例談“以直代曲”思想在證明代數(shù)不等式中的應(yīng)用

金毅

（內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué)010000）

摘要：本文以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為主要工具，主要應(yīng)用“切線放縮”與“割線放縮”證明代數(shù)不等式，突出數(shù)形結(jié)合思想中的“以直代曲”思想. 本文突出呈現(xiàn)函數(shù)“凸性”在此方法中的重要性，并把它作為選擇具體直線時(shí)的思路切入點(diǎn).

關(guān)鍵詞：代數(shù)不等式；證明；以直代曲；函數(shù)的凸性

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0046-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：金毅（1992-），男，碩士，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

我們經(jīng)常會(huì)見到一類條件不等式，給出有限個(gè)變量的范圍或它們和的值，之后證明與這些變量有關(guān)的代數(shù)式的和的取值范圍.

一種通常的表現(xiàn)形式是：

若∑ni=1xi=M，證明：∑ni=1fxi≥N.

當(dāng)然，等號或不等號的呈現(xiàn)形式也不唯一，以上僅作為一個(gè)常見表示展現(xiàn)給大家，目的是從形式上先做了解. 我們可以看到，很多解答中對這類問題都展現(xiàn)了非常高超的配湊變形技巧，這讓我們不禁思考：對于這類問題在思考時(shí)的總體方向是什么？本文就將深入探究這類問題，將思考的過程予以展現(xiàn)，找出問題思考的總體方向，尋找隱藏在變形技巧后面的總體規(guī)律，并形成主要的解題思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割線放縮技巧

割線放縮是以直代曲思想的重要呈現(xiàn)，它的理論基礎(chǔ)是函數(shù)的凸性. 關(guān)于函數(shù)的凸性，我們利用二階導(dǎo)數(shù)判斷，當(dāng)f ″x≤0在區(qū)間M上成立時(shí)，

fx在區(qū)間M上為上凸函數(shù)；當(dāng)f ″x≥0在區(qū)間M上成立時(shí)，fx在區(qū)間M上為下凸函數(shù).

例1（數(shù)學(xué)通訊322問題）已知a，b，c，d∈0，1，證明：a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤2.

分析構(gòu)造函數(shù)fx=11+xx∈0，1，則

f ′x=-11+x2，f ″x=21+x3，

可知道fx在0，1上是一個(gè)下凸函數(shù).

接下來，我們要把函數(shù)放大成一條“直線”，也即一次函數(shù)，但是為了確保在x∈0，1上fx≤kx+b，我們采取一個(gè)類似于“封口”的操作. 我們?nèi)『瘮?shù)對應(yīng)在定義域區(qū)間端點(diǎn)的兩點(diǎn)A0，1，B1，12，求解出直線AB的方程為y=1-12x. 如圖1所示.

這樣，我們得到了在0，1上的不等關(guān)系

11+x≤1-12x.

可以得到11+a≤1-12a.

根據(jù)以上分析，我們得到

d1+a≤d-12ad.

同理，

a1+b≤a-12ab，

b1+c≤b-12bc，

c1+d≤c-12cd，

累加以上4式，可得

a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=-12ab+bc+cd+da-2a-2b-2c-2d+4-4=-12［a-1b-1+b-1c-1+c-1d-1+a-1d-1］+2≤2.

故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.

點(diǎn)評本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時(shí)考慮到函數(shù)的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來看，直線和函數(shù)是“割線”關(guān)系，故名割線放縮. 事實(shí)上，根據(jù)剛才對例題的分析可以看到，函數(shù)的凸性是在放縮過程中必須要重點(diǎn)考慮的一個(gè)部分. 可以看到，割線放縮的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)形式，找到要研究的函數(shù)，之后研究這個(gè)函數(shù)的凸性區(qū)間端點(diǎn)等非常重要的信息，之后確定直線的位置.

2 “以直代曲”思想之切線放縮技巧

通過剛才的分析，我們知道分析函數(shù)的凸性是極為重要的，這點(diǎn)不僅僅是應(yīng)用在割線放縮中，切線放縮也至關(guān)重要. 同樣，切線放縮也是“以直代曲”思想的重要呈現(xiàn).

例2設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求三元函數(shù)fx，y，z=3x2-x1+x2+3y2-y1+y2+3z2-z1+z2的最小值.

分析根據(jù)題意，本題需要研究的函數(shù)為gx=3x2-x1+x2，g′x=x2+6x-11+x22，g′′x=2-x3-9x2+3x+31+x23.

事實(shí)上，我們分別將0和1代入二階導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)符號相反，這說明在區(qū)間0，1上，函數(shù)的凸性發(fā)生了改變. 即使凸性不一致也沒關(guān)系，我們看看本題可能會(huì)用到的取等條件. 我們猜測是x=y=z=13，計(jì)算在此處gx的二階導(dǎo)數(shù)g″13>0，說明此處函數(shù)下凸. 根據(jù)不等式的方向是“往小放”，所以我們使用切線放縮.

如圖2，g′13=910，g13=0，這樣可以得到直線為y=910x-13.

這說明3x2-x1+x2≥910x-13.

根據(jù)剛才的分析，0，1上的凸性不一致，所以我們要用作差配湊的方式嚴(yán)謹(jǐn)證明此不等式.

3x2-x1+x2-910x-13=x-13x1+x2-310.

當(dāng)x∈0，13時(shí)x-13≤0，x1+x2-310≤0（x1+x2在0，1是單調(diào)遞減函數(shù)）. 另外，當(dāng)x∈13，1時(shí)，x-13≥0，x1+x2-310≥0.

綜上，可得3x2-x1+x2-910x-13≥0成立，取等條件當(dāng)且僅當(dāng)x=13.

