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        立足經(jīng)驗(yàn)生長 實(shí)現(xiàn)解答自然

        2022-05-30 10:48:04管良梁
        關(guān)鍵詞:特例解析幾何最近發(fā)展區(qū)

        摘 要:本文以一道解析幾何求定值問題為例,講述例題講解要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),讓問題的解答過程流暢、自然,易于學(xué)生理解.

        關(guān)鍵詞:解析幾何;經(jīng)驗(yàn);特例;最近發(fā)展區(qū)

        中圖分類號:G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1008-0333(2022)22-0089-03

        解析幾何為每年高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,解析幾何的大題基本上以準(zhǔn)壓軸題的形式出現(xiàn),常與其他知識交匯命題,主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.由于解析幾何大題涉及的知識面廣、數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜等原因,導(dǎo)致學(xué)生在解答這類題時不知道從哪里下手.因此教師在講解這類問題時一定要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā),使得問題的解答流暢、自然,易于學(xué)生理解.

        1 例題呈現(xiàn)

        例題 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為33,且橢圓C過點(diǎn)P1,233.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,與直線x=3相交于點(diǎn)B,求證:∠AFB的大小為定值.

        以上是資料提供的解答過程,問題(1)比較基礎(chǔ),學(xué)生都能掌握.對于問題(2),學(xué)生看完答案以后都有著同樣的疑問:我怎么就能想到去計算FA·FB呢?難道靠猜測嗎?如果猜測錯誤,怎么辦呢?

        資料提供的解答是通過計算得到FA=-3km-1,2m,F(xiàn)B=2,3k+m,然后由FA·FB=0,得∠AFB=90°,即∠AFB的大小為定值.這樣的解答過程跳躍性很強(qiáng),脫離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),未從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),學(xué)生很難接受.為了易于學(xué)生理解,筆者在本例題第(2)問的講解過程中進(jìn)行了以下兩種途徑的嘗試.

        2 途徑嘗試

        2.1 從特殊情況出發(fā)

        根據(jù)題意從特殊情況出發(fā)得出一個值(此值一般就是定值),然后證明定值,即將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān).

        ②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,直線x=3與x軸交于點(diǎn)E,如圖2所示.以下同資料提供的解答.

        綜上,∠AFB的大小為定值.

        點(diǎn)評 處理問題(2)時,從直線l的斜率為0開始,此時的計算比較簡單,通過計算得到所求角∠AFB=90°.這樣給解答提供了方向,使得學(xué)生明白接下來只要證明當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時,能得到∠AFB=90°即可.可以通過計算FA·FB=0,得∠AFB=90°.也可以借助三角形相似證明.過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H,如圖3所示.通過計算可得AH=2m,F(xiàn)E=2,HF=1+3km=m+3km,EB=3k+m.因?yàn)锳HFE=HFEB=1m,所以

        2.2 從問題結(jié)論出發(fā)

        將要證明的結(jié)論用動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.

        點(diǎn)評 解法2的思維非常簡單,因?yàn)橐C明∠AFB的大小為定值,所以只需要根據(jù)已知條件計算出cos∠AFB的值為定值即可.

        3 結(jié)論拓展

        已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,與直線x=a2c相交于點(diǎn)B,則∠AFB的大小為90°.

        4 總結(jié)反思

        4.1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識

        平時的教學(xué)要立足于課本,強(qiáng)化基礎(chǔ)知識.教師應(yīng)從教材的例題和習(xí)題中尋找試題的“根”,加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí),要列出具有典型性和代表性的題目進(jìn)行講解分析和訓(xùn)練,而且還要進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練.通過對題目的式子、圖形、條件、結(jié)論、表達(dá)方式等的變化轉(zhuǎn)換,促進(jìn)學(xué)生觸類旁通,鞏固基礎(chǔ)知識.

        4.2 強(qiáng)化通性通法

        在數(shù)學(xué)教學(xué)中,重視通性通法的使用和理解,通過通性通法揭示問題的本質(zhì).只有真正重視通性通法教學(xué),才能使得學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),學(xué)生的核心素養(yǎng)才能得到提高.如解法1中,從直線l的斜率為0時開始研究,這樣便于學(xué)生理解.

        4.3 反思解題過程

        在日常的教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行反思,幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣.教師可以和學(xué)生一起回憶問題的解答過程,找出問題所在,幫助學(xué)生分析不能順利答題的原因,提出改進(jìn)方法.教師要帶領(lǐng)學(xué)生立足已有的經(jīng)驗(yàn),從他們的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),思考有沒有更簡潔、更佳的解決問題的途徑.學(xué)生在教師的帶領(lǐng)反思中領(lǐng)悟方法,學(xué)會真正的反思,養(yǎng)成反思的好習(xí)慣.在反思中提升自我,提高解題效率.

        參考文獻(xiàn):

        [1]姬彩生.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧研究[J].數(shù)理化解題研究,2022(10):18-20.

        [2] 金家慶.探究高中數(shù)學(xué)解題思路以及解題能力的訓(xùn)練[J].數(shù)理化解題研究,2022(12):50-52.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

        收稿日期:2022-05-05

        作者簡介:管良梁(1982.12-),男,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        基金項(xiàng)目:2021年度合肥市教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)課例研究”(項(xiàng)目編號HJG21098).

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