摘 要：本文以一道解析幾何求定值問題為例，講述例題講解要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓問題的解答過程流暢、自然，易于學(xué)生理解.

關(guān)鍵詞：解析幾何;經(jīng)驗(yàn);特例;最近發(fā)展區(qū)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0089-03

解析幾何為每年高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，解析幾何的大題基本上以準(zhǔn)壓軸題的形式出現(xiàn)，常與其他知識交匯命題，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.由于解析幾何大題涉及的知識面廣、數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜等原因，導(dǎo)致學(xué)生在解答這類題時不知道從哪里下手.因此教師在講解這類問題時一定要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，使得問題的解答流暢、自然，易于學(xué)生理解.

1 例題呈現(xiàn)

例題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為33，且橢圓C過點(diǎn)P1，233.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線x=3相交于點(diǎn)B，求證：∠AFB的大小為定值.

以上是資料提供的解答過程，問題（1）比較基礎(chǔ)，學(xué)生都能掌握.對于問題（2），學(xué)生看完答案以后都有著同樣的疑問：我怎么就能想到去計(jì)算FA·FB呢？難道靠猜測嗎？如果猜測錯誤，怎么辦呢？

資料提供的解答是通過計(jì)算得到FA=-3km-1，2m，F(xiàn)B=2，3k+m，然后由FA·FB=0，得∠AFB=90°，即∠AFB的大小為定值.這樣的解答過程跳躍性很強(qiáng)，脫離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，未從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，學(xué)生很難接受.為了易于學(xué)生理解，筆者在本例題第（2）問的講解過程中進(jìn)行了以下兩種途徑的嘗試.

2 途徑嘗試

2.1 從特殊情況出發(fā)

根據(jù)題意從特殊情況出發(fā)得出一個值（此值一般就是定值），然后證明定值，即將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)（某些變量）無關(guān).

②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，直線x=3與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示.以下同資料提供的解答.

綜上，∠AFB的大小為定值.

點(diǎn)評 處理問題（2）時，從直線l的斜率為0開始，此時的計(jì)算比較簡單，通過計(jì)算得到所求角∠AFB=90°.這樣給解答提供了方向，使得學(xué)生明白接下來只要證明當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，能得到∠AFB=90°即可.可以通過計(jì)算FA·FB=0，得∠AFB=90°.也可以借助三角形相似證明.過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖3所示.通過計(jì)算可得AH=2m，F(xiàn)E=2，HF=1+3km=m+3km，EB=3k+m.因?yàn)锳HFE=HFEB=1m，所以

2.2 從問題結(jié)論出發(fā)

將要證明的結(jié)論用動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.

點(diǎn)評 解法2的思維非常簡單，因?yàn)橐C明∠AFB的大小為定值，所以只需要根據(jù)已知條件計(jì)算出cos∠AFB的值為定值即可.

3 結(jié)論拓展

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線x=a2c相交于點(diǎn)B，則∠AFB的大小為90°.

4 總結(jié)反思

4.1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識

平時的教學(xué)要立足于課本，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識.教師應(yīng)從教材的例題和習(xí)題中尋找試題的“根”，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，要列出具有典型性和代表性的題目進(jìn)行講解分析和訓(xùn)練，而且還要進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練.通過對題目的式子、圖形、條件、結(jié)論、表達(dá)方式等的變化轉(zhuǎn)換，促進(jìn)學(xué)生觸類旁通，鞏固基礎(chǔ)知識.

4.2 強(qiáng)化通性通法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視通性通法的使用和理解，通過通性通法揭示問題的本質(zhì).只有真正重視通性通法教學(xué)，才能使得學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，學(xué)生的核心素養(yǎng)才能得到提高.如解法1中，從直線l的斜率為0時開始研究，這樣便于學(xué)生理解.

4.3 反思解題過程

在日常的教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣.教師可以和學(xué)生一起回憶問題的解答過程，找出問題所在，幫助學(xué)生分析不能順利答題的原因，提出改進(jìn)方法.教師要帶領(lǐng)學(xué)生立足已有的經(jīng)驗(yàn)，從他們的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，思考有沒有更簡潔、更佳的解決問題的途徑.學(xué)生在教師的帶領(lǐng)反思中領(lǐng)悟方法，學(xué)會真正的反思，養(yǎng)成反思的好習(xí)慣.在反思中提升自我，提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]姬彩生.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧研究[J].數(shù)理化解題研究，2022（10）：18-20.

[2] 金家慶.探究高中數(shù)學(xué)解題思路以及解題能力的訓(xùn)練[J].數(shù)理化解題研究，2022（12）：50-52.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：管良梁（1982.12-），男，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2021年度合肥市教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)課例研究”（項(xiàng)目編號HJG21098）.