所以3x2-x1+x2≥910x-13，3y2-y1+y2≥910y-13，3z2-z1+z2≥910z-13.

將以上三式相加得fx，y，z≥910（x+y+z-1）=0，故最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=13.

點(diǎn)評本題依據(jù)函數(shù)在取等條件時(shí)的凸性決定使用切線放縮. 本題的函數(shù)凸性不唯一，所以在證明時(shí)我們用了作差比較來嚴(yán)格證明. 例1的函數(shù)凸性唯一，所以我們使用圖象說明即可. 切線放縮是一種更為常用的與函數(shù)凸性結(jié)合的方法，一般的步驟仍然是先分析函數(shù)凸性，根據(jù)不等號方向確定切線放縮的直線，同時(shí)，切點(diǎn)可以根據(jù)取等條件確定.

例3設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，證明：2a+b+c22a2+b+c2+2b+a+c22b2+a+c2+2c+a+b22c2+a+b2≤8.分析 本題表面上看似乎無法馬上找到需要研究的函數(shù)，但是我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式中的三個(gè)分式都是齊次式，我們不妨設(shè)a+b+c=1，原不等式化為

a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤8.

我們研究的函數(shù)可以選為

fx=x+123x2-2x+1.

所以有f ′x=4x+11-2x3x2-2x+12，f ′13=4，f ″x=124x3+3x2-6x+13x2-2x+13，

x=12時(shí)函數(shù)取得極大值，

f ″0>0，f ″12<0，凹凸性在0，1上不一致，所以我們來看x=13處的函數(shù)凸性，

f ″13<0，說明函數(shù)在此處上凸. 結(jié)合不等號的方向，我們選擇切線放縮.可得直線方程為y=4x+43.

因凹凸性不一致，我們用作差比較的方法證明不等式x+123x2-2x+1≤4x+43.

x+123x2-2x+1-4x-43=-36x3+15x2+2x-133x2-2x+1.

令hx=-36x3+15x2+2x-1，

h′x=-108x2+30x+2=1-3x36x+2，

則h（x）在0，1上存在唯一零點(diǎn)x=13，所以在0，1上，hx的最大值h13=0，所以-36x3+15x2+2x-1≤0成立，且3x2-2x+1>0恒成立.

綜上x+123x2-2x+1-4x-43≤0成立.

可以進(jìn)一步得到a+123a2-2a+1≤4a+43，b+123b2-2b+1≤4b+43c+123c2-2c+1≤4c+43，，

疊加以上三式，可以得到a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤4a+b+c+4=8.

點(diǎn)評本題使用了切線放縮，在本題的解決中，我們令a+b+c=1，接下來解釋這樣處理的原因. 事實(shí)上，我們可以令a+b+c=s，原不等式左邊為a+s22a2+s-a2+b+s22b2+s-b2+c+s22c2+s-c2，接下來三個(gè)分式的分子分母同除s2，并令a′=as，b′=bs，c′=cs，得

as+122as2+1-as2+bs+122bs2+1-bs2+cs+122cs2+1-cs2=a′+123a′2-2a′+1+b′+123b′2-2b′+1+c′+123c′2-2c′+1.

所以，令a+b+c=1，得到的是等價(jià)不等式，這樣處理是合理的.

3 “以直代曲”思想之切割線放縮的綜合應(yīng)用

例4已知非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=2，求ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1的最小值.分析我們要研究的函數(shù)是fx=1x2+1，f ′x=-2xx4+2x2+1，f ″x=6x2-2x6+3x4+3x2+1.

可以看出，在0，2上函數(shù)凹凸性不唯一，應(yīng)該是先上凸再下凸. 結(jié)合要放縮的方向，我們總體上使用割線放縮. 但是，因?yàn)槭窍壬贤购笙峦?，如果連接區(qū)間端點(diǎn)的話就會(huì)穿過圖象，我們的考慮是從區(qū)間左端點(diǎn)向下凸部分引切線. 也就是說，我們用“切點(diǎn)”作為割線放縮“封口”的另一個(gè)端點(diǎn).

令切點(diǎn)為x0，y0，區(qū)間左端點(diǎn)為A0，1，根據(jù)切線關(guān)系列方程，得

y0=1x20+1，1-y0=-2x0x40+2x20+10-x0.

解得x0=1，y0=12，所以割線放縮的方程為y=1-12x.如圖3，是割線放縮的圖象，但是在確定這條割線時(shí)使用的是切線方法找到點(diǎn)B.

所以，我們需要證明不等式11+x2≥1-12x，作差證得11+x2+12x-1=xx-1221+x2≥0.

于是我們得到ab2+1≥a-12ab，bc2+1≥b-12bc，cd2+1≥c-12cd，da2+1≥d-12da.

疊加以上4式，得

ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1≥a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=2-a+cb+d2≥2-12a+b+c+d22=32，

取等條件為a=1，b=1c=0d=0或a=1，b=0c=0d=1或a=0，b=1c=1d=0或a=0，b=1，c=0，d=1.

點(diǎn)評從本題來看，雖然主體使用了割線放縮，但是其中的一個(gè)端點(diǎn)使用了切點(diǎn)，也就是說，本題綜合使用了前面的兩個(gè)“以直代曲”的思路. 事實(shí)上，在具體利用直線放縮不等式的時(shí)候，不是固定用切線或者是割線，而是一定要根據(jù)函數(shù)的凸性，“因地制宜”地選擇解決問題的方法.

本文展示了“以直代曲”的具體思想來解決代數(shù)不等式問題，給出了每一個(gè)放縮時(shí)具體用的函數(shù)圖象. 在實(shí)際做題中，函數(shù)的凸性分析是至關(guān)重要的. 一定要在具體的問題中靈活運(yùn)用，用圖形從直觀形象的分析中盡快找到解決問題的思路.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.