亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        研究離心率的求法

        2022-05-30 07:30:02徐健
        數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期

        摘要:圓錐曲線的離心率是高考的重要考點(diǎn),題型靈活多變,解法總體可以從代數(shù)和幾何兩個角度入手,但不同解法的運(yùn)算量差距很大,一題多解研究離心率問題很重要,往往可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解,巧妙解.

        關(guān)鍵詞:雙曲線;離心率;解法

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)28-0027-04

        收稿日期:2022-07-05

        作者簡介:徐?。?970-),女,江蘇省海安人,本科,中學(xué)高級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        2022年3月23日下午,烏魯木齊地區(qū)全體高三學(xué)生和部分高中數(shù)學(xué)老師參加了本地高度重視的高三第二次質(zhì)量檢測考試,題目較以往有明顯的變化:新穎但偏易!但是第11題大家一致反映不好做,花了很多時間卻無果而終,甚至影響了后續(xù)答題,這種反應(yīng)老師中也存在.因此,我第一時間展開了研究,先分享于此,以饗讀者.

        1 題目呈現(xiàn)

        題目(烏魯木齊地區(qū)2022年高三年級第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科第11題) 已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P位于第一象限的漸近線上,滿足PF1⊥PF2,PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q,若PQ∶QF1=3∶2,則雙曲線的離心率為().

        A.54B.43C.53D.2

        2 總體把握

        要求雙曲線的離心率,本質(zhì)就是尋求其參數(shù)a,c的關(guān)系,進(jìn)而要尋找建立關(guān)系的條件.顯然點(diǎn)P,Q在雙曲線的漸近線上就是突破口,那么這兩點(diǎn)的坐標(biāo)必須被雙曲線的參數(shù)a,b,c表達(dá),所以問題歸結(jié)為探究點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).由幾何位置關(guān)系知,點(diǎn)P制約著點(diǎn)Q,因此突破點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵,我們嘗試著用a,b,c來表達(dá).

        3 解法探究

        策略1估算速解.

        解法1如圖1,記坐標(biāo)原點(diǎn)為O,顯然OP是Rt△PF1F2斜邊上的中線,于是OP=c.

        又因為點(diǎn)P在漸近線y=bax上,且c2=a2+b2,所以猜測P(a,b).

        由已知PQ∶QF1=3∶2,得PQ=35PF1.

        設(shè)Q(m,n),則

        (m-a,n-b)=35(-c-a,-b).

        所以m-a=35(-c-a),n-b=35(-b).

        解得m=25a-35c,n=25b.(*)

        將(*)代入y=-bax,得

        2b5=-ba(25a-35c).

        整理,得45=35·ca.

        所以e=43.

        故選B.

        評注作為考試,又快又準(zhǔn)答題是非常重要的.估算猜想可以實現(xiàn)速解.猜想當(dāng)然需要解題經(jīng)驗和正確的理論支持.本解法就是依據(jù)曲線與方程的關(guān)系和參數(shù)的數(shù)量關(guān)系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

        策略2利用直線和圓的方程求交點(diǎn).

        解法2因為PF1⊥PF2,所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=c2(除去點(diǎn)F1,F(xiàn)2).

        由x2+y2=c2,y=bax,得

        x2+(bax)2=c2.

        整理,得(a2+b2)x2=a2c2.

        因為a2+b2=c2,

        所以c2x2=a2c2.

        解得x=a.

        所以y=ba×a=b.

        因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P(a,b).

        以下同解法1.

        策略3利用向量垂直建立方程.

        解法3因為PF1⊥PF2,

        所以PF1⊥PF2.

        于是PF1·PF2=0.

        設(shè)P(s,t),

        則(-c-s,-t)·(c-s,-t)=0.

        整理,得s2+t2=c2.①

        又P(s,t)在直線y=bax上,

        所以t=bas.②

        有①②解得P(a,b).

        以下同解法1.

