王建芹

［摘 要］解決問題策略的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于“悟”，只有在課堂上讓學(xué)生充分經(jīng)歷感悟和體驗的全過程，才能實現(xiàn)對于策略的“悟”。文章以“解決問題的策略（例2）”的教學(xué)為例，提出“假設(shè)”是引子，其根本是“調(diào)整”，只有讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的調(diào)整過程，才能助力學(xué)生實現(xiàn)思維的進(jìn)階。

［關(guān)鍵詞］解決問題的策略；畫圖；列舉；假設(shè)；調(diào)整

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0048-03

一、課前思考

“解決問題的策略（例2）”是蘇教版教材六年級下冊第三單元的教學(xué)內(nèi)容，是小學(xué)階段策略版塊的最后一個課時，是對之前學(xué)過的策略進(jìn)行合理選擇、靈活運用的一節(jié)課。教材編排的例題是一道與“雞兔同籠”問題相類似的實際問題，教材在呈現(xiàn)問題之后，引導(dǎo)學(xué)生選用不同策略解決問題，并呈現(xiàn)學(xué)生可能出現(xiàn)的三種解題思路。第一種思路是用畫圖的策略解決問題，即假設(shè)10只全是大船，一共能坐50人，通過與42人作比較，再從圖上直觀地去掉8人；第二種思路是用列舉的策略解決問題，即根據(jù)“租10只船正好坐滿”這一條件，把10只船分為大船和小船，從“大船9只、小船1只”開始有序列舉，把可能出現(xiàn)的情況借助表格呈現(xiàn)，再通過分析比較，得出大船和小船的只數(shù)；第三種思路是用假設(shè)調(diào)整的策略解決問題，即假設(shè)大船和小船的只數(shù)同樣多，都是5只，根據(jù)船的只數(shù)來確定乘船人數(shù)，再與總?cè)藬?shù)42進(jìn)行比較，依據(jù)比較的結(jié)果適當(dāng)調(diào)整大船和小船的只數(shù)，從而找到正確答案。

通過對蘇教版教材呈現(xiàn)的這三種解題思路進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，無論是畫圖、列舉還是假設(shè)調(diào)整，都是先基于假設(shè)的船的只數(shù)算出乘船的人數(shù)，再將乘船人數(shù)與實際人數(shù)42作比較，最后通過乘船人數(shù)調(diào)整船的只數(shù)，得出最終結(jié)果。學(xué)生在解決此類問題時，應(yīng)用列舉策略的較多，而選用畫圖和假設(shè)調(diào)整這兩種策略的較少，究其原因，主要是后兩種策略需要對出現(xiàn)的情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，而“怎樣調(diào)整”是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。因此，教學(xué)中既要關(guān)注策略的合理應(yīng)用，更要關(guān)注不同策略應(yīng)用過程中“怎樣調(diào)整”這一本質(zhì)問題。

二、教學(xué)實踐

1.問題導(dǎo)學(xué)，建立聯(lián)系

【教學(xué)片段1】

師：我們之前學(xué)過哪些解決問題的策略？

生₁：從條件想起、從問題想起、畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化、假設(shè)等。

師：大家說得非常全面！就讓我們合理選擇、靈活運用這些學(xué)過的策略來解決問題。

師：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？

（讓學(xué)生讀題，找出題中的條件和問題）

師：如何解決問題？

生₂：可以用假設(shè)法。

師：說說你的假設(shè)。

生₃：假設(shè)10只全是大船或者10只全是小船，算算坐多少人，再與42人作比較。

生₄：假設(shè)5只大船和5只小船，算算坐多少人，再與42人作比較。

……

師：看來無論是哪種方法，都要與總?cè)藬?shù)42人作比較。

師：你還打算運用哪些學(xué)過的策略來解決這個問題呢？請大家先獨立思考，然后在練習(xí)本上嘗試解決。

設(shè)計意圖：蘇教版教材從三年級上冊開始，對一些解題方法進(jìn)行提煉，以單元的形式進(jìn)行編排，形成“解決問題的策略”版塊。六年級的學(xué)生經(jīng)歷了前幾個階段的學(xué)習(xí)，對學(xué)過的策略已有初步的體驗與感悟，積累了應(yīng)用策略的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。課始，教師通過讓學(xué)生回顧并列舉學(xué)過的策略，喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為解題時策略的選擇和應(yīng)用建立聯(lián)系。為降低“雞兔同籠”類問題的解題難度，教師先引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行簡要分析，將“船的只數(shù)10”與“乘船人數(shù)42”建立聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、合理選擇、靈活解題的能力。

