陳月蓮

求數(shù)列的通項公式問題通常要求根據(jù)給出的遞推關系式，求數(shù)列的通項公式.在解題時，我們需仔細研究數(shù)列的遞推關系式，將其進行合理的變形、化簡，將問題轉化為簡單的等差、等比數(shù)列的通項公式問題來求解.由于此類問題中遞推關系式的形式多樣，所以求數(shù)列通項公式的方法也各不相同.下面結合實例，探討一下如何由不同的遞推關系式求數(shù)列的通項公式.

一、Sn = f （an） 型的遞推關系式

Sn = f （an） 型的遞推關系式中同時含有數(shù)列的前 n項和 Sn 以及數(shù)列的通項公式 an .解答此類問題，需明晰 Sn 與 an 之間的關系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 根據(jù)遞推關系式構造出 S n 、S n - 1 ，得到有關 S n 、S n - 1 的遞推關系式，再將兩者作差，即可得到當 n ≥ 2 時 an 的表達式，最后驗證當 n = 1 時 a1 是否滿足所求得的 an 的表達式.若不滿足，則需分開表示.

例?1.

已知關系式?a1 + 2a2 + 3a3 +…+ nan 可看作數(shù)列{nan} 的前 n 項和 S n ，該遞推關系式形如 Sn = f （an） ，需令 n = n - 1，由已知遞推關系式得到 S n - 1 的表達式，然后將兩式作差，即可得到當 n ≥ 2 時 an 的表達式.本題中當 n = 1時的情況不滿足當 n ≥ 2 時 an 的表達式，因此需分段表示 an .

二、an + 1 - an = f （n） 型的遞推關系式

an + 1 - an = f （n） 型的遞推關系式表示的是相鄰兩項之差與n有關的數(shù)列.由這類遞推關系式求數(shù)列的通項公式，需采用累加法，分別令n=1，2，3，…，n-1，然后將各式累加，得到（an - an - 1） + （an - 1 - an - 2） +…+ （a2 - a1）+a1 ，則?an = f （n） + f （n - 1） +…+ f （2） + a1 ，化簡該式，即可得到 an 的表達式.值得注意的是，該表達式只滿足當 n ≥ 2 時的情形，對于 n = 1時的情況，需單獨進行討論.

例2.

在遞推關系式的左右同時除以 an + 1anan - 1 ，即可得到關系式 1an + 1- 1an= 2n ，該式形如 an + 1 - an = f （n） ，于是令n=1，2，3，…，n-1，通過累加求出當 n ≥ 2 時，an的表示式，最后驗證當 n = 1 時的情況，即可求得數(shù)列{an} 的通項公式.

解答本題，需先根據(jù)數(shù)列前 n 項的和與數(shù)列通項公式之間的關系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 得到 anan - 1= n - 1n + 1 .而該式形如 an + 1an= f （n） ，然后令n=1，2，3，…，n-1，通過累乘，即可求出當 n ≥ 2 時的 an ，最后驗證 a1 是否滿足所求的 an ，即可求得數(shù)列的通項公式.

四、an + 1 = Aan + f （n） 型的遞推關系式

an + 1 = Aan + f （n） 型的遞推關系式中含有數(shù)列的相鄰兩項 an + 1 和 an，且二者呈線性關系.由形如 an + 1 = Aan+f （n） 的遞推關系式，求數(shù)列的通項公式，需將遞推關系式變形為 an + 1 + g（n） = A（an + g（n）） 的形式，這樣便可構造出等比數(shù)列 {an + g（n）} ，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式來求解.

例 4.

已知遞推關系式中含有 Sn、an + 1，需根據(jù)數(shù)列前 n項和與數(shù)列通項公式之間的關系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，得到不含 Sn 的式子：an + 1 = 3an + 2n.該式形如 an + 1 = Aan+f （n） ，需引入常數(shù)?r ，將遞推關系式設為?an + 1 + r?2n + 1= 3（an + r?2 ）n ，通過對比兩式的系數(shù)，求得 r 的值，即可構造等比數(shù)列 {an + 2 }n ，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得 {an + 2 }n 的通項公式，就能求出數(shù)列 {an} 的通項公式.

通過上述分析，同學們可以發(fā)現(xiàn)，對于不同類型的遞推關系式，在求數(shù)列的通項公式時，需先根據(jù)遞推 關 系 式 的 特 點 判 定 遞 推 關 系 式 的 類 型 ，如Sn = f （an）、an + 1 - an = f （n）、an + 1an= f （n）、an + 1 = Aan + f （n），然后將遞推關系式進行適當?shù)淖冃?，如，?）構造有關Sn、Sn - 1 的式子;（2）令 n=1，2，3，…，n-1，求得遞推關系式中的 n 為 n=1，2，3，…，n-1 時的式子，再累加、累乘;（3）引入?yún)?shù)，構造等差、等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)數(shù)列前 n 項的和與數(shù)列通項公式之間的關系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，通過累加、累乘，構造等差、等比數(shù)列，求得問題的答案.

（作者單位：江西省贛州市第十五中學）