        策略4依托斜率關(guān)系式建立方程.

        解法4因為PF1⊥PF2,

        所以kPF1·kPF2=-1.

        設(shè)P(u,v),

        則v-0u+c·v-0u-c=-1.

        整理,得u2+v2=c2.③

        又P(u,v)在直線y=bax上,

        所以u=bav.④

        由③④解得P(a,b).

        以下同解法1.

        策略5依托兩直線方程求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

        解法5由前文知點(diǎn)P(a,b),又F1(-c,0),

        所以F1(-c,0).

        所以kPF1=ba+c.

        故PF1所在直線方程為y=ba+c(x-c).

        聯(lián)立y=ba+c(x+c),y=-bax,得

        點(diǎn)Q(-ac2a+c,bc2a+c).

        由已知得F1Q=25F1P.

        所以(-ac2a+c+c,bc2a+c)=25(a+c,b).

        由bc2a+c=25b,

        得4a=3c.

        從而離心率e=ca=43.

        故選B.

        評注解法2,3,4,5均在交點(diǎn)上做文章,只是曲線(直線)方程產(chǎn)生的渠道不同而

        已,殊途同歸.可以根據(jù)自己的喜好進(jìn)行選擇,運(yùn)算量差距不大.多角度思考,有助于提高學(xué)生的應(yīng)試能力,拓廣思維.而考生思維受阻的原因是引入變量太多,將點(diǎn)P,Q的橫縱坐標(biāo)均看作相互獨(dú)立的4個變量,未準(zhǔn)確把握它們之間的數(shù)量關(guān)系.

        策略6依托三角函數(shù)關(guān)系式建立方程.

        解法6由已知得kOP=ba.

        設(shè)∠POx=α,α是銳角,那么tanα=ba.

        由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,得

        sinα=bc,cosα=ac.

        由直角三角形中的三角函數(shù),得

        Px=c×ac=a,Py=c×bc=b.

        因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P(a,b).

        以下同解法1.

        評注解析幾何中恰當(dāng)引入三角函數(shù)往往可以減少變量,降低運(yùn)算量.本題的相關(guān)點(diǎn)不

        在雙曲線上,不易引入三角函數(shù),需要綜合考慮,從直線傾斜角的角度引入角,然后才有三角運(yùn)算,解題過程十分簡潔.

        策略7幾何法,構(gòu)造相似形直接得解.

        解法7如圖2,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P′,結(jié)合前文得P′(-a,b).

        同時,PP′∥OF1.

        所以△QPP′∽△QOF1.

        于是PQ∶QF1=PP′∶OF1.

        因為PQ∶QF1=3∶2,

        所以PP′∶OF1=2a∶c=3∶2.

        解得e=ca=43.

        評注解析幾何的本質(zhì)是幾何,能夠?qū)⒔馕鰩缀螁栴}的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何位置關(guān)系,通常會大大降低運(yùn)算量,使解題顯得簡潔明了.當(dāng)然,這種轉(zhuǎn)化還是很不容易的,縱觀以上解法,本解法最為巧妙便捷.

        4 追蹤溯源

        題1(2017年烏魯木齊地區(qū)教師業(yè)務(wù)考試卷第11題)已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,在雙曲線上存在一點(diǎn)P,使得PF1與漸近線平行,∠F1PF2=π2,則雙曲線C的離心率為().

        A.3B.5C.5D.2

        參考答案C.

        題2(2018年全國高考Ⅲ卷理科卷第11題) 設(shè)F1 ,F(xiàn)2是雙曲線C∶x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為點(diǎn)P.若PF1=6OP,則C的離心率為().

        A.5B.2C.3D.2

        參考答案C.

        題3(2019年全國高考Ⅰ卷理科卷第16題)已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ,F(xiàn)2,過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若F1A=AB,F(xiàn)1B·F2B=0,則C的離心率為.

        參考答案e=2.