2.探究讓學(xué)，溝通聯(lián)系

【教學(xué)片段2】

生₁：我用的是畫圖的策略。假設(shè)10只全是大船，一共能坐50人，比原來的42人多了8人，所以只要去掉8人就可以了。我們可以在每只大船上去掉2人，4只大船就去掉8人。這4只大船就變成了小船，剩下的6只還是大船。（如圖1）

師：誰對生1的解法有疑問？

生₂：為什么每只大船非要去掉2人，去掉1人可以嗎？

生₃：每只大船坐5人，每只小船坐3人，都要坐滿。如果去掉1人，表示沒有坐滿，不符合條件，所以每只大船只能去掉2人。

師：還有誰也是用畫圖的策略？請介紹一下。

生₄：假設(shè)10只全是小船，一共能坐30人，比原來的42人少了12人，所以要在每只小船上增加2人，讓小船變成大船。這樣，6只小船增加12人，所以有6只小船變成了大船，剩下的4只仍是小船。（如圖2）

師：這兩位同學(xué)都是用畫圖的策略來解決問題的，這兩種方法有沒有相同之處？

生₅：都是通過調(diào)整乘船人數(shù)來確定大船和小船只數(shù)的，而且每只船上只能調(diào)整2人。

師：說得非常好！他們都是先假設(shè)大船或小船的只數(shù)，結(jié)合題中的條件和問題，把乘船人數(shù)與42人作比較，然后根據(jù)相差的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整，直到與42人完全相等，從而確定大船和小船的只數(shù)。運用畫圖的策略，調(diào)整的過程非常直觀，一目了然。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在邊畫圖邊思考的數(shù)學(xué)活動中，以“為什么非要去掉2人”為核心問題，通過直觀的圖示，突破“每只船只能調(diào)整2人”這一教學(xué)難點；讓學(xué)生在操作交流、類比分析的過程中，經(jīng)歷“乘船人數(shù)如何變化”到“大、小船只數(shù)怎樣確定”這一完整的學(xué)習(xí)過程，初步感受“怎樣調(diào)整”的方法，培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力。

【教學(xué)片段3】

生₁：我用的是一一列舉的方法，借助表格來完成。

師：具體說說你是怎么想的？

生₁：從9只大船、1只小船開始列舉，算出坐船人數(shù)是9×5+1×3=48（人），比實際42人多出6人，說明大船多了，所以減少1只大船，增加1只小船，乘船人數(shù)就是8×5+2×3=46（人），還多出4人，說明大船還是多了，需要再減少……當(dāng)列舉到大船6只、小船4只時，乘船人數(shù)正好是6×5+4×3=42（人），與實際人數(shù)相等。（如表1）

生₂：我是從9只小船、1只大船開始列舉的……（如表2）

生₃：我是從9只大船、1只小船開始列舉的，算出乘船人數(shù)是48人，然后與42比較，發(fā)現(xiàn)多出6人，說明大船只數(shù)多了。因為每只大船只能下來2人，所以要想下來6人，需要3只大船。于是我就列舉6只大船、4只小船，通過計算，發(fā)現(xiàn)正好是42人，兩步就可以找到答案了。（如表3）

師：這位同學(xué)的列舉與前兩位有什么不一樣？

生₄：他發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。

師：什么規(guī)律？

生₅：多出的6人與大船只數(shù)有關(guān)。去掉3只大船就會減少6人，所以大船應(yīng)該是9減3得6只。

生₆：列舉的目的是解決問題，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)船的只數(shù)和人數(shù)之間的規(guī)律時，問題就可以迎刃而解了。

師：看來，在列舉時我們既要關(guān)注船的只數(shù)，也要關(guān)注乘船人數(shù)。當(dāng)規(guī)律已經(jīng)很明顯時，就可以直接確定大船和小船的只數(shù)了。

