型”和有約束條件的物體.“疊體型”物體在水平面上作圓周運(yùn)動(dòng)的問題，雖然物體間相互影響，但其臨界角速度還可以簡單表達(dá)為ω=μgr，且接觸面的摩擦因數(shù)決定發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體.有約束條件的物體，引入系統(tǒng) “質(zhì)心”的軌道半徑r，其臨界條件可以簡單表示為ω=μAmAg+μBmBgr，并分析系統(tǒng) “質(zhì)心”的軌道半徑r的特點(diǎn)來判斷發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情景.

參考文獻(xiàn)：

[1]溫后欣.物體在水平轉(zhuǎn)盤上做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件及應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（04）：48-50.

[2] 展宗程.隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)問題的教學(xué)與拓展[J].物理教學(xué)，2019，41（08）：18-20.

[3] 施玉華.物體在水平盤面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)分析[J].高中數(shù)理化，2018（12）：24-25.

[4] 陳志軍.物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的教學(xué)研究[J].物理教學(xué)，2017，39（01）：19-21.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：鄧柳詠（1981.12-），男，廣東省湛江人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)物理教學(xué)研究.