        評注以上三個題目均是直角背景下求雙曲線的離心率問題,解法多樣,但最簡潔還是幾何法,限于篇幅,請數(shù)學(xué)同仁自行探究,感悟其中的樂趣.

        5 變式拓展

        變式1已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P位于雙曲線第一象限的圖象上,滿足PF1⊥PF2,PF1與斜率為負(fù)值的漸近線交于點(diǎn)Q,若PQ∶QF1=

        3∶2,則雙曲線的離心率為.

        變式2已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F2作直線l⊥x軸,l與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P,PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q,若PQ∶QF1=3∶2,則雙曲線的離心率為.

        變式3已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F2作直線l⊥x軸,l與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q,若PQ∶QF1=3∶2,則雙曲線的離心率為.

        評注直角背景下的離心率問題很活,以上僅從直角頂點(diǎn)的位置在漸近線上、在曲線上、在坐標(biāo)軸上進(jìn)行了改裝 ,問題就變得耳目一新.事實上還可變換曲線,將雙曲線換成橢圓,這類問題也很受高考命題專家的青睞,有興趣的同仁可以查閱歷年高考題.

        6 題型綜述

        直角背景下的離心率問題通常應(yīng)從以下角度思考:圓錐曲線的第一定義式,正余弦定理,焦點(diǎn)三角形面積,三角換元,直線與直線的關(guān)系,直線與曲線的關(guān)系,向量的數(shù)量積,直線的斜率,互補(bǔ)角的誘導(dǎo)公式,互余角的誘導(dǎo)公式,相似形等,再輔以代數(shù)運(yùn)算技巧,一般可以解決問題.其中最優(yōu)解法是構(gòu)造相似形的純幾何法,同時也是思維量最大的解法.多從幾何角度思考研究此類問題有助于提高解題速度和正確率.

        參考文獻(xiàn):

        [1]李昌成.結(jié)論應(yīng)用重要 結(jié)論證明更重要——以一個雙曲線的結(jié)論為例[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2022(03):13-15.

        [2] 任志鴻.十年高考[M].北京:知識出版社,2019.

        [3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020.

        [4] 杜海洋.一道壓軸小題的巧解淺議圓錐曲線離心率的常見求法[J].數(shù)理化解題研究,2021(31):16-17.

        [5] 吳喜平.求圓錐曲線離心率的三種思路[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2021(11):40.

        国产nv精品你懂得| 精品香蕉一区二区三区| 无码精品人妻一区二区三区av| 国产精品乱码在线观看| 亚洲AV无码AV色| 日韩精品久久午夜夜伦鲁鲁| 国产美女精品视频线免费播放软件| 国产内射在线激情一区| 国产精品白浆视频免费观看| 亚洲一区二区三区免费av| 男吃奶玩乳尖高潮视频| 中文人妻无码一区二区三区在线| 日韩一区二区超清视频| 手机在线中文字幕av| 国产精选自拍视频网站| 熟妇人妻av中文字幕老熟妇| 亚洲AV无码一区二区二三区我| 一区二区三区视频免费观看在线| 午夜福利理论片在线观看播放| 色哟哟网站在线观看| 98国产精品永久在线观看| 91精品国产综合久久国产| 丁香五月亚洲综合在线| 国产极品美女高潮抽搐免费网站| 国产成人香蕉久久久久| 青青久在线视频免费视频| 7m精品福利视频导航| 国产午夜精品电影久久| 操老熟妇老女人一区二区| 大尺度无遮挡激烈床震网站| 亚洲美女又黄又爽在线观看| 欧美亚洲另类自拍偷在线拍| 久久久熟女一区二区三区| 亚欧免费无码aⅴ在线观看| 91福利视频免费| 极品新娘高清在线观看| 日日摸夜夜添夜夜添高潮喷水| 午夜福利电影| 福利一区二区三区视频在线| 日韩女同精品av在线观看| 亚洲色欲久久久综合网|