設(shè)計意圖：策略的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于“悟”，只有讓學(xué)生在課堂上充分經(jīng)歷感悟和體驗的過程，學(xué)生才能實現(xiàn)對策略的“悟”。學(xué)生在展示一一列舉的過程中，可通過先將乘船人數(shù)與實際人數(shù)42作比較，再結(jié)合每次只能調(diào)整2人的認(rèn)知經(jīng)驗，找到調(diào)整的規(guī)律，悟出“怎樣調(diào)整”的方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一旦“悟”出規(guī)律，所有的問題便可迎刃而解?！疤S式調(diào)整”躍然紙上，“假設(shè)調(diào)整”便浮出水面。

【教學(xué)片段4】

生₁：我的方法是先假設(shè)有5只大船、5只小船。船上的人數(shù)就是5×5+5×3=40（人），比實際人數(shù)少2人，說明大船少了，需要增加大船只數(shù)，減少小船只數(shù)。又因為每只船每次只能調(diào)整2人，所以大船就是6只，小船就是4只，總?cè)藬?shù)正好是42，與實際人數(shù)相等。（如表4）

師：你是怎么想到5只大船、5只小船這種“對半假設(shè)”的方法的？

生₁：剛才大家匯報的畫圖、列舉的策略給了我啟示，當(dāng)大船和小船只數(shù)居中時，往上或往下調(diào)整都很方便，這樣調(diào)整的步驟少，能很快找出答案。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生聚焦“調(diào)整”，由列舉時的“跳躍式調(diào)整”正向遷移到“假設(shè)調(diào)整”，突顯學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，突出教師教學(xué)的重點。假設(shè)調(diào)整策略中，假設(shè)其實只是一個引子，其根本是調(diào)整，讓學(xué)生根據(jù)“乘船人數(shù)”調(diào)整“船的只數(shù)”，逐步逼近答案，感受“對半假設(shè)”的策略優(yōu)勢。

3.應(yīng)用活學(xué)，優(yōu)化策略

【教學(xué)片段5】

師（課件出示練習(xí)題）：學(xué)生制作了78件蝴蝶標(biāo)本，貼在9塊展板上展出。每塊小展板貼6件，每塊大展板貼10件。大、小展板各有多少塊？

師：你怎樣解決這個問題？先獨立完成，然后與同桌交流，說說自己的想法。

生₁：我是用列舉的方法來解決的。從1塊大展板、8塊小展板開始列舉，一共可以展出58件蝴蝶標(biāo)本，比實際數(shù)量少20件，所以要增加大展板的數(shù)量；2塊大展板、7塊小展板，還少16件，也就是增加1塊大展板，相差數(shù)量由20件減到16件，減少了4件，那相差16件就需要增加4塊大展板。于是，第3次列舉數(shù)量為6塊大展板、3塊小展板，這樣正好展出78件標(biāo)本，與實際數(shù)量相等。（如表5）

師：在調(diào)整的過程中，你能根據(jù)相差的數(shù)量進(jìn)行跳躍式調(diào)整，了不起！看來，你對如何調(diào)整已經(jīng)理解得非常透徹了。

生₂：我用的是“對半假設(shè)”的方法，從9的一半開始列舉。假設(shè)5塊大展板、4塊小展板，這樣可以展出74件，比實際數(shù)量少4件，于是增加大展板的數(shù)量，得到6塊大展板、3塊小展板，正好展出78件，一步調(diào)整就能得到答案。（如表6）

師：大家為什么不用畫圖的策略來解決呢？

生₃：數(shù)量太多，畫圖比較麻煩。

師：看來數(shù)量比較多時，畫圖就不太適合了。我們在解決問題時，要學(xué)會根據(jù)具體問題靈活選擇策略。

設(shè)計意圖：通過例題探究，讓學(xué)生合理選用策略解決問題，架構(gòu)起解決此類問題完整的思維路徑，以發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。在鞏固應(yīng)用階段，設(shè)計與例題有著相似結(jié)構(gòu)的習(xí)題，能夠讓學(xué)生在解決問題的過程中通過運用結(jié)構(gòu)化的思維，從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，實現(xiàn)思維進(jìn)階，充分感受靈活選擇策略的重要性，最終形成理性思維。

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項課題“指向?qū)W趣提升的小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究”（D/2020/02/198）的研究成果之一。】

（責(zé)編 羅